控制工程基础-附录拉普拉斯变换

拉普拉斯变换（Laplace）

拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的性质拉普拉斯反变换微分方程的拉氏变换解法1.拉普拉斯变换的概念Laplace反变换Laplace变换（1）拉普拉斯变换的定义称为像函数称为像原函数。例A.2求指数函数

的拉氏变换（k为数）。所以解：例A.1现有一单位阶跃输入解：求其拉氏变换。（2）拉普拉斯积分变换存在条件拉氏变换的存在定理：若函数满足2）当时，的增长速度不过某一指数函数,即存在常数,使则，的拉氏变换上一定存在,并在为解析函数。1）在，的任一有限区间上分段连续；，在半平面的半平面内，1.拉普拉斯变换的概念（3）单位脉冲函数及其拉氏变换例A.3求斜坡函数为常数，的拉氏变换。例A.4求单位脉冲信号的拉氏变换。

即：解：根据拉氏变换的定义，有

解：在一个周期内逐段

（4）周期函数的像函数设

是内以为周期函数，且例A.6求全波整流后的正弦波的像函数。的周期是，故光滑，则解：2.拉氏变换的性质与卷积

1）线性性质2）相似性质设，则对任意常数有（1）拉氏变换的性质

例A.7求解微分方程3）微分性质①设一般地有：则有②设则有一般地有：2.拉氏变换的性质与卷积解：对方程的两边做拉普拉斯积分变换，可以得到：得到

例A.8求的拉普拉斯积分变换。，则，且故解：设例A.9

求函数的拉普拉斯积分变换。例A.10求函数的拉普拉斯积分变换。解：解：

。4）积分性质①设，则有一般地有：②设，则有一般地有：例A.11求函数的拉普拉斯积分变换。，则有解：由于令。

5）延迟性质设，当时，则对任一非负实数有：例A.13用延迟性质求解：因为，由延迟性质得例A.14求解：因为，所以例A.15设，求解：，，，6）位移性质设，则有：为常数例A.16求所以例A.17求和解:因为由位移性质即得：解:因为7）初值定理8）终值定理（2）卷积和卷积定理1）卷积的定义

结合率、交换律和分配率仍然成立。2）卷积定理设则有

例A.18求函数与的卷积。

例A.19已知，求所以解：

解：

3.拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换：在应用拉氏变换分析问题时，首先要将时域中的参量变换为复频域中的参量，并求得用像函数表示的解答，然后，再对像函数形式的解答进行拉氏反变换，以求得时域中的解答。（2）利用留数计算反演积分定理A.1设除在半平面孤立奇点内有限个外是解析的，且当时，则有：

即（1）反演积分公式例A.20已知，求解：例A.21已知，求解：由于是像函数的简单极点和二阶极点，所以（3）部分分式求解法求拉氏反变换最简单的方法是利用拉氏变换表，但一般必须进行一些数学处理，使其变为表中所列的形式。可直接应用部分分式展开法。将化为如下形式：1）有个单实根对应的原函数为：例A.22求的原函数解：先将变为多项式与有理真分式：下面将进行部分分式展开：所以对应的原函数：2）有共轭复根的情况设有一对共轭复根，记为。则在的展开式中将包含以下两项：其中由于实系数有理分式，故必为共轭复数。若设则，于是，对应的原函数将是例A.23求的原函数。的根为：的部分分式展开式为：相应的原函数为：解：3）有重根的情况有一个阶重根，其他均为单根，有设为了求出，可将上式两端对求一次导数，再令即得：以此类推，可求得：例A.24

求的原函数。

有一个三重根和一个单根，所以，可展开为

：式中：所以：

其相应的原函数为：解：4.拉普拉斯逆变换的应用及综合举例（1）利用拉普拉斯积分变换求微分方程用拉氏变换求解微分（常微分，偏微分）方程、积分方程。首先通过拉普拉斯变换将微分方程化为像函数的代数方程，由代数方程求出像函数，然后再用拉普拉斯逆变换，就得到微分方程的解。例A.26求解微分方程组解：令对方程的两边取拉普拉斯积分变换，并利用初始条件，可以得到：

求解方程组可