高中数学解析汇报几何知识点答题总结材料

1、实用文档 文案大全 高中数学解析几何知识点答题总结 第一部分:直线 一、直线的倾斜角与斜率 1.倾斜角 (1)定义：直线l向上的方向与x轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。 (2)范围：?1800? 2.斜率：直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率. ?tan?k （1）.倾斜角为?90的直线没有斜率。 （2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到 斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。 （3）设经过),(11yxA和),(22yxB两点的直线的斜率为k， 则当21xx? 时，2121tan

2、xxyyk?；当21xx? 时，o90?；斜率不存在； 二、直线的方程 1.点斜式：已知直线上一点P（x0,y0）及直线的斜率k（倾斜角）求直线的方程用点斜式： y-y0=k(x-x 0) 注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0xx?； 2.斜截式：若已知直线在y轴上的截距（直线与y轴焦点的纵坐标）为b ，斜率为k，则直线方程：b kxy? ?；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：kx y? 注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。 3.两点式：若已知直线经过),(11yx和),(22yx两点，且（212 1 , yyxx?则直线的

3、方程：121121xxxxyyyy? ； 注意：不能表示与x轴和y轴垂直的直线； 当两点式方程写成如下形式0)()(112112?x xy yyyxx时，方程可以适应在于任何一条直线。 4截距式：若已知直线在x轴，y轴上的截距分别是a，b（ 0,0?ba ）则直线方程：1?byax； 实用文档 文案大全 注意：1）. 截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。 2）.横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线方程可设为x-y=a 5一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：0?CBy Ax；（BA,不同时为零）；反之，任何一个二元一次方程

4、都表示一条直线。 注意：直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为特殊形式，这要看系数CBA,是否为0才能确定。 指出此时直线的方向向量：),(AB ?，),(AB ? ，?2222,BAABAB （单位向量）；直线的法向量：),(B A；（与直线垂直的向量） 6(选修4-4)参数式?btyyatxx00（t参数）其中方向向量为),(b a， 单位向量?2222,babbaa； abk? ；22|batPPo?； 点21,PP对应的参数为21,tt ，则222121|battPP?； ?sincos00tyytxx（t为参数）其中方向向量为)sin,(cos? ?，

5、 t的几何意义为|o PP；斜率为? tan；倾斜角为)0(? ?。 三、两条直线的位置关系 位置关系 222111:bxkylbxkyl? 0:0:22221111?CyBxAlCyBxAl 平行 ? 21kk?，且21bb? 212121CCBBAA?(A1B2-A2B1=0) 重合 ? 21kk?，且21bb? 212121CCBBAA? 相交 ? 21kk? 2121BBAA? 垂直 ? 121?kk 02121?BBAA 设两直线的方程分别为：222111:bxkylbxkyl?或0:0:22221111?CyBxAlCyBxAl；当21kk?或实用文档 文案大全 1221BABA?

6、时它们相交，交点坐标为方程组?2211bxkybxky或?00222111CyBxACyBxA解； 注意：对于平行和重合，即它们的方向向量（法向量）平行；如：),(),(2211BABA? ? 对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直；如0),(),(2211?BAB A 若两直线的斜率都不存在，则两直线 平行 ；若一条直线的斜率不存在，另一直线的斜率为 0 ，则两直线垂直。 对于02121?BBAA来说，无论直线的斜率存在与否，该式都成立。因此，此公式使用起来更方便 斜率相等时，两直线平行(或重合)；但两直线平行(或重合)时，斜率不一定相等，因为斜率有可能不存在。 四、两直线的交角 （1）1

7、l到2l的角：把直线1l依逆时针方向旋转到与2l重合时所转的角；它是有向角，其范 围是?0； 注意：1 l 到2 l 的角与2 l 到1 l 的角是不一样的；旋转的方向是逆时针方向；绕“定点” 是指两直线的交点。 （2）直线1l与2l的夹角：是指由1l与2l相交所成的四个角的最小角(或不大于直角的角)， 它的取值范围是20?； （3）设两直线方程分别为： 222111:bxkylbxkyl?或0:0:22221111?CyBxAlCyBxAl 若?为1l到2l的角 ，12121tankkkk? 或21211221tanBBAABABA?； 若?为1l和2l的夹角 ，则12121tankkkk?

