高考专题复习思想方法数形结合精华版

1、实用文档 文案大全 xylmO-0.5-1xy14O31-m数形结合思想 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要数学思想方法.利用数形结合思想，“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而找到解题思路，使问题得到解决.以形助数常用的有：借助于数轴、函数图像、单位圆、数式的结构特征、解析几何方法，以数解形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系、运算结果与几何定理的结合. 【以形助数】 例1、（集合中的数形结合） 已知集合?0103,22?xxxBaxaxA，当?BA，求实数a的取值范围. 参考解答：画数轴分析可得45a?. 例2、

2、（函数中的数形结合） 设?222fxxax?，当?1,x?时，?fxa?恒成立，求a的取值范围。 参考解答： 解法一：由?fxa?，在?1,?上恒成立2220xaxa?在?1,?上恒成立. 考查函数?222gxxaxa?的图像在?1,?时位于x轴上方，如下图 不等式的成立条件是： 1）?244202,1aaa?； 2）?013,210aag?； 综上所述?3,1a? 解法二：由?2221fxaxax?，令?2122,21yxyax?， 在同一坐标系中作出两个函数的图像（如右图）满足条件的直线位于,lm之间，而直线 ,lm对应的a的值分别为3,1?，故直线l对应的?3,1a?. 例3、（方程中的

3、数形结合） 若方程?2lg3lg3xxmx?在?0,3x?内有唯一解，求实数m的取值范围. 参考解答： 原方程变形为23033xxxmx?，即?3021xxm?， 作出曲线?212yx?，?0,3x?和直线21ym?的图象，由图可知： 当10m?时，有唯一解1m?； yxO-1ayxO-1a实用文档 文案大全 yxABO-111当114m?时，即30m?时，方程有唯一解. 综上可知，1m?或30m?时，方程有唯一解. 例4、（不等式中数形结合） 不等式0222?aaaxx在?2,0?x时恒成立，求a的取值范围. 参考解答：?,10,? 例5、（解析几何中的数形结合） 已知,xy满足221162

4、5xy?，求3yx?的最大值与最小值. 参考解答： 对于二元函数3yx?在限定条件2211625xy?下求最值问题，常采用构造直线截距的方法 来求之.令3yxb?，则3yxb?，原问题转化为：在椭圆2211625xy?上求一点， 使过该点的直线斜率为3，且在y轴上截距最大或最小，由图可知，当直线3yxb?与 椭圆2211625xy?相切时，有最大截距与最小截距.由 可得0?，得13b?，故3yx?的最大值为13，最小值为13?. 例6、设0b?，二次函数221yaxbxa?的图像为下列之一，则a的值为（B） ?A1 ?B1? ?C152? ?D152? 例7、线段AB的两个端点为?1,1,1,

5、3AB?，直线:21lyax?，已知直线l与线段AB有公共点， 求a的取值范围. 参考解答： 不论a取何值，直线l恒过定点?0,1P?，斜率为2a，由图l与线段AB有公共点， 需要l由直线PA的位置（绕P点）逆时针转动到PB的位置.在这一转动过程中， l的倾斜角先逐渐增大到2?（从而l的斜率逐渐增大到?），l绕过y轴后，倾斜角 依然逐渐增大，因此其正切值（l的斜率）逐渐增大到PB的斜率，又2,4PAPBkk?， 故?2,42,a?，即?,21,a?. yx1-1OyxOyxOyx-11O实用文档 文案大全 yxO-a/2-3例8、已知? 1,1A为椭圆22195xy?内一点，1F为椭圆左焦点，

6、P为椭圆上一动点， 求1PFPA?的最大值和最小值. 参考解答： 由椭圆的定义知121266PFPFPFPF?， 122266,6PFPAPFPAAFAF? 即?1min62PFPA?，?1max62PFPA? 【配套练习】 1、方程1sin44xx?的解的个数为（C） ?A1 ?B2 ?C3 ?D4 2、如果实数,xy满足?2223xy?，则yx的最大值为（D） ?A12 ?B33 ?C32 ?D3 参考解答： 等式?2223xy?有几何意义，它表示坐标平面上的一个圆，圆心为?2,0，半径3r?， 如图，00yyxx?表示圆上的点?,xy与坐标原点?0,0的连线的斜率. 如此以来，该问题 可

