计算方法(7)82975

1、电磁场中的计算方法电磁场中的计算方法第七章第七章 偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法 7.1 7.1 差分方法的基本概念差分方法的基本概念 “ “高数高数”中接触了一些简单偏微分，也接触了简单偏微分中接触了一些简单偏微分，也接触了简单偏微分方程，如：方程，如： zyzxxzyxxxxzy2ln1 ) 1, 0(其中其中1yyxxzxxyzylnvuyvuxyxarctgz , , 1 yzxz满足：满足：电磁场中的计算方法电磁场中的计算方法( 3). 2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z 满足：满足： 1yzxz(4). 满足：满足： xeytknsin222xykty(5). 满足满

2、足： 22lnyxz02222yuxu(6). 满足：满足： 222zyxrrzryrxr2222222 上面是已知函数上面是已知函数: : ，验证满足等式，反过来，验证满足等式，反过来，将等式视为方程，则是求解方程，得到解函数。将等式视为方程，则是求解方程，得到解函数。 ),( yxfz电磁场中的计算方法电磁场中的计算方法 因此因此偏微分方程偏微分方程： (1). (1). 含偏微分的等式，含偏微分的等式， (2). (2). 求解偏微分方程、求含多个自变量的函数求解偏微分方程、求含多个自变量的函数 (3). (3). 带有初值、边界条件。带有初值、边界条件。 常微分方程常微分方程的求解已很

3、困难，通过分门别类研究，能的求解已很困难，通过分门别类研究，能求得一些特殊类型方程的解（只含一个变量），即便是一求得一些特殊类型方程的解（只含一个变量），即便是一阶方程，也很难求出解析解表达式，也因此，在上一章我阶方程，也很难求出解析解表达式，也因此，在上一章我们研究了们研究了一阶微分方程一阶微分方程的的数值解法数值解法。 要求解要求解偏微分方程偏微分方程比求解常微分方程更难，因此寻求偏微比求解常微分方程更难，因此寻求偏微分方程的数值解更显重要，实际上，绝大部分偏微分方程不分方程的数值解更显重要，实际上，绝大部分偏微分方程不可能求到解析函数解，基本上都是数值解法。可能求到解析函数解，基本上都是

4、数值解法。 电磁场中的计算方法电磁场中的计算方法 一般来说，偏微分方程从实际问题抽出后，多是下列几种一般来说，偏微分方程从实际问题抽出后，多是下列几种类型类型: : （1）泊松泊松方程方程（poisson），），又称为椭圆型方程：又称为椭圆型方程： ),( ),(2222yxyxfyuxuu ：自变量的变化区域，有界区域。自变量的变化区域，有界区域。 ： 的边界，分段光滑曲线。的边界，分段光滑曲线。 当当 称为称为拉普拉斯方程拉普拉斯方程（laplace）或调和方程，或调和方程， 例如例如 满足：满足： 0u22lnyxz0u相应第一边值条件：相应第一边值条件：),(|yxu电磁场中的计算方法

5、电磁场中的计算方法第二、第三边值条件：第二、第三边值条件： ),(yxaunu 为边界为边界 的外法线方向，的外法线方向， 为第二边界条件，为第二边界条件， 为为第三边界条件。第三边界条件。 n0a0a 各种物理性质的各种物理性质的定长问题定长问题（不随时间变化过程），都可（不随时间变化过程），都可用用椭圆型方程描述椭圆型方程描述。如带有稳定热源或内部无热源的稳定场。如带有稳定热源或内部无热源的稳定场的温度分布，不可压缩流体的稳定克旋流动及静电场的电热的温度分布，不可压缩流体的稳定克旋流动及静电场的电热等均满足上述方程。等均满足上述方程。 （2）热传导方程（抛物型）热传导方程（抛物型） 222

6、tuatu 相应有：柯西（相应有：柯西（cauchy）初值条件：）初值条件：)()0 ,(xxu),(x电磁场中的计算方法电磁场中的计算方法初边值条件为：初边值条件为：) 0 ()( )(), () 0 () 0 ( )0 ( )(), 0 (0 )() 0 ,(2211gltgtlagtttgtulxxxu第一边值条件：第一边值条件：)(),()(), 0(21tgtlutgtu第二第二边值边值条件：条件：tttgxutgxulxx0 )()(210第三边值条件为：第三边值条件为：tttgutxutgutxutglxx0 )()()()(2)(21012电磁场中的计算方法电磁场中的计算方法