8、 或21211221tanBBAABABA?； 当0121?kk或02121?BBAA 时，o90? ?； 注意：上述与k有关的公式中，其前提是两直线斜率都存在，而且两直线互不垂直；当有一条直线斜率不存在时，用数形结合法处理。 直线1l到2l的角?与1 l 和2l的夹角?：)2( ? ?或)2(?； 五、点到直线的距离公式： 实用文档 文案大全 1.点),(00yxP到直线0:?CByAxl 的距离为：2200|BACByAxd?； 2.两平行线0:11?CByAxl，0:22?CByAxl 的距离为：2221|BACCd?； 六、直线系： （1）设直线0:1111?CyBxAl，0:2222

9、?CyBxAl，经过21,ll的交点 的直线方程为0)(222111?CyBxACyBxA?（除去2l）； 如：011?kxykxy，即也就是过01?y与0?x的交点)1,0(除去0?x 的直线方程。 直线5)12()1(:?mymxml恒过一个定点 。 注意：推广到过曲线0),(1?yxf与0),(2?yxf的交点的方程为：0)()(21?xfxf ?； （2）与0:?CByAxl 平行的直线为01?CByAx； （3）与0:?CByAxl 垂直的直线为01?CAyBx； 七、对称问题： （1）中心对称： 点关于点的对称： 该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点),(baA关于),(

10、dcC 的对称点)2,2(bdac? 直线关于点的对称： 、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程； 、求出一个对称点，在利用21/ll由点斜式得出直线方程； 、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。 如：求与已知直线0632:1?yxl关于点)1,1(?P对称的直线2l的方程。 （2）轴对称： 点关于直线对称： 、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。 、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。 如：求点)5,3(?A关于直线0443:?yxl对称的坐标。 实

11、用文档 文案大全 直线关于直线对称：（设ba,关于l对称） 、若ba,相交，则a到l的角等于b到l的角；若la/，则lb/，且ba,与l的距离相等。 、求出a上两个点BA,关于l的对称点，在由两点式求出直线的方程。 、设),(yxP为所求直线直线上的任意一点，则P关于l的对称点'P的坐标适合a的方程。 如：求直线042:?yxa关于0143:?yxl对称的直线b的方程。 八、简单的线性规划： （1）设点),(00yxP和直线0:?CByAxl， 若点P在直线l上，则000?CBy Ax；若点P在直线l的上方，则0)(00?CByAx B； 若点P在直线l的下方，则0)(00?CByAx

12、 B； （2）二元一次不等式表示平面区域： 对于任意的二元一次不等式)0(0?CByAx， 当0?B时，则0?CByAx 表示直线0:?CByAx l上方的区域； 0?C ByAx 表示直线0:?CByAxl下方的区域； 当0?B时，则0?C ByAx 表示直线0:?CByAx l下方的区域； 0?C ByAx 表示直线0:?CByAxl上方的区域； 注意：通常情况下将原点)0,0(代入直线CByAx?中，根据0?或0?来表示二元一次不等式表示平面区域。 （3）线性规划： 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。 满足线性约束条件的解),(yx叫做可行解，由所

13、有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。 注意：当0? B时，将直线0?ByAx向上平移，则ByAxz?的值越来越大； 直线0?ByAx向下平移，则ByAxz?的值越来越小； 实用文档 文案大全 当0?B时，将直线0?ByAx向上平移，则ByAxz? 的值越来越小； 直线0?ByAx向下平移，则ByAxz? 的值越来越大； 如：在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），目标函数ayxz?取得最小值的最优解有无数个，则a为 ； 第二部分：圆与方程 2.1圆的标准方程：222)()(rbyax?圆心),(baC，半径r 特例：圆心在坐标原点，半径为r

14、的圆的方程是：222ryx?. 2.2点与圆的位置关系： 1. 设点到圆心的距离为d，圆半径为r： (1)点在圆上 d=r；(2)点在圆外 dr；(3)点在圆内 dr 2.给定点),(00yxM及圆222)()(:rbyaxC?. M在圆C内22020)()(rbyax? M在圆C上22020)()rbyax?（ M在圆C外22020)()(rbyax? 2.3 圆的一般方程：022?FEyDxyx . 当0422?FED 时，方程表示一个圆，其中圆心?2,2EDC ，半径2422FEDr?. 当0422?FED 时，方程表示一个点?2,2ED. 当0422?FED时，方程无图形（称虚圆）.

