2022年一元二次方程根的判别式和根与系数关系

1、学习必备欢迎下载一元二次方程根的判别式和根与系数关系例1. 已 知 三 个 关 于x的 方 程 ：0mxx2，012x1)x-(m2，012x2)x-(m2，若其中至少有两个方程有实根，则m 的取值范围是 _. 分析：41m01，2m02，1m03例 2.已知方程0b-3axx2有两个不相等的实数根，0b6a)x(6x2有两个相等的实数根，0b5a)x-(4x2没有实数根，求a，b 的取值范围。分析：0b)4(3a210124ba20b)4(6a)6(2212-12a4ba20b)4(5a)4(230484ba2a由以上三式求得2a4 而33aa41b26)6(412a，所以 2b5 例 3.

2、已知 p，q 是方程087xx2的两根，且pq，不解方程，求23qp2的值。分析：设 a=23qp2，b=23pq2由韦达定理知87pqqp，则易得27871122qpqp因此 a+b=43100)(32222qpqp， a-b=17485)(32222pqqp所以 a=)1785403(81精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下

3、载例 4.设实数s，t 分别满足019919s2s，01999tt2，并且st1 ，求t14sst的值。分析：因 s 0，故第一个方程可变形为019)s199()s1(2又因为 st 1，所以s1、t 是一元 二 次 方 程01999xx2的 两 个 不 同 实 根 ， 则99ts1，19ts1， 即99s1st，t=19s.故519s4s99st14sst例 5. 设是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根。（1）若，求的值。（2）求的最大值。解：因为方程有两个不相等的实数根，所以，。根据题设，有。（1） 因为，即。由于，故。精品学习资料 可选择p d f - - - - - -

4、- - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载（2）。设上是递减的，所以当时，取最大值 10。故的最大值为 10。部分优秀试题：1.（98 年全国）设抛物线452122axaxy的图象与 x 轴只有一个交点， （1）求 a的值； （2）求618323aa的值。分析： (1) 因为抛物线与x 轴只有一个交点，所以一元二次方程有两个相等的实根，于是精品学习资料 可选择p d f - - - -

5、- - - - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载(2) 由(1) 知， a2=a 1，反复利用此式可得a4=(a1)2=a22a+1=3a+2 ，a8=(3a2)2=9a212a4=21a13，a16=(21a+13)2=441a2546a169 987a610，a18(987a610)(a 1)987a21597a610 =2584a1597又因为 a2-a-1=0 ，所以 64a2

6、-64a-65=-1 ，即(8a+5)(8a-13)=-1所以a18323a6=2584a1597323(-8a 13)=5796精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载2.（04 全国）实数x、 y、 z 满足 x+y+z=5， xy+yz+zx=3， 则 z 的最大值是.答：313解：zyx5，35)5(3)(32zzzzyx

7、zxy， x、y 是关于 t 的一元二次方程035)5(22zztzt的两实根 . 0)35(4)5(22zzz，即0131032zz，0)1)(133(zz.313z，当31yx时，313z. 故 z 的最大值为313. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载3. （05 全国）已知 p， q 都是质数，且使得关于 x 的二次

8、方程 x2(8p10q)x5pq=0 至少有一个正整数根，求所有的质数对(p，q). 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载4.（06 浙江）已知a，b，c 都是整数，且24ab，210abc，求abc的值解： 将ba24代入210abc，得 2b2+4b+c21=0， 2 分22622cb2 分 b，c 都是整数，只能取; 1

9、, 011cb; 1,022cb; 1,233cb1,244cb， 4 分相对应 a1=4，a2=4，a3=， a4=0故所求abc的值有 4 个： 5，3，1，3 4 分5（07 浙江）现有a 根长度相同的火柴棒，按如图1 摆放可摆成m 个正方形，按如图2 摆放时可摆成 2n 个正方形（图 1）（图 2）（图 3）（1）用含 n 的代数式表示m；（2）当这 a 根火柴棒还能摆成如图3 所示的形状时，求a 的最小值. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载精