构造法求数列通项公式

1、构造法求数列通项公式求数列通项公式是高考考察的重点和热点，本文将通过构造等比数列或等差数列求数列通 项公式作以简单介绍，供同学们学习时参考。一、构造等差数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为/(/? + l)-/(n)=A (其中A为常数)形式，根据等差数列的定义知/(“)是等差数列，根据 等差数列的通项公式，先求出/(")的通项公式，再根据f(n)与从而求出"”的通项公 式。例1 在数列色中，二一，+产上ZNf 求数列通项25 + 3公式.解析：由an沪舲得，3垮3ak3aR两边同除以a“得，亡-力巳, 设bF古，则b

2、nr - bn=+，根据等差数列的定义知， 数列bj是首相b=2,公差d=+的等差数列，根据等差数列的通项公式得ba=2+i (n-1) =fn+|数列通项公式为a= 5评析：本例通过变形，将递推公式变形成为丄- =A形式，应用等差数列的通项公心+i 心式，先求出丄的通项公式，从而求出你的通项公式。例2在数列/中，S：!是其前n项和，且SEO, a：=l,弘二黑-(n2),求®与解析：当n>2时，an=Sa-Srl 代入議得，SS用罷,变形整理得SS ，两边除以S"得，右-宀二2,£是首相为1,公差为2的等差数列an-l/. =1+2 (n-1) =2n-l

3、t :.(nN2), n=l 也适合，.$=品(nMl)当 n$2 时，an=Sn-Sn-i= 2r _ ihi 4n2.3 » “=1 不满足此式，1-8n-r3n = 1n>2评析：本例将所给条件变形成f(n + )-f(n) = A.先求!1 /(/?)的通项公式，再求出 原数列的通项公式，条件变形是难点。二、构造等比数列求数列通项公式运用乘、除.去分母、添项、去项.取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f (n+l) =Af (n)(其中A为非零常数形式，根据等比数列的定义知/()是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出/(仍的通项公式，再根据f(n)与山，从而求

4、出的通项公式。例3在数列an中，ai=2,求数列%通项公式。解析：T a：=2» aR=aa-i2(n2) >0,两边同时取对数得» lg an=21g an-i:比=2,根据等比数列的定义知，数列lg an是首相为lg2,公比为2的等比数列，根据等比数列的通项公式得理an=2n-1lg2=lg22，_I.数列通项公式为a=2严'评析：本例通过两边取对数，变形成log"”=21og"“形式，构造等比数列log。”，先求出log©的通项公式，从而求出"”的通项公式。例4在数列(aB中，ax=l, a.-l=4a=+3n+l

5、,求数列<an通项公式。解析：设 an-：+A (n+l) -B=4 (aa+An+B)» (A、B 为待定系数)，展开得 an*i=4an+3An+3BA»与已知比较系数得3A = 3. (Ai3B-A = = |.*.an.：+ (n+l) +#=4 (a-+n+-| ),根据等比数列的定义知，数列am+弭 是首项为魯,公比为q=3的等比数列,&+!>+鉀詈X3丹数列通项公式为箱誓X 3n's-n-1评析：待定系数法是构造数列的常用方法。例5在数列a-中，a：=l , a.-la-=4n ,求数列aj通项公式。解析：.匕.&=4

6、76;.任&戸=4戸两式相除得严=4 ,an-i.a” a“ as与a” a, , a6 是首相分别为a：, a：,公比都是4的等比数列,乂 di=l99 «! f 4 丁 川.an= 1练习：1已知数列仏满足«!=-, a=an,求心解：由条件知经1 =上_alr n +13n+ ,分别令77 = 1,2,3,，一 1），代入上式得一1）个等式累乘之，即-=ix-x-x2 3 4又"=|, .5茫解：由条件知亠=巴一，分别令" = 123,（川一1）,代入上式得一 1）个等式 att n +1累乘之，即 = lx-x-x 心22a” =w 3/

7、?2数列j 满足6二1,s二丄6-+1 522）,求数列a“的通项公式。2解：由 a” 二一a”_+l （心2）得 an 2= （ a_ 2）,而 ax 2=12=12 2数列 62是以为公比，一1为首项的等比数列 2聲 _2二一 （1） Tn 23. 数列©中'5 =12 = 2,3“”2 2也+ 5 求数列k 的通项公式。2 1解-由3%2 = 2% + an得a卄2 = y 5+i + 严,设心一 kg =-炖）2111比较系数得k + h = ，kh = ,解得k = Ji = 一或k = Ji = 3333若耳乂 k = 1J1 = ,则冇 «+2 -。”

8、+1 = -）U+i"”是以一丄为公比，以一旳=2-1 = 1为首项的等比数列3an+ an =（_t）"T由逐差法可得a” = （a” 一 5_i） + （勺一一勺口）+ （幻一 6）+ 5= (b'T +(_)心 + +(_丄)2 +(_)+“I3333!-(i-r*一 3 r34. 设各项均为正数的数列的前n项和为S对于任意正整数n,都有等式： an 2 + 2an = 4S”成立，求% 的通项an.解：盗+2色=4S” =勺+2(也=恋心，a； an- + 2d” - 2% = 4(s” - S”.|) = 4a(©+%)("“ 一-2)

9、 = 0，Td”+"”_i HO , a” =2.即“”是以 2 为公 差的等差数列，且+2勺=4“ =>° =2.:.an =2 + 2(/2 1) = 2n(1) 通过分解常数，可转化为特殊数列“闵的形式求解。一般地，形如6W 十q(pHl, pqHO)型的递推式均可通过待左系数法对常数q分解法：设a曲k=p (,如与原式比较系数可得pkg 即后一纟一，从而得等比数列"楡烏”-1(2) 通过分解系数，可转化为特殊数列-©“的形式求解。这种方法适用于 山+2 =以心+ 型的递推式，通过对系数P的分解，可得等比数列©©：设 5+2 一 叽=叽小- ka)，比较系数得h + k = p-hk = q ,可解得h、k °3、构造法构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，联想岀 一种适当的辅助模型，进行命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”. 若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式.(1) 构造等差数列或等比数列由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列 或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.