15、注：（1）方程022?FEyDxCyBxyAx表示圆的充要条件是：0?B且0?CA且0422?AFED. 圆的直径系方程：已知AB是圆的直径 0)()(),(),(21212211?yyyyxxxxyxByxA 2.4 直线与圆的位置关系： 直线0?CByAx与圆222)()(rbyax?的位置关系有三种，d是圆心到直线的距离， (22BACBbAad? (1)0?相离rd；(2)0?相切rd；（3）0?相交rd。 2.5 两圆的位置关系 x y O A(1,1) B(5,1) C(4,2) 实用文档 文案大全 设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，dOO?21。 （1）条公切线外

16、离421?rrd；（2）条公切线外切321?rrd； （3）条公切线相交22121?rrdrr；（4）条公切线内切121?rrd； （5）无公切线内含?210rrd； 外离 外切 相交 内切 内含 2.6 圆的切线方程： 1.直线与圆相切：(1)圆心到直线距离等于半径r；（2）圆心与切点的连线与直线垂直（斜率互为负倒数） 2.圆222ryx?的斜率为k 的切线方程是rkkxy21?过圆022?FEyDxyx上一点),(00yxP 的切线方程为：0220000?FyyExxDyyxx. 一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特别地，过圆22

17、2ryx?上一点),(00yxP的切线方程为200ryyxx?. 若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b) 则?1)()(2110101RxakybRxxkyy，联立求出?k切线方程. 2.7圆的弦长问题：1. 半弦2L、半径r、弦心距d 构成直角三角形，满足勾股定理：2222dRL? 2. 弦长公式（设而不求）：4)(1)(212212221221xxxxkyyxxAB?）（）（ 第三部分:椭圆 一椭圆及其标准方程 1椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数?212FFa?的点的轨迹叫做椭圆，即点集M=P| |PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|=2c； 这里两个定

18、点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。 实用文档 文案大全 （cFFa2221?时为线段21FF，cFFa2221?无轨迹）。 2标准方程： 222cab? 焦点在x 轴上：12222?byax（ab0）； 焦点F（±c，0） 焦点在y 轴上：12222?bxay（ab0）； 焦点F（0, ±c） 注意：在两种标准方程中，总有ab0，222cba?并且椭圆的焦点总在长轴上； 一般形式表示：221xymn?或者 ),0,0(122nmnmnymx? 二椭圆的简单几何性质： 1.范围 （1 ）椭圆12222?byax（ab0） 横坐标-axa ,纵坐标-bx

19、b （2 ）椭圆12222?bxay（ab0） 横坐标-bxb,纵坐标-axa 2.对称性 椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点 （1）椭圆的顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b） （2）线段A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4离心率 （1）我们把椭圆的焦距与长轴长的 比22ca， 即ac称为椭圆的离心率， 记作e（10?e ），22221()beaa?c e越接近于0 （e越小），椭圆就越接近于圆; e越接

20、近于1 （e越大），椭圆越扁； 注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。 实用文档 文案大全 （2）椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e，（0e1 ）的点的轨迹为椭圆。（edPF?|） 焦点在x 轴上：12222?byax（ab0 ）准线方程：cax2? 焦点在y 轴上：12222?bxay（ab0 ）准线方程：cay2? 小结一：基本元素 （1）基本量：a、b、c、e、（共四个量）， 特征三角形 （2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点） （3）基本线：对称轴（共两条线） 5椭圆的的内外部 （1）点00(,)Pxy 在椭圆2222

21、1(0)xyabab? 的内部2200221xyab?. （2）点00(,)Pxy 在椭圆22221(0)xyabab? 的外部2200221xyab?. 6.几何性质 （1） 焦半径（椭圆上的点与焦点之间的线段）：caMFca? （2 ）通径（过焦点且垂直于长轴的弦）abAB22? （3 ）焦点三角形（椭圆上的任意一点与两焦点够成的三角形）：2tan221?bSFMF其中?21MFF 7直线与椭圆的位置关系： (1)判断方法:联立直线方程与椭圆方程消y(或x)得到关于x的一元二次方程，根据判别式?的符号判断位置关系： 没有交点相离有一个交点相切相交有两个交点?000 联立?012222CBy

