2022年一元二次方程根与系数的关系典型例题

1、优秀教案欢迎下载一元二次方程根与系数的关系【同步教育信息】一. 本周教学内容：一元二次方程的根与系数的关系学习目标1. 熟练掌握一元二次方程根与系数的关系（即：韦达定理及逆定理）；2. 灵活运用一元二次方程根与系数关系确定字母系数的值；求关于两根的对称式的值；根据已知方程的根，构作根满足某些要求的新方程。3. 在解题中锻炼分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力；4. 提高自己综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力。5. 体会特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律，有意培养自己发现规律的兴趣，及树立勇于探索规律的精神。二. 重点、难点：1. 教学重点：一元二次方程根与系数关系及其推导和应用

2、，注意往往不解方程，用两根和与积或各系数就可解决问题，这时解了方程反而更麻烦。2. 教学难点：正确理解根与系数的关系，掌握配方思想，把某些代数式配成两根和与积的形式才能将系数代入。【典型例题】例 1. 已知方程的一个根是，求它的另一个根及b 的值。分析： 含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。解： （方法一）设方程的另一根为，则由方程的根与系数关系得：解得：（方法二）由题意：解得：根据韦达定理设另一根为x，则精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - -

3、- - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载点拨： 解法一较简单，主要原因是突出了求解的整体性。例 2. 已知方程的两根为，求下列代数式的值：（1）；（ 2）；（3）分析： 若方程两根，则不解方程， 可求出关于的对称式的值，只须将其配成含有、的形式。解： 由已知，根据韦达定理（1）（2）（3）点拨： 体会配方思想，将代数式配成含有的形式，再代系数即可。例 3. 已知：是两个不相等的实数，且满足，那么求的值。精品学习资料 可选择p d f - - - - - -

4、- - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载分析： 由两个条件可得出为方程的两不等实根， 再对所求代数式配方变形。解： 由题意，为的两个不等实根因而有又点拨： 善于转化未见过的题，充分挖掘已知条件。例 4. 已知关于x 的一元二次方程与有一个相同的根，求 k 的值。解： （解法一） 设方程两根 、， 方程的两根，则有：由当时，代入当时，由代入则代入把代入 中，或（解法二）将与相减得：此

5、时方程根为0 或，即题中两方程相同根为0 或（1）若是 0 则；（2）若是，则；或精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载点拨： 两种解法各有千秋，一运用了解方程组思想，二运用了“若方程与有公共根，则公共根必满足方程”的结论。例 5. 已知方程（1）若方程两根之差为5，求 k。（2）若方程一根是另一根2 倍，求这两根之积。分析

6、： 对含字母系数的一元二次方程，可根据题设中方程根与系数关系，确定方程系数字母的值。解： （1）设方程两根与，由韦达定理知：又（2）设方程两根，由根系关系知：点拨： 已知两根的关系，应用韦达定理解决系数求值问题。例 6. 已知方程两根之比为1：3，判别式值为16，求 a、b 的值。分析： 必用判别式，又韦达定理知，显然可求a、b。解： 设已知方程的两根为m，3m 由韦达定理知：即把代入得：点拨： 把判别式、韦达定理综合出题，更易贯通新旧知识。例 7. 已知是关于 x 的一元二次方程的两个实数根。（1）用含 m 的代数式表示；（2）当时，求 m 的值。分析： 应注意，即可用根系关系。解： （1）

7、由题意：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载（2）由（ 1）得：解得：检验：当时，原方程无实根。舍去当时，原方程有实根。点拨： 易忽略检验，要学会灵活应用一元二次方程有关概念，及判别式，根系关系。例 8. 已知方程的两根为，求一个一元二次方程，使它两根为和。分析： 所求方程，只要求出的值即可，转化成例2类型了。解： 设所求

8、一元二次方程为为方程的两根由韦达定理又精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载所求一元二次方程为即：点 拨 ： 应 用 根 系 关 系 构 造 方 程 ， 如 果 方 程 有 两 实 根， 那 么 方 程 为，当为分数时，往往化成整系数方程。总结扩展1. 一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的

9、和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。2. 以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力。3. 本节课学习了根与系数的关系的应用，主要有如下几方面：（1）验根；（ 2）已知方程的一根，求另一根；（3）求某些代数式的值；（4）求作一个新方程4. 通过根与系数的关系的应用，能较好地熟悉和掌握了根与系数的关系，由此锻炼和培养了学生逻辑思维能力。【模拟试题】（答题时间：40 分钟）一. 选择题。1. 已知是关于 x 的一元二次方

10、程的一个根，则k 与另一根分别为（）a. 2，-1 b. -1，2 c. -2，1 d. 1，-2 2. 已知方程的两根互为相反数，则m 的值是（）a. 4 b. -4 c. 1 d. -1 3. 若方程有两根，一根大于1, 一根小于1. 则 k 的取值范围是（）a. b. c. d. 4. 若方程的两根中，只有一个是0，那么（）a. b. c. d. 不能确定5. 方程的大根与小根之差等于（）a. b. c. 1 d. 6. 以为根的，且二次项系数为1 的一元二次方程是（）a. b. c. d. 二. 填空题。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - -

11、 - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载7. 关于 x 的一元二次方程的两根互为倒数，则m _。8. 已知一元二次方程两根比 2：3，则 a，b，c 之间的关系是 _。9. 已知方程的两根，且，则_。10. 已知是方程的两根，不解方程可得：_，_，_。11. 已知，则以为根的一元二次方程是_ _。三. 解答题。12. 已知方程的两个实根中，其中一个是另一个的2 倍，求 m 的值。13. 已知方程的两根不解方

12、程，求和的值。14. 已知方程的两根，求作以为两根的方程。15. 设是方程的两个实根， 且两实根的倒数和等于3，试求 m 的值。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载【试题答案】一. 选择题。 1. a 2. b 3. d 4. b 5. c 6. b 二. 填空题。7. 8. 设，则9. 或时，原方程0，故舍去，10. 精

13、品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载11. 由此或或所求方程或三. 解答题。12. 解： 设方程的一个根为x，另一根 2x 由根系关系知：解得：13. 解： 由题设条件精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品学习资

14、料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载14. 解： 由题意即故所求方程是，即15. 解：由由不符合题意，舍去【励志故事】果断有一个6 岁的小男孩，一天在外面玩耍时，发现了一个鸟巢被风从树上吹掉在地，从里面滚出了一个嗷嗷待哺的小麻雀。小男孩决定把它带回家喂养。当他托着鸟巢走到家门口的时候，他突然想起妈妈不允许他在家里养小动物。于是，他轻轻地把小麻雀放在门口，急忙走进屋去请求妈妈。在他的哀求下妈妈终于破例答应了。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载小男孩兴奋地跑到门口，不料小麻雀已经不见了，他看见一只黑猫正在意犹未