7、在热传导过程的研究中，气体的扩散现象及电磁场的传在热传导过程的研究中，气体的扩散现象及电磁场的传播等随时间变化的非定常物理问题，都可用上述方程来描述。播等随时间变化的非定常物理问题，都可用上述方程来描述。 （3） 波动方程（双曲型）波动方程（双曲型）), 0 ( ), 0 ( 22222ttlxxuatu 最简单形式为线性双曲方程：最简单形式为线性双曲方程：0 0txuatu其初边值其初边值条件为：条件为： ),( )()() 0 ,(0 xxtuxut边值条件同热边值条件同热传导方程。传导方程。 物理中常见的一维振动及各类波动问题，均可用波动方程物理中常见的一维振动及各类波动问题，均可用波动

8、方程描述。描述。 电磁场中的计算方法电磁场中的计算方法 3 3 有限差分法的基本概念有限差分法的基本概念)()()(xfhxfxf 被称为函数被称为函数 的差分的差分(一阶差分一阶差分)。 )(xf)(xf 差分与微分是不同的，因为差分是有限量的差，故通常差分与微分是不同的，因为差分是有限量的差，故通常也被称为也被称为有限差分有限差分。但是，只要增量。但是，只要增量 很小，差分很小，差分 与微与微分分 之间的差异将很小。之间的差异将很小。 fhdf)()()(hxfhxfxf 根据差分的定义，在差分运算中还经常用到一阶中心差分：根据差分的定义，在差分运算中还经常用到一阶中心差分： 由一阶差分的

9、差分，得到由一阶差分的差分，得到 ，称为原函数，称为原函数 二阶差分，二阶差分，同样，当同样，当 很小时，二阶差分很小时，二阶差分 很接近于二阶微分很接近于二阶微分 。 )(2xfhfd2)(xf)(2xf 设有一函数设有一函数 ，当其独立变量，当其独立变量 有一很小的增量有一很小的增量 时，相应地函数时，相应地函数 地增量为：地增量为：)(xfxhx )(xf电磁场中的计算方法电磁场中的计算方法 一阶差分一阶差分 除以增量除以增量 的商称为一阶差商，即：的商称为一阶差商，即：hfhxfhxfxf)()( 当增量当增量 很小时，它很接近于一阶导数很小时，它很接近于一阶导数 , 即：即：dxdf

10、h 上述三式分别称为一阶向前、向后和中心差商，它们的截上述三式分别称为一阶向前、向后和中心差商，它们的截断误差可由泰勒公式的展开式得知：断误差可由泰勒公式的展开式得知： 由一阶中心差分得到二阶差分为：由一阶中心差分得到二阶差分为：)(2)()()(2xfhxfhxfxfhxfhxfxfdxdf)()(hhxfxfxfdxdf)()(hhxfhxfxfdxdf2)()(电磁场中的计算方法电磁场中的计算方法 所以，一阶向前差商公式的截断误差为所以，一阶向前差商公式的截断误差为 。)(h )(! 31)(! 21)()()(32xfhxfhxf hxfhxf )(! 31)(! 21)()()(32

11、xfhxfhxf hxfhxf )(! 21)()()(xf hxfhxfhxf )(! 21)()()(xf hxfhhxfxf 所以，一阶向后差商公式的截断误差为所以，一阶向后差商公式的截断误差为 。)(h )(! 32)(2)()(3xfhxf hhxfhxf )(! 31)(2)()(2xfhxfhhxfhxf 所以，一阶中心差商公式的截断误差为：所以，一阶中心差商公式的截断误差为： 。)(2h电磁场中的计算方法电磁场中的计算方法 同理，由泰勒公式可知：同理，由泰勒公式可知： 同样，当增量同样，当增量 很小时，二阶差商很接近于二阶导数很小时，二阶差商很接近于二阶导数 ，即：即：22dx

12、fdh 由此可知，上述三种差商表达式中，以中心差商的截断误由此可知，上述三种差商表达式中，以中心差商的截断误差最小。差最小。)(122xxxdxdfdxdfxdxfd)()()()(1hhxfxfhxfhxfh2)()(2)(hhxfxfhxf )(! 31)(! 21)()()(32xfhxfhxf hxfhxf电磁场中的计算方法电磁场中的计算方法 )(! 31)(! 21)()()(32xfhxfhxf hxfhxf )(! 42)()()(2)()4(22xfhxfhhxfxfhxf 所以，二阶中心差商公式的截断误差为：所以，二阶中心差商公式的截断误差为： 。)(2h 同理，偏导数也可以

