2022年《线性代数》作业参考答案

1、优秀学习资料欢迎下载线性代数作业参考答案一、选择题1d 2 b 3 a 4d 5b 6c 7b 8b 9 a 10c 11d 12 b 二、填空题1相等2;knkmcc3n 个线性无关的特征向量；4不变5t=-3 6bapp17nnn212)1() 1(81k91且2102，-2 11k=751204321aaaa13. -9 ； 14. 3 ； 15. 03100302100201410001a16. 81 ； 17. 212424212299； 18. 2；三、证明题1证：由题设a是三阶方阵，41a，223131111)41(1)41()41(4121)2(aaaaaaaaa。2证：由04

2、32eaa，即：eaa432eeaa4)3(eeaa)4341(即a可逆，且eaa43411。3证：由题设：eaaaattebbbbtt精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载所以2()()tttttabbb aba ab baabbaaaab即：0)1(2baa只有0ba证毕。4因rniabai,2, 1,0,0，则,bai

3、因此rn,210是方程组 (*) 的线性无关解。设,0221100rnrn则,0)(2211010rnrnrn两边左乘 a得，,0)(10brn有,010rn于是,02211rnrn可得rn,210线性无关。5显然rnrnkkkk221100是解；另一方面，设为任一rnrnrnrnrnkkkkkkkk22110122110)(1 四、计算题1解：n2114,4,33ba),3,(4,34n21n21 1nn2111n =1n1n2)91 (4。2解：1012423321a， a的代数余子式：4,5,5, 6, 3,7,8,43332232221131211aaaaaaaa45756823413

4、323133222123121111aaaaaaaaaaaaa3解：（1）令20110122，则),(21b，由题设0ab，既有0, 021aa，这表示21,是 a的属于特征值0 的特征向量。取;)1 , 1 , 1(3t由题设 a的每行元素之和为3，则333a即a3是的特征值为3 的特征向量，又01102110121，故321，线性无关。这表示3 阶方阵有3 个线性无关的特征向量，所以 a能与对角矩阵相似。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - -

5、 - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载（2）由（ 1） 令),(321p，p可逆，且3000000001app3126312631261421321213000000001021101213000000001ppa4解：nnnbad1)1(（按第一列展开）5解：1121011322a求伴随矩阵a a 的代数余子式：4a,3a, 3a,6a,5a,4a, 1a, 1a, 1a333231232221131211461351341a)1(aaa16解：计算a的特征多项式：)108)(2(52134131)(2aa

6、aef由题设)(f=0 有重根，故分两种情况：（1）2是重根，则ag108)(2含有)2(因子，0)2(g)6()2()(2f得 a=2, 此时可得出1)2(aer，所以属于)2(的特征向量的重数3-1=2, 加之特征根6的特征向量，a有 3 个线性无关的特征向量，故此时a 能与对角矩阵相似。（2）2不是重根，则a1082是完全平方项，由此得a=6, 此时2)4)(2()(f即对应4的无关向量个数为3-2=1 ，故此时， a不能与对角矩阵相似。7解：41111011101110101011000111d8解：3111012112a，求 a的伴随矩阵a的元素。精品学习资料 可选择p d f -

7、- - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载111a22a313a021a322a323a131a232a033a011321323103131313323133222123121111aaaaaaaaaaaaa9 （1）证：令),(321p则)320(32121ap=100310120,321记120310120b既有pbap而 p可逆两边同时左乘1p有bapp1

8、即ab。而相似矩阵有相同的特征值，从而)1)(1(10031012beae可看出三阶方阵a有 3 个相异的特征值1, 1,0321所以 a可与对角矩阵相似。（2）311511044212121212121212121211003101201100111011pbpa对角阵 =10001000010由已知得：032ea，0ea，02ea，可以看出三阶方阵a的三个特征值为：2, 1,32321，故 a与对角矩阵相似，且34321a。11解：令),(4321a可求出3)(ar可知最大线性无关组的向量个数为3，因0,321所以321,即为一个最大线性无关组。正交化：取11；精品学习资料 可选择p d

9、f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载21472747278321142101,111122298111412147221321149122,222231111333321,两量正交 . 12解： a 的特征多项式为：)(2(121121)(aaaaf所以 a的特征值为：a321,2,0（1） 当2a0且a时，与题设矛盾（2） 当0a时00000012

10、1121000121a-0e13rr1a0er）（，特征值0所含无关特征向量的个数为3-1=2 加上特征根2的特征向量，则a 可与对角阵相似，与题设矛盾。（3） 当2a时，2)a2e(r则属于二重根2的线性无关特征向量，个数为3-2=1 故此时 a不能与对角矩阵相似，符合题意，即2a。13 )131212( !nn14 计算题系数矩阵为74242436240121113011且秩为 3 ；基础解系为)6 ,2, 0, 5,7(61)0 ,0, 1 , 1 , 1(21，15、计算题精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载nnnxaaaxaaax212121= nnnaxxaaxxaaax0011221121= nnnaxxaaxxaaax0011221121=nnnniiiiaxaxaaaxaaxx0000)(2222111=niiiniiiiaxaxaaxx221