高数大一下期末试卷

1、实用文档 文案大全 一、选择题（每小题4分，共16分） 1、设22(,)|1,0,0Dxyxyxy? ，则221dDxy?（ ） (A) 43? (B) 23? (C) 13? (D) 16? 2、若级数1nnu?和1nnv?都发散，则下列级数中必发散的是（ ） (A1()nnnuv? (B) 221()nnnuv? (C) 1nnnuv? (D) 1()nnnuv? 3、若 1(1)nnnax?在2x?处收敛，则此级数在3x?处（ ） (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性不能确定 4、计算dIzV?，其中?为曲面22zxy?及平面1z?所围成的立体，则正确的解法为

2、（ ） (A) 211000dddIrrzz? (B) 221100dddrIrrzz? (C) 21100dddrIrrzz? (D) 12000dddzIzzrr? 二、填空题（每小题4分，共24分） 1、设?是由球面222xyzz? 所围成的闭区域，则222d=xyzV? 。 2、设曲线?：22210xyzxyz?，则2()dxys? 。 3、设L 为上半圆周22yax? (0)a?及x轴所围成的区域的整个边界，沿逆时针方向， 则2dLyx? ? 。 4、设?是平面1234xyz?在第一卦限的部分，则4(2)d3xyzS? 。 5、函数()arctanfxx?在0x?处的幂级数展开式为

3、，其收敛域为 。 6、设1()sinnnSxbnx?，x? ，其中02sindnbxnxx?，则在,?上 ()Sx? 。 三、解答题（分A、B类题，A类题每小题10分，共60分；B类题每小题8分，共48分） 每道题必须且只需选做一道题，或做A类，或做B类，不必A、B类题都做 1、(A类)计算 22dd2()Lyxxyxy?，其中L分别为 （）圆周22(2)2xy?，沿逆时针方向； 实用文档 文案大全 （）圆周22(1)2xy?，沿逆时针方向。 (类)计算(sin2)d(cos2)dxxLeyyxeyy?，其中L为上半圆周222()(0),xayay? 沿逆时针方向。（常数0a?） 2、(A类)

4、计算?22()2dIxyzyzS? ?，其中?是球面22222xyzxz?。 (类)计算22()dIxyS? ?，其中? 为锥面22zxy?及平面1z?所围成的区域的整个 边界曲面。 3、(A类)计算3222()ddddddIxzxyzxyzzxxzxy?，其中?是抛物面 222zxy?(12)z?的上侧。 (类)计算222()dd()dd()ddIyzyzzxzxxyxy?，其中?是锥面 22zxy?(01)z?的下侧。 4、(A类) 设012,aa a为等差数列0(0)a?，试求： （1）幂级数0nnnax?的收敛半径； （2 ）数项级数02nnna?的和。 (类) 求幂级数1(1)nnx

5、nn?的收敛域以及和函数； 5、(A类) 判断级数111221(1)ln(1)nnnn?的收敛性，是绝对收敛还是条件收敛？ (类) 判断级数11ln(1)nnnn?的收敛性，是绝对收敛还是条件收敛？ 6、(A类)将函数()2fxx? (01)x?展开成以2 为周期的余弦级数，并求211nn?的和。 (B类)将函数2()fxx? (0)x?展开成以2?为周期的余弦级数。 附加题（10分）（选做题） 设函数()fx在(,)?内具有一阶连续导数，L是上半平面(0)y?内的有向分段光滑 曲线,起点为(,)ab,终点为(,)cd,当abcd?时,求 22211()d()1dLxIyfxyxyfxyyyy

6、? 实用文档 文案大全 一、DDAB 二、1 10?， 2 32? 3 334a? 4 614 12012)1(?nnnxn；1,1? ?xxx0, 三1（A类）解： 记，)(222yxyP? ?，)(222yxxQ? 则xQyxyxyP?22222)(2。 （1）设D是由L所围成的闭区域。因奇点D?)0,0(，所以由格林公式，得 ?DLdxdyyPxQyxxdyydx0)(222。 （2）设D是由L 所围成的闭区域。选取一正数12?r，则222:ryxl?是位于D内 的圆周(取逆时针方向)。记L和l所围成的闭区域为1D，1)0,0(D?，从而由格林公式， 得122dddd02()LlDyxx

7、yQPxyxyxy?，故 22222222220ddddsincosd2()2()2Llyxxyyxxyrrxyxyr?。 （B类）解：补上曲线:0,:02lyxa?，记L和l所围成的闭区域为D。由格林公式，得 (sin2)d(cos2)d(sin2)d(cos2)dxxxxLlleyyxeyyeyyxeyy? 2dd0Dxy? 2a? 2（A类）解：利用对称性和曲面方程，得 22222dIxyzxyyzS? ? 222dxyzS? ? 2()dxzS? ? 4dxS? ? 41dS? ? 32? （B类 ）解：设221:zxy?，(,)xyxyD?；2:1z?，(,)xyxyD?，其中 实用

8、文档 文案大全 22(,)|1xyDxyxy?。则 122222()d()dIxySxyS? 22222()dd()ddxyxyDDxyxyxyxy? 22(21)()ddxyDxyxy? 22(21)()ddxyDxyxy? 21300(21)ddrr? (21)2? 3（A类）解：作辅助面1:1?z1:),(22?yxDyxyx，取下侧。记?和1?所围成的空间闭区域为?，则 1132223222()dddddd()ddddddIxzxyzxyzzxxzxyxzxyzxyzzxxzxy? 2222221(312)dddd()dd2xyxyDDxzxzxzVxxyVxyxy? 22221310