13、近似地用相应的差商来表达，若设定同理，偏导数也可以近似地用相应的差商来表达，若设定函数为函数为为为 ，当其独立变量，当其独立变量 得到一个很小的增量得到一个很小的增量 时，则时，则 方向的一阶偏导数可以近似表达为：方向的一阶偏导数可以近似表达为：x),(zyxuhx xhzyxuzyhxuxu),(),(222),(),(2),(hzyhxuzyxuzyhxuxu 同样，相应的二阶偏导数也可近似地表达为：同样，相应的二阶偏导数也可近似地表达为：电磁场中的计算方法电磁场中的计算方法 有限差分法有限差分法是用来求解由偏微分方程定解问题所构成的数学是用来求解由偏微分方程定解问题所构成的数学模型，其基

14、本思想是利用模型，其基本思想是利用网络线网络线将将自变量的连续变化区域自变量的连续变化区域离散离散化为网格化为网格离散节点离散节点的集合的集合;将问题中出现的连续变量的函数用定将问题中出现的连续变量的函数用定义在网格点上离散变量的函数代替；义在网格点上离散变量的函数代替；然后，基于差分原理的应然后，基于差分原理的应用，以各离散点上函数的用，以各离散点上函数的差商差商来近似代替该点的来近似代替该点的偏导数偏导数。 这样，这样，将含连续变量的偏微分方程定解问题化成只含有限个将含连续变量的偏微分方程定解问题化成只含有限个未知数的代数方程组（称为未知数的代数方程组（称为差分格式差分格式）。如果差分格式

15、有解，）。如果差分格式有解，且当网格无限变小时其解收敛于原微分方程定解问题的解，则且当网格无限变小时其解收敛于原微分方程定解问题的解，则差分格式的解就作为原问题的近似解（数值解）。若再应用插差分格式的解就作为原问题的近似解（数值解）。若再应用插值方法，便可从离散解得到定解问题在整个场域上的近似解。值方法，便可从离散解得到定解问题在整个场域上的近似解。电磁场中的计算方法电磁场中的计算方法 因此，用差分方法求解偏微分方程定解问题，一般需解决因此，用差分方法求解偏微分方程定解问题，一般需解决以下问题：以下问题： （1）选取网格：对定义区域如何划分？常用的有矩形、菱形选取网格：对定义区域如何划分？常用

16、的有矩形、菱形等格式。等格式。 （2）对偏微分方程及定解条件，选择差分近似，列出差分格对偏微分方程及定解条件，选择差分近似，列出差分格式，化偏微分方程为差分方程组（线性代数方程组）。式，化偏微分方程为差分方程组（线性代数方程组）。 （3）求解求解差分方程差分方程（解的存在性与唯一性）（解的存在性与唯一性） （4）讨论差分方程的解是否可作为偏微分方程的解的近似值讨论差分方程的解是否可作为偏微分方程的解的近似值（收敛性及误差估计）。（收敛性及误差估计）。 按上述方法，差分方法也可用于求解常微分方程，为了帮助按上述方法，差分方法也可用于求解常微分方程，为了帮助理论理解，下面先简单介绍常微分方程中初值

17、问题数值解法；理论理解，下面先简单介绍常微分方程中初值问题数值解法； 电磁场中的计算方法电磁场中的计算方法二阶线性微分方程第一边值问题：二阶线性微分方程第一边值问题： （1）差分方程的建立：差分方程的建立： )( ,)(, )()()(byaybaxxfyxqxy 将将a, b分为分为n个相等的小区间个相等的小区间， , ), 1 , 0(nabhniihaxi x1 ,xn-1 称为内节点称为内节点，x0 ,xn称为边界点。称为边界点。 要将要将 离散化，即要用：离散化，即要用： )()()(xfyxqxy ),( )(12)()(2)()(1) 4(2211 iiiiiiiixxyhhxy

