导数的应用洛必达法则(11级)

1、导导 数数 的的 应应 用用一、洛必达法则一、洛必达法则二、函数的单调性与曲线的凹凸性二、函数的单调性与曲线的凹凸性三、函数的极值与最大值最小值三、函数的极值与最大值最小值洛必达法则洛必达法则二、其他未定式二、其他未定式引引 在求极限时，有时会遇到两个无穷小量之比的极在求极限时，有时会遇到两个无穷小量之比的极限或者两个无穷大量之比的极限，这类极限有的存在，限或者两个无穷大量之比的极限，这类极限有的存在，有的不存在，通常称这种类型的极限式为有的不存在，通常称这种类型的极限式为未定式未定式，简，简记为记为 型或型或 型型. .如何计算这种未定式呢？如何计算这种未定式呢？00,0 ,00,1型0型型

2、未未定定式式型型及及 00一、一、解法：洛比达法则解法：洛比达法则( )0lim( )0f xf x称称为为或或型型未未定定式式. . 例如例如,0sinlim,xxx3lnlim,xxx)00()( 如果当如果当xa( (或或x ) )时，两个函数时，两个函数 f( (x) )与与g( (x) )都都趋于零或都趋于无穷大，那么极限趋于零或都趋于无穷大，那么极限一、一、 00型型及及型型未未定定式式 ）或(0)(lim)(lim) 1xfxfaxax)()(lim)3xfxfax存在存在 (或为或为 )()(lim)()(limxfxfxfxfaxax,)()()()2内可导在与axfxf0)

3、( xf且定理定理 1.(洛必达法则洛必达法则) 例例1 1 求求.)(lim231123 xxxx解解 这是这是00型未定式型未定式, 故故)()(lim 231123xxxx)(lim123321 xxx)()(lim121321 xxx原式原式=2131)(lim xx3 说明说明1. 定理定理 1 中中ax 换为换为, ax, ax,xx之一之一,说明说明 2. 若若)()(limxfxf)(, )(,00 xfxf且型或型仍属满足洛必达法则满足洛必达法则, 则则)()(lim)()(limxfxfxfxf)()(limxfxf 条件条件 2) 作相应的修改作相应的修改 , 定理定理

4、1 仍然成立仍然成立.,x对洛必达法则的两点说明：对洛必达法则的两点说明：例例3 3解解.123lim2331xxxxxx求求12333lim221xxxx原式原式266lim1xxx.23)00(例例4 4 求求解解)(00 xxexx201lim)() 1(lim20 xxexx 120 xexxlim1 xxexx 201lim例例5 求求.lnlim3xxx)( 解解 3lnlimxxx)()(lnlim3 xxx231limxxx 331limxx =0.=0.例例6 6解解.3tantanlim2xxx 求求xxx3sec3seclim222 原式原式xxx222cos3cosli

5、m31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 . 3 )(使用洛必达法则的几点注意使用洛必达法则的几点注意:例如例如,xxx21lim21limxxxxxx21lim事实上事实上xxx21lim1用洛必达法则用洛必达法则1) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题计算问题 . 11lim2xx2) 例例7 求求.sintanlim20 xxxxx 解解 先对分母使用等价无穷小，先对分母使用等价无穷小，x2sinx x3 3 xxxxxsintanli

6、m2030tanlimxxxx )()(tanlim30 xxxx22031seclimxxx 220tanlim31xxx.31 )(00例例8 8解解.sinlnsinlnlim0bxaxx求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0原式原式. 1 )(bxaxxcoscoslim0例例9 9 求求.lncotlnlim0 xxx解解 这是这是型未定式型未定式, 故故201( csc)cotlim1xxxx 原原式式0limcosxxxx 0limsincosxxxx 1. 3) ,)()()(lim时不存在xfxf.)()(lim)()(limxfxfxfxf例如例如,xx