22、Axbyax消y得： 实用文档 文案大全 ? ? ?222222222122222212222222222202BbAaBbCaxxBbAaACaxxBbCaACxaxBbAa? 联立?012222CByAxbyax消x得： ? ? ?222222222122222212222222222202BbAaAaCbyyBbAaBCbyyAaCbBCybyBbAa? (2)弦中点问题:斜率为k的直线l 与椭圆),0,0(12222nmnmnymx?交于两点),(),(2211yxByxA、）（00,yxM是AB 的中点，则：0022yxmnkAB? (3) 弦长公式：4)(1)(2122122212

23、21xxxxkyyxxAB?）（）（ 双曲线 标准方程（焦点在x轴） )0,0(1222?babyax 标准方程（焦点在y轴） )0,0(12222?babxay 2定义 第一定义：平面内与两个定点1F，2F的距离的差的绝对值是常数（小于12FF）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。?aMFMFM221?212FFa? P xyx y yP 2Fyx1Fx1F2F第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e，当1e?时，动点的轨迹是双曲线。定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e（1e?）叫做双曲线的离心率。 第四部分：双曲线 实用

24、文档 文案大全 xyP 1F2Fx yP xyP 1F2FxyP 范围 xa?，yR? ya?，xR? 对称轴 x轴 ，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b 对称中心 原点(0,0)O 焦点坐标 1(,0)Fc? 2(,0)Fc 1(0,)Fc? 2(0,)Fc 焦点在实轴上，22cab?；焦距：122FFc? 顶点坐标 （a?,0） (a,0) (0, a?,) (0，a) 离心率 eace(?1) 重要结论 （1） 焦半径（双曲线上的点与焦点之间的线段）：MFca? （2）通径（过焦点且垂直于实轴的弦）abAB22? （3）焦点三角形（双曲线上的任意一点与两焦点够成的三角形）：2cot2tan

25、2221?bbSFMF 准线方程 cax2? cay2? 准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：ca22 渐近线 方程 xaby? yabx? 共渐近线的双曲线系方程 kbyax?2222（0k?） kbxay?2222（0k?） 实用文档 文案大全 直线和双曲线的位 置 （1）判断方法:联立直线方程与双曲线方程消y(或x)得到关于x的一元二次方程，根据判别式?的符号判断位置关系： 没有交点相离有一个交点相切相交有两个交点? ? ?000 联立? ? 012222CByAxb yax消y得： ?222222222122222212222222222202BbAaBbCaxxBbAaA

26、CaxxBbCaACxaxBbAa? 联立?012222CByAxbyax消x得： ?222222222122222212222222222202BbAaAaCbyyBbAaBCbyyAaCbBCybyBbAa? (4)弦中点问题:斜率为k的直线l与双曲线)0,0(12222?nmnymx交于两点),(),(2211yxByxA、）（00,yxM是AB的中点，则：0022yxmnkAB? 弦长公式：4)(1)(212212221221xxxxkyyxxAB?）（）（ 补充知识点： 等轴双曲线的主要性质有： （1）半实轴长=半虚轴长； （2）其标准方程为Cyx?22其中C0； （3）离心率2?e

27、； （4）渐近线：两条渐近线 y=±x 互相垂直； （5）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项； （6）等轴双曲线上任意一点P处的切线夹在两条渐近线之间的线段，必被P所平分； 7）等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形面积恒为常数2a 实用文档 文案大全 第五部分：抛物线知识点总结 图象 )0(22?ppxy x y O l F )0(22?ppxy )0(22?ppyx x y O l F l F x y O )0(22?ppyx x y O l F 定义 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直

28、线l叫做抛物线的准线。MFM=点M到直线l的距离 范围 0,xyR? 0,xyR? ,0xRy? ,0xRy? 对称性 关于x轴对称 关于y轴对称 焦点 (2p,0) (2p?,0) (0,2p) (0,2p?) 焦点在对称轴上 顶点 (0,0)O 离心率 e=1 准线 方程 2px? 2px? 2py? 2py? 准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。 顶点到准线的距离 2p 焦点到准线的距离 p 焦半径 11(,)Axy 12pAFx? 12pAFx? 12pAFy? 12pAFy? 焦点弦 长 AB 12()xxp? 12()xxp? 12()yyp? 12()yyp? 实用文档 文案大全 焦点弦AB的几条性质11(,)Axy22(,)Bxy(以焦点在x轴正半轴为例) ? o x ?22,Bxy F y ?11,Axy M N 以AB为直径的圆必与准线l相切,以MN为直径的圆与AB相切与点F，即F