18、xyxyxy则在内节点则在内节点xi 处，方程化为：处，方程化为： 1, 2 , 1 )(12)()()()()(2)() 4(2211niyhxfxyxqhxyxyxyiiiiiii电磁场中的计算方法电磁场中的计算方法亦即：亦即：niiiiiyynifhyyhqy ,1, 2 , 1 )2( 02121122212121212121 )2 (11)2 (11)2 (nnfhfhfhyyyhqhqhq 这是这是(n-1)(n-1)的三对角方程组，系数矩阵对角占优的三对角方程组，系数矩阵对角占优追赶追赶法求解。法求解。 电磁场中的计算方法电磁场中的计算方法例例 用差分法解二阶线性用差分法解二阶线

19、性微分方程第一边值问题微分方程第一边值问题: : 1(1) 0) 0 (10 yyxxyy解解：取：取h = 0.1,则则xxfxqiixi)(, 1)( )10, 2 , 1 , 0 (1 . 001. 2)01. 02()2(2hqi所以：所以：因此差分方程为因此差分方程为 ：9 , 2 , 1 ,001. 001. 01 . 02iiifhi002. 0001. 0 01. 21101. 21101. 21101. 21221nnyyyy电磁场中的计算方法电磁场中的计算方法解此差分方程，计算结果列在下表中：解此差分方程，计算结果列在下表中：xiyiy(xi）xiyiy(xi)0.10.0

20、7048940.07046730.60.48356840.48348010.20.14268360.14246410.80.71147910.71141090.30.21830480.21824360.90.84700450.84696330.40.29910890.2990332 xeeeexyxx1)( 2)(其中：二阶线性微其中：二阶线性微分方程的解函数为分方程的解函数为电磁场中的计算方法电磁场中的计算方法 . 结合一定的代数方程组的解法，编制程序、计算求解结合一定的代数方程组的解法，编制程序、计算求解差分方程组。差分方程组。 . 采用一定的网格划分格式离散化场域，把实际连续的采用一定的

21、网格划分格式离散化场域，把实际连续的场离散为有限多个点，用这些点上的参数近似描述实际上连场离散为有限多个点，用这些点上的参数近似描述实际上连续的场。续的场。 对于包括电磁场在内的各种物理场，应用有限差分法进对于包括电磁场在内的各种物理场，应用有限差分法进行数值计算的步骤通常是：行数值计算的步骤通常是： . 基于差分原理的应用，对场域内偏微分方程以及场域基于差分原理的应用，对场域内偏微分方程以及场域边界上的边界条件进行差分离散化处理，即用差分代替偏导，边界上的边界条件进行差分离散化处理，即用差分代替偏导，给出相应的差分计算格式。给出相应的差分计算格式。电磁场中的计算方法电磁场中的计算方法 4 4

22、差分方法求解偏微分方程简例差分方法求解偏微分方程简例 下面，我们再通过一个简单的例子来说明下面，我们再通过一个简单的例子来说明用差分方法求解用差分方法求解偏微分方程问题偏微分方程问题的一般过程。的一般过程。 设有一阶双曲型方程初值问题：设有一阶双曲型方程初值问题： )() 0 ,(, 0 0 xxuxtxuatu首先对定解区域：首先对定解区域：0,| ),(txtxd作网格剖分，最简单常用的一种网格是：作网格剖分，最简单常用的一种网格是： 用两族分别平用两族分别平行于行于x轴与轴与t 轴的等距直线轴的等距直线:, 2, 1, 0(,kjttkhxxjk电磁场中的计算方法电磁场中的计算方法 将将

23、d分成许多小矩形区域（见下图）。这些直线称为分成许多小矩形区域（见下图）。这些直线称为网格网格线线，其交点称为，其交点称为网格点网格点，也称为也称为节点节点, h和和分别称分别称作作x方向和方向和t方向的方向的步长步长。这种网格称为这种网格称为矩形网格矩形网格。0233h-h2hh-2htx 如果我们用向前差商如果我们用向前差商表示一阶偏导数，即表示一阶偏导数，即 :),(2),()(1, 1),(2jkxjkjktxthxuhhtxutxuxujk ),(2),()(21,),(2 jktjkjktxtxuhtxutxutujk1,021电磁场中的计算方法电磁场中的计算方法于是，原方程在节点