7、xxsinlim1cos1limxx)sin1 (limxxx1极限不存在极限不存在不能用洛必达法则不能用洛必达法则 ! 即即 必须是未定式才可使用洛必达法则！必须是未定式才可使用洛必达法则！4) 若若266lim1xxx166lim1x例如例如,使用洛必达法则的几点注意使用洛必达法则的几点注意:二、其他未定式二、其他未定式 若若limu(x)=1, limv(x)= , 则称极限式则称极限式 limu(x)v(x) 为为 1 型型未定式未定式, 此外还有此外还有 0 型型和和 00 型型等未定式等未定式. 00型型及及型型未未定定式式. . ,0 ,00,1型0 这些未定式求值时不能直接使用

8、洛比达法则，这些未定式求值时不能直接使用洛比达法则， 若若limu(x)= , limv(x)= , 则称极限式则称极限式 limu(x)-v(x) 为为 - 型型未定式未定式. 若若limu(x)=0, limv(x)= , 则称极限式则称极限式 limu(x)v(x) 为为 0 型型未定式未定式. 但可以利用通分、取对数等初等方法将其化成但可以利用通分、取对数等初等方法将其化成例例1解解 原式原式=)( xxxxxxln) 1(1lnlim1xxxxln11lnlim1xxxx111lim21.21 )ln11(lim1xxxx)00()00(“通分通分”洛洛洛洛例例2.).1sin1(l

9、im0 xxx 求求)( 解：解：xxxxxsinsinlim0 原式原式xxx2cos1lim0. 0 型. )tan(seclim2xxx解解: 原式原式)cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim2xxxsincoslim20例例3. 求求洛洛xxx4lim20)00(洛洛);11ln(lim2xxxx )ln(limtttt 11120)11ln(lim2xxxx )1 (21lim0tt 0111lim2ttt 21 )1(xt 令例例4 求求解解20)1ln(limtttt )( “倒代换倒代换”)( “通分通分”)(00例例5 5 求求).arctan2(l

10、imxxx解解 这是这是0 型未定式型未定式, 可化为可化为则则,00arctan2lim1xxx 原式原式 2211lim1xxx“取倒数取倒数”（0 ）)(00洛洛1.sin0limxxx0lim sin lnxxx01limcsc cotxxxx例例6 求求解解0lnlimcscxxx0sin sinlimcosxxxxx0.0( 0 )原式原式是是幂指函数幂指函数，xxsin 0 x时，它是未定式。时，它是未定式。利用利用恒等变形恒等变形将其变为复合函数：将其变为复合函数：xxsinxxelnsin 时， 0 xxx lnsin是是）（ 0类型的未定式。类型的未定式。）（ 0“取倒数取

11、倒数”）（ 01.e洛洛例例7解：解：.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 ,)(cot)ln(cotlnlnxxxex 1101limln(cot)lnxxx 2011cotsinlim1xxxx xxxxsincoslim0 , 1 1.e原式原式 幂指函数幂指函数恒等变形恒等变形xxxln)ln(cotlim 0)( 洛洛例例81ln(1)0sinlim.xxxxx求求 )1( xxxxxxexxsinln)ln()ln(sin1111幂指函数幂指函数解：解： 恒等变形恒等变形)ln(sinlnxxxxe 10 xlim)ln(sinlnxxxx 1)(00 xxxxx lns

12、inlnlim0 xxxxx210 sincoslim302xxxxxsincoslim 206xxxxxxcossincoslim 61 原式原式=61 e洛洛对于对于)1( 型未定式还有一种解法，即利用重要极限二。型未定式还有一种解法，即利用重要极限二。此外还可以利用如下方法：此外还可以利用如下方法： )()(limxvxu若若limu(x)=1, limv(x)= , 则称则称limu(x)v(x）为为1 型未定式。型未定式。 )()(limxvxu11 )(ln)(lim11 xuxve恒等变形恒等变形 1 )()(limxuxve等价无穷小等价无穷小即即 )()(limxvxu 1 )()(limxuxve例例81ln(1)0sinlim.xxxxx求求 )1( 解法解法2 2：原式原式= =1sin)1ln(10limxxxxxe3sin0limxxxxe 231cos0limxxxe 232210limxxxe .61 e洛洛小结：洛必达法则是针对小结：洛必达法则是针对型型 0. 1步骤步骤: :,10 .000100 或或即将其中一个因子下放至分母就可转化为即将其中一个因子下放至分母就可转化为型型或或 00型