鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形高考专题突破二高考中的三角函数与解三角形问

1、 1 高考专题突破二 高考中的三角函数与解三角形问题 题型一 三角函数的图象和性质 例1(2016·山东)设f(x) 23sin(x)sinx(sinxcosx)2. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)把yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移 3个单位长度，得到函数yg(x)的图象，求g? 6的值 解 (1)由f(x) 23sin(x)sinx(sinxcosx)2 23sin2x(12sinxcosx) 3(1cos2x)sin2x1 sin2x 3cos2x 31 2sin?2x 3 31. 由2k 22x 32k 2(kZ)

2、， 得k 12xk5 12(kZ) 所以f(x)的单调递增区间是?k 12，k5 12(kZ)?或?k 12，k5 12?kZ?. (2)由(1)知f(x)2sin?2x 3 31， 把yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 得到y2sin?x 3 31的图象， 再把得到的图象向左平移 3个单位长度， 得到y2sinx 31的图象， 即g(x)2sinx 31. 所以g? 62sin 6 31 3. 思维升华三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为yAsin(x)k的形式，然后将tx视为一个整体，结合ysint的图象求解 跟踪训练1已知函数f(x)5

3、sinxcosx 53cos2x 532(其中xR)，求： 2 (1)函数f(x)的最小正周期； (2)函数f(x)的单调区间； (3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心 解 (1)因为f(x)52sin2x 532(1cos2x )532 5?12 sin2x32cos2x5sin? ?2x3， 所以函数的最小正周期T22. (2) 由2k 22x 32k2(kZ)， 得k12x k512(kZ)， 所以函数f(x)的单调递增区间为 ? ?k12 ，k512(kZ) 由2k 22x3 2k32(kZ)， 得k512x k1112(kZ)， 所以函数f(x)的单调递减区间为? ?k512 ，k

4、1112(kZ) (3)由2x 3k2(kZ )，得xk 2512(kZ)， 所以函数f(x )的对称轴方程为xk 2512(kZ) 由2x3k(kZ )，得x k26(kZ)， 所以函数f(x)的对称中心为? ? k26，0(k Z) 题型二 解三角形 例2ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b ，c，已知sinA3cosA 0，a 27，b2. (1)求角A和边长c； 3 (2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积 解 (1)sinA 3cosA0， tanA 3， 又0<A<，A2 3， 由余弦定理可得a2b2c22bccosA， 即284c22×2c&

5、#215;?12， 即c22c240，解得c6(舍去)或c4，故c4. (2)c2a2b22abcosC， 162842×27×2×cosC， cosC 27 ，CDACcosC 2 27 7，CD12BC， SABC12AB·AC·sinBAC1 2×4×2× 3223， SABD1 2SABC3. 思维升华根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在解决有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，对结果进行正确的取舍 跟踪训练2(2017·北京)在ABC中， A60°，c37a

6、. (1)求sinC的值； (2)若a7，求ABC的面积 解 (1)在ABC中，因为A60°，c37a， 所以由正弦定理得sin CcsinAa3 7×32 3314. (2)因为a7，所以c37×73. 由余弦定理a2b2c22bccosA，得 72b23 22b×3×12， 解得b8或b5(舍去) 所以ABC的面积S1 2bcsinA1 2×8×3× 32 63. 4 题型三 三角函数和解三角形的综合应用 例3(2018·南通考试)如图，某机械厂欲从AB2米，AD 22米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形A

7、BEF加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：点E，F分别在边BC，AD上，且EBEF，AF<BE.设BEF，四边形ABEF的面积为f()(单位：平方米) (1)求f()关于的函数关系式，求出定义域； (2)当BE，AF的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF的面积最小，并求出最小值 解 (1)过点F作FMBE，垂足为M . 在RtFME中，MF2，EMF 2，FEM， 所以EF2sin ，ME2tan ， 故AFBMEFEM2sin 2tan ， 所以f()12(AFBE)×AB 12×?2sin 2tan 2sin ×24sin 2tan ， 由题意可知，AF&l

8、t;BE，所以< 2， 且当点E重合于点C时，EFEB 22，FM2， 4， 所以函数f()4sin 2tan 的定义域为? 4， 2. (2)由(1)可知， 5 f()4sin 2tan 4?sin2 2cos2 22sin 2cos 222tan 21tan2 2 2?tan 21tan 2?1tan 2tan 2 3tan 21tan 2 23tan 2·1tan 223 ， 当且仅当3tan21tan2时，等号成立， 又 ? ?4，2， 2 ? 8，4 ， 故当tan 2 33，即 26， 3时，四边形ABEF的面积最小， 此时 BE2sin 43 3，AF2sin 2

9、tan2 33，f () 4sin2tan23. 答 当BE，AF的长度分别为 433米， 233米时，裁剪出的四边形ABEF的面积最小，最小值为23平方米 思维升华三角函数和解三角形的综合问题要利用正弦定理、余弦定理进行转化，结合三角函数的性质，要注意角的范围对变形过程的影响 跟踪训练3在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinBbcosCccosB. (1)判断ABC的形状； (2)若f(x)12cos2x23cosx12，求f(A)的取值范围 解 (1)因为asinBbcosCccosB， 由正弦定理可得sinAsinBsinBcosCsinCcosB. 即sinAsi