7、转化为如下几何问题：动点A在以?2,0为圆心，以3r?为半径的圆上移动，求直线 OA的斜率的最大值，由图可见，当A?在第一象限，且与圆相切时，OA的斜率最大， 经简单计算得最大值为tan603?. 3、已知函数?2log1fxx?，若0abc?，则?,fafbfcabc的大小关系为?fcfbfacba?. 4、设函数?2020xbxcxfxx?，若?40ff?，?22f?， 则关于x的方程?fxx?的解的个数为（C） ?A1 ?B2 ?C3 ?D3 5、函数2222613yxxxx?的最小值为（D） ?A25? ?B221? ?C2 ?D13 6、已知函数aaxxy?22在区间?3,?内递减，

8、则实数a的取值范围为6a?. 参考解答：如图所示，可知对称轴362axa? 7、设?、?分别是方程2log40240xxxx?和的根， 则?4. yx11CBAOyxF1F2OAP实用文档 文案大全 yxO2-1 xyO-228、如果关于x的方程0232?aaxx有两个实数根21,xx， 并且?2,0,1,21?xx， 求实数a的取值范围. 参考解答： 令?232fxxaxa?，由题?1043030 032022070fafaaf ? ?. 9、求函数2cos2sin?xxy的值域. 参考解答： 2cos2sin?xxy的形式类似于斜率公式2121yykxx?，表示过两点?02,2P?， ?c

9、os,sinPxx的直线的斜率，由于点P在单位圆 122?yx上，显然 BPAPkyk0 0 ?，设过0P的圆的切线方程为)2(2?x ky，则有 11|22|2? ?kk，解得374±?k ，即0473PAk?， 0 473P B k?， 所以374374?y，所以函数值域为?374374，. 10、已知集合?22,1,1,PxyxyxRyRQxyxayxRyR? ?， 求满足下列条件时实数a的取值范围. ?QP； P?Q； 参考解答：画区域分析问题，?2,2a?，0a? 【高考真题】 1、若集合?)0(sin3cos3)(? ?yxyxM， ，集合|)(bxyyxN?，且?NM?

10、， 则实数b的取值范围为?3,32?. 参考解答： 集合109|)(22?yyxyxM，显然，M表示以?0,0为圆心，以3 为半径 的圆在x轴上方的部分，（如图），而 N则表示一条直线，其斜率1k?，纵截距为b，由图形易 知，欲使MN?，即直线yxb?与半圆有公共点，显然b的最小逼近值为3?， 最大值为32即233?b. 2、已知?2fxxa xb?（其中ab?） ，且 ,?是方程?0fx?的两根（?）， 则实数?,a?，且b?,?. 3、点M是椭圆1162522?yx上一点，它到其中一个焦点1F的距离为2，N为1MF的中点，O表示实用文档 文案大全 y = ax1O2k-1x+1yy = x

11、-1y =xO设?2122yxkyax?，可作图得10,2k?. （数的问题转换为形的问题有多种途径、多种方法， 应选择最简单、最佳方案，这称为最优化原则） 5、已知函数?lg1fxx?，若a?fafb?，则ab?的取值范围是?0,?6、已知?,AxyymxByxmCAB?，若C中仅含有两个元素时，则实数m的取值范围1mm?或参考解答： 0m? 已知当0m?时ym?轴左侧必有一个交点，故要在y轴右侧有一个交点只需1m?， 同理当0m?时ym?轴右侧必有一个交点，故要在y轴左侧有一个交点只需1m?. 7、下图中的函数图像、与函数方程a、b、c、d的对应关系中，有可能正确的一组是(D) ?:afx

12、yf? ?:bfxyfxfy? ?:cfxyfx? ?:dfxyfxfy? yOyxOyxx1?b?且?,xy1. yxy = y = x1O0m? x与yxm?在yx与yxm?在y?xfy? ?fy? xyOO2k+x原点，则ON?（C） ?A32 ?B2 ?C4 ?D8 参考解答： 设椭圆另一焦点为2F，（如下图），则122MFMFa?，而5a?，因为12MF?， 所以28MF?，又注意到,NO各为112,MFFF的中点，所以ON是12MFF?的中位 线，因此4|21|2?MFON. 4、关于x的方程?axkx?22在?*21,21xkkkN?上有两个不相等的实数解，求实数a的取值范围.