9、021ddddd2xyzzxyrr? 21(2)d4zz? 244? （B类）解：作辅助面1:1?z1:),(22?yxDyxyx，取上侧。记?和1?所围成的空 间闭区域为?，则 11222222()dd()dd()dd()dd()dd()ddIyzyzzxzxxyxyyzyzzxzxxyxy? 20d()ddxyDVxyxy? 2ddxyDxxy? 221()dd2xyDxyxy? 213001dd2rr? ?4? 4（A类）解：（1）依题意，,.2,1,0?nndaan，其中d为公差。从而 实用文档 文案大全 1)1(001?dnandaLimaaLimRnnnn， 故幂级数0nnnax?

10、的收敛半径为1。 （2）解法一：设0(),(1,1)nnnSxaxx?，则 10000000111()()()11nnnnnnnnnnnnnaaSxaxandxaxdnxdxnxdxxxx? ?00000221()()()1111(1)(1)nnaaaadaxxdxdxxdxxxxxxx?，(1,1)x? 因而101()222nnnaSa?。 解法二：设0(),(1,1)nnnSxaxx?，由,.2,1,1?ndaann，得 xxdxaxxdxaxannnnnnnnnnn?101111 故0()()1xSxaxSxdx? ，求得002()()(1)adaxSxx? ，因而101()222nnn

11、aSa?。 （B类 ）解：幂级数1(1)nnxnn? 的收敛半径为1)2)(1()1(1?nnnnLimaaLimRnnnn， 当1x? 时，此时幂级数为1(1)(1)nnnn?收敛，从而其收敛域为1,1?。 设1(),1,1(1)nnxSxxnn?，则当(1,1)x?，0x?时 111()(1)1nnnnnnxxxSxnnnn? 121nnnnxxnxn? 1100111d(d)xxnnnnttttxx? 00111d(d)11xxttxtxt? 实用文档 文案大全 1ln(1)ln(1)1xxx? 1ln(1)1xxx? 又根据和函数在收敛域的连续性，得 (0)0S?， 11(1)ln(1

12、)(1)lim()lim1xxxxxSSxx?， 11(1)ln(1)(1)lim()lim12ln2xxxxxSSxx?。故 1ln(1)1110()0011xxxxxSxxx?。 5（A类）解：令)1ln()(xxxf?，0?x，则当0?x 时，0111)(?xxf，因 此对0?x，)(xf单调递增且0)0()(?fxf。 对级数111221(1)ln(1)nnnn?来说，111222ln(1)()0nnfn?，说明它是交错级数。又111111222222ln(1)()(1)(1)ln1(1)nnfnfnnn?且1122limln(1)0nnn?，由莱布尼兹判别法知，该级数收敛。 另外，

13、因200011ln(1)111limlimlim,22(1)2xxxxxxxxx? 故1122ln(1)1lim,12nnnn?这说明级数11221ln(1)nnn?是发散的。 综上所述，级数111221(1)ln(1)nnnn?是条件收敛的。 （B类 ）对级数11ln(1)nnnn? ，因ln0nn?（1,2,.n?），说明它是交错级数。当2n? 时，lnln(1)1nnnn?， 且lnlim0nnn?，由莱布尼兹判别法知，该级数收敛。 另外，因lnlim,1nnnn? 这说明对级数1lnnnn?，它是发散的。 综上所述，级数11ln(1)nnnn?是条件收敛的。 5（A类）解：对函数()f

14、x偶周期延拓，先求延拓后函数的傅里叶级数： 实用文档 文案大全 ?1005d)2(2xxa； )1(12cos1sin22d)cos()2(222102210nnnxnnxnnxxxnxa? ?knknn2012422?,.2,1?k； 0?nb 得 221541()cos(21)2(21)nfxnxn? 因延拓后的函数在(,)?是连续的，从而 221541()cos(21)2(21)nfxnxn? 01x? 最后求级数211nn? ：由2215412(0)2(21)nfn? ，得2211(21)8nn?。又 2222211111111184(21)(2)nnnnnnnn?， 得22116nn

15、?。 （B类）对函数()fx偶周期延拓，先求延拓后函数的傅里叶级数： 202032d2?xxa； nnnnxnnxnxnxnxxxnxa)1(4sin2cos2sin2d)cos(22032202? 0?nb 得2211(1)()4cos3nnfxnxn?。 因延拓后的函数在(,)?是连续的，从而 2211(1)()4cos3nnfxnxn? 0x? 附加题 解：记211()Pyfxyy? ，22()1xQyfxyy?，则 实用文档 文案大全 22221111()2()()()()Pyfxyyfxyxyfxyxyfxyfxyyyyy?， 2322211()1()()()Qxyfxyyfxyxyfxyfxyxyyy? 所以PQyx?， 这说明曲线积分222 11()()1LxIyfxydxyfxydyyy?在上半平面内与积分路径L无关，只与起止点有关。 取1:Ly b ? (:)xac?，2:Lxc? (:)ybd?，则 222 1 1()d()1dLxIyfxyxyfxyyyy? 122221 1 ( )d ()1dLLxyfxyxyfxyyyy? 12222222111()d()1d1()d()1dLLxxyfxyxyf xyyyfxyxyfxyyyyyy? 22211( )d ()1dcdabcbfb