10、nBsinCcosBcosCsinB， 所以sin(CB)sinAsinB. 因为在ABC中，ABC，所以sinAsinAsinB， 又 sinA0，所以sinB1，B2， 所以ABC为直角三角形 6 (2)因为f(x)12cos2x23cosx12 cos2x23cosx?cosx13219， 所以f(A)?cosA13219， 因为ABC是直角三角形， 所以0<A< 2，且0<cosA<1， 所以当cosA13时，f(A)有最小值19. 所以f(A)的取值范围是?19，13 . 1.已知函数f(x)Asin(x)?A>0，>0，|< 2，xR的部分

11、图象如图 (1)求函数f(x)的解析式 (2)求函数f(x)在区间?0，5 12上的最值，并求出相应的x值 解 (1)由题干图象可知|A|2， 又A>0，故A2. 周期T43×?13 12 343×3 4， 又T2 ，2.f(x)2sin(2x)， 由题干图象知f? 32sin?2 32， 2 3 22k，kZ， 62k，kZ， 又|< 2， 6，故f(x)2sin?2x 6. 7 (2)x?0，5 12，2x 6? 6，2 3， sin?2x 6?12，1，2sin?2x 61，2. 当2x 6 2，即x 3时，f(x)取得最大值， f(x)maxf? 32.

12、 当2x 6 6，即x0时，f(x)取得最小值，f(x)minf(0)1. 2(2018·天津联考)设函数f(x)2tanx4·cos2x42cos2?x4 121. (1)求f(x)的定义域及最小正周期 (2)求f(x)在，0上的最值 解 (1)f(x)2sinx4cosx4cos?x2 6 sinx2cos?x2 6sinx2 3 2cosx 212sinx 2 3sin?x 26. 由x 42k(kZ)， 得f(x)的定义域为x|x24k(kZ)， 故f(x)的最小正周期为T2 124. (2)x 0，23x 2 66. 当x 26? 2 3，2， 即x? ，23时，

13、f(x)单调递减， 当x 26? ? 2，6， 即x? 23，0时，f(x)单调递增， f(x)minf? 2 33， 8 又f(0) 32，f( )32， f(x)maxf(0) 32. 3.已知函数f(x)sin? x6sin? x62cos 2x2，xR(其中>0) (1)求函数f(x)的值域； (2)若函数yf(x)的图象与直线y 1的两个相邻交点间的距离为2，求函数yf(x)的单调递增区间 解 (1)f(x) 3sinx12cosx32sinx12cosx(cosx1) 2 ?32sinx12cosx12sin ?x61. 由1sin ?x61，得32sin ?x611， 所以

14、函数f(x)的值域为3,1 (2)由题设条件及三角函数的图象和性质可知，y f(x)的周期为，所以2，即2. 所以f(x)2sin ?2x6 1， 再由2 k22 x62k2(k Z)， 解得k 6xk3(kZ) 所以函数yf(x)的单调递增区间为 ?k 6，k3( kZ) 4已知点P(3，1)，Q(cosx，sinx)，O为坐标原点，函数f(x)OP·QP. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若A为ABC的内角，f(A)4，BC3，求ABC 周长的最大值 解 (1)由已知，得OP (3，1)，QP(3cosx,1sinx)， 所以f(x )OP·QP33cosx1

15、sinx 4 2sin?x3， 9 所以函数f(x)的最小正周期为2. (2)因为f(A)4，所以sin?A 30， 又0<A<，所以 3<A 3<4 3，A2 3. 因为BC3， 所以由正弦定理，得AC 23sinB，AB 23sinC， 所以ABC的周长为3 23sinB 23sinC 3 23sinB 23sin? 3B 3 23sin?B 3. 因为0<B< 3，所以 3<B 3<2 3， 所以当B 3 2，即B 6时， ABC的周长取得最大值，最大值为3 2 3. 5.已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC 3

16、asinCbc 0. (1)求A； (2)若AD为BC边上的中线，cosB1 7，AD 1292，求ABC的面积 解 (1)a cosC3asinCbc0， 由正弦定理得sinA cosC3sinAsinCsinBsinC， 即sinA cosC3sinAsinCsin(AC)sinC， 亦即sinA cosC3sinAsinC sinAcosCcosAsinCsinC ， 则3sinAsinCcosAsinCsinC. 又 sinC0，所以3sinAcosA1，所以sin( A30°)12. 在ABC中，0°<A<180°，则30°<

17、A30°<150°， 10 所以A30°30°，得A60°. (2)在ABC中，因为cosB17，所以sinB 437. 所以sinCsin(A B)32×171 2×43 75314. 由正弦定理，得a csinAsinC75. 设a7x，c5x(x>0)， 则在ABD中，AD2AB2BD22AB·BD cosB， 即129425x214×49x22×5x×12×7x×17， 解得x1(负值舍去)，所以a7，c5， 故SABC1 2ac sinB103

18、. 6已知函数f(x )cos2x3sin2xt(>0)，若f (x)的图象上相邻两条对称轴的距离为4，图象过点(0,0) (1)求f(x)的表达式和f(x)的单调增区间； (2)将函数 f(x)的图象向右平移8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数yg(x)的图象，若函数F(x)g(x)k在区间? ?0，2上有且只有一个零点，求实数k的取值范围 解 (1)f(x )cos2x3sin2xt 2sin? ?2x6t， f( x)的最小正周期为2 22，2， f( x)的图象过点(0,0)，2sin6t0， t1，即f(x)2sin? ?4x61. 令2k 24x 62k2，k Z， 求得 k2 6x k212，kZ， 11 故f(x)的单调增区间为?k 2 6，k 2 12，kZ. (2)将函数f