数学分析144高阶偏导与泰勒

1、2009041314.4 14.4 高阶偏导与泰勒公式高阶偏导与泰勒公式),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义定义1：二阶及二阶以上的偏导数统称为：二阶及二阶以上的偏导数统称为 高阶偏导数高阶偏导数.一、高阶偏导数一、高阶偏导数. 02222 yuxu解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(22222222

2、2222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu . 0 解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y yxz. 19622 yyxxyz, 19622 yyx解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sinbyabeuaxxy .sinbyabeuaxyx 问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？4例例, 0,0, 0),(222

3、22222 yxyxyxyxxyyxf, 0,0, 0)()4(),(22222224224 yxyxyxyyxxxyxfy. 1)0 , 0(, 1)0 , 0( yxxyff, 0,0, 0)()4(),(22222224224 yxyxyxyyxxyyxfx二、复合函数的高阶偏导数二、复合函数的高阶偏导数标标准准求求法法数数都都是是具具有有二二阶阶连连续续偏偏导导、设设例例 , 5yxf),(),(tsytsxfu .,22222tsutusu 求求由由链链式式法法则则知知解解： ,syyfsxxfsu .tyyftxxftu 的二元函数，的二元函数，)()(22syyfssxxfssu

4、 22)(sxxfsxxfs 22)(syyfsyyfs sxsyyxfsxxf )(22222sxxf sysyyfsxxyf )(22222syyf tsutu 222,类似可求类似可求:两种技巧两种技巧),(),( . 1yxvvyxuu 设设:,的的雅雅可可比比矩矩阵阵为为关关于于变变量量定定义义yxvu yxyxvvuuyxvuj),(),( zyxzyxzyxwwwvvvuuuzyxwvuj),(),(的的所所有有二二阶阶偏偏导导数数在在点点设设),(),( 000yxpyxfz 定义定义:)( 0矩阵为矩阵为黑赛黑赛的的在点在点hessepf0)()()()()(00000pyy

5、yxxyxxyyyxxyxxfffffpfpfpfpfph ,存在存在的的在在点点类类似似可可定定义义),(),(0000zyxpzyxfu :)( 矩阵为矩阵为黑赛黑赛hesse0)(0pzzzyzyyzyyyxxzxyxxffffffffffph . , ),(),(),( 偏偏导导数数都都存存在在相相应应于于各各自自变变量量的的二二阶阶且且设设vufyxvvyxuuvufz :),( 的二阶偏导数满足的二阶偏导数满足则则yxzz yyyxxyxxzzzz yxyxvvuu yyxxvuvu vvvuuvuuffff yyyxxyxxvyyyxxyxxuvvvvfuuuufzhjjfhuh

6、vh :即即 zhj jfhuuhf vvhf .元元函函数数也也有有类类似似公公式式一一般般的的 n. , ),(),(),( . 2数数都都存存在在相相应应于于各各自自的的二二阶阶偏偏导导且且设设vufyxvvyxuuvufz : 为例为例以求以求xyz第一步第一步写写出出下下表表 fxyzuufuvfvufvvfufvf., 数数的的所所有有二二阶阶和和一一阶阶偏偏导导关关于于之之后后是是第第一一行行vuffyxuuyxvuyxuvyxvvyxuyxv.第第二二行行特特点点第二步第二步,)(两两两两相相乘乘第第一一列列除除外外将将表表中中各各列列元元素素: ,的的表表达达式式便便得得到到再再相相加加yxz. xyz :注意注意必须看成不同的项必须看成不同的项与与混合偏导数混合偏导数vuuvff),(即便相等即便相等. 否则否则. ,比比如如其其它它类类似似. 熟悉以后熟悉以后三、中值定理和泰勒公式三、中值定理和泰勒公式, 2dd于于上任意两点的连线都含上任意两点的连线都含若区域若区域定义定义.为凸区域为凸区域则称则称d,),(),( 222111dyxpy