13、参考解答：. 实用文档 文案大全 0y12x ?1 ?2 ?3 ?4 ?A?,2,3,4cabd?1 ?B?,2,3,4abcd?1 ?C?,2,3,4bdac?1 ?D?,2,3,4bcda?1 8、已知函数?32fxaxbxcxd?的图像如图所示，则（A） ?A,0b? ?0,1Bb? ?1,2Cb? ?2,Db? 参考解答： 本题可将图形转化为具体数值，由图像过3个特殊点及与x轴的相对位置特征，可得到以下等式： ?00f?，即0d?； ?10f?，即0abc?； ?20f?，即8420abc?； ?12fxaxxx?； 当?,01,2x?时，?0fx?，由?10f?得0abc?， 当?0

14、,12,x?时，?0fx?，?30f?，可推得0a?. 巧妙合理地利用以上各式，就可以得到多种简捷的解法： 方法一：得3ba?，再由推得0b?，选A； 方法二：推得0b?； 方法三：由比较同次项系数得3ba?，再由得3ba?. 实用文档 文案大全 数学思想方法：数形结合 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要数学思想方法.利用数形结合思想，“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而找到解题思路，使问题得到解决.以形助数常用的有：借助于数轴、函数图像、单位圆、数式的结构特征、解析几何方法，以数解形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数

15、量关系、运算结果与几何定理的结合. 【以形助数】 例1、（集合中的数形结合） 已知集合?0103,22?xxxBaxaxA，当?BA，求实数a的取值范围. 例2、（函数中的数形结合） 设?222fxxax?，当?1,x?时，?fxa?恒成立，求a的取值范围. 例3、（方程中的数形结合） 若方程?2lg3lg3xxmx?在?0,3x?内有唯一解，求实数m的取值范围. 例4、（不等式中数形结合） 不等式0222?aaaxx在?2,0?x时恒成立，求a的取值范围. 例5、（解析几何中的数形结合） 已知,xy 满足2211625xy?，求3yx?的最大值与最小值. 实用文档 文案大全 例6、设0b?，

16、二次函数2 21yaxbxa?的图像为下列之一，则a的值为（ ） ?A1 ?B1? ?C152? ?D152? 例7、线段AB的两个端点为?1,1,1,3AB?，直线:21lyax?，已知直线l与线段AB有公共点，求a的取值范围. 例8、已知?1,1A为椭圆22195xy?内一点，1F为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点， 求1PFPA?的最大值和最小值. 【配套练习】 1、方程1sin44xx?的解的个数为（ ） ?A1 ?B2 ?C3 ?D4 2、如果实数,xy满足?2223xy?，则yx的最大值为（ ） ?A12 ?B33 ?C32 ?D3 3、已知函数?2log1fxx?，若0abc?，则?

17、,fafbfcabc的大小关系为 . 4、设函数?2020xbxcxfxx?，若?40ff?，?22f?， 则关于x的方程?fxx?的解的个数为（ ） ?A1 ?B2 ?C3 ?D3 5、函数2222613yxxxx?的最小值为（ ） yx1-1OyxOyxOyx-11O实用文档 文案大全 ? A25? ? B221? ? C2 ? D13 6、已知函数aaxxy?22在区间?3,?内递减，则实数a的取值范围为 . 7、设?、?分别是方程2log40240xxxx?和的根，则? . 8、如果关于x的方程0232?aaxx有两个实数根21,xx，并且?2,0,1,21?xx， 求实数a的取值范围

18、. 9 、求函数2cos2sin?xxy的值域. 10、已知集合?22,1,1,PxyxyxRyRQxyxayxRyR?， 求满足下列条件时实数a的取值范围.?QP；P?Q. 【高考真题】 1、若集合?)0(sin3cos3)(?yxyxM，集合|)(bxyyxN?，且?NM?， 则实数b的取值范围为 . 实用文档 文案大全 0 y 1 2 x 2、已知?2fxxaxb?（其中ab?），且,?是方程?0fx?的两根（?）， 则实数?,a?，且b ?,?. 3、点M 是椭圆1162522?yx上一点，它到其中一个焦点1F的距离为2，N为1MF的中点，O表示原点，则ON?（ ） ? A32 ?B2 ?C4 ?D8 4、关于x的方程?axkx?22在?*21,21xkkkN?上有两个不相等的实数解，求实数a的取值范围. 5、已知函数?fx?是 . 、则实数、下图中的函数图像、与函数方程( ) ?lg1x?,B?，