24、于是，原方程在节点 处可表示为处可表示为 :),(jktxhtxutxuatxutxujkjkjkjk),(),(),(),(11),(2),(21222jkxjktthxuahtxu )0,1,2,2,1,0,( ),(jktxrjk其中其中 )2,1, 0( )() 0 ,(kxxukk 由于当由于当h，足够小时，余项足够小时，余项 是小量，在上式中略是小量，在上式中略去去 就得到一个与原双曲型方程相近似的差分方程。就得到一个与原双曲型方程相近似的差分方程。),(jktxr),(jktxr0, 1,1,huuauujkjkjkjk电磁场中的计算方法电磁场中的计算方法 差分方程差分方程中的中

25、的 可看作是可看作是差分方程差分方程的解在节点的解在节点 处的近似值。由初始条件有：处的近似值。由初始条件有： jku,),(jktx), 2, 1, 0( )(0,kxukk 把差分方程式与上式把差分方程式与上式初始条件初始条件结合起来，就得到求解一阶结合起来，就得到求解一阶双曲型方程初值问题问题的数值解的差分格式。双曲型方程初值问题问题的数值解的差分格式。 而称式而称式为差分方程的截断误差。为差分方程的截断误差。),(2),(2),(1222jkxjktjkthxuahtxutxr )(ho 用差分格式求解时，除了截断误差外，每步计算都会产生用差分格式求解时，除了截断误差外，每步计算都会产

26、生舍入误差舍入误差，在，在递推计算递推计算的过程中，的过程中，误差还会传播误差还会传播。对计算过程。对计算过程中中误差传播的讨论误差传播的讨论就是差分格式的就是差分格式的稳定性问题稳定性问题。电磁场中的计算方法电磁场中的计算方法 如果利用某种差分格式求解，计算过程中误差越来越大，如果利用某种差分格式求解，计算过程中误差越来越大，以致所求的解完全失真，则称该差分格式是以致所求的解完全失真，则称该差分格式是数值不稳定的数值不稳定的。后面的讨论表明，差分格式的后面的讨论表明，差分格式的稳定性不仅与差分格式本身有稳定性不仅与差分格式本身有关，而且与网格步长之比（称为关，而且与网格步长之比（称为网格比网

27、格比）的大小有关）的大小有关。如果。如果一种差分格式对任意网格比都稳定，则称该差分格式是一种差分格式对任意网格比都稳定，则称该差分格式是无条无条件稳定的件稳定的；若只对某些网格比的值稳定，则称为；若只对某些网格比的值稳定，则称为条件稳定条件稳定。如果对任何网格比都不稳定，则称如果对任何网格比都不稳定，则称完全不稳定完全不稳定。完全不稳定完全不稳定的差分格式是无效的的差分格式是无效的。值得指出的是，稳定性与微分方程无。值得指出的是，稳定性与微分方程无关。关。 。电磁场中的计算方法电磁场中的计算方法 7.2 7.2 椭圆型方程第一边值问题的差分解法椭圆型方程第一边值问题的差分解法 poisson

28、本节以本节以poisson方程为模型讨论第一边值问题的差分方法。方程为模型讨论第一边值问题的差分方法。 ),(| )(),( ),(),(2222yxx,yuyxyxfyuxuyx考虑考虑poisson方程第一边值问题：方程第一边值问题： 取取h和和分别为分别为x方向和方向和 y方向的步长，如右图所示，方向的步长，如右图所示，以两族平行线：以两族平行线： jyykhxxjk, 0,(jk), 2, 1rqpts电磁场中的计算方法电磁场中的计算方法节点的全体记为：节点的全体记为： 为为整整数数j kjykhxyxrjkjk,| ),( 定解区域内部的节点称为定解区域内部的节点称为内点内点，记内点

29、集，记内点集 为为 。边界边界 网格线的交点称为网格线的交点称为边界点边界点，边界点全体记为，边界点全体记为 。与。与节点节点 沿沿x x 方向或方向或y y 方向只差一个步长的点方向只差一个步长的点 和和 称为节点称为节点 的的相邻节点相邻节点。 rhh),(jkyx),(1jkyx),(1jkyx),(jkyx 如果一个内点的四个相邻节点均属于如果一个内点的四个相邻节点均属于 ，如上图中的，如上图中的点点s，t 称为称为正则内点正则内点，正则内点的全体记为正则内点的全体记为 ，至少有一，至少有一个相邻节点不属于个相邻节点不属于 的内点称为的内点称为非正则内点非正则内点，非正则内点，非正则内

30、点的全体记为的全体记为 。我们的问题是要求出差分方程在全体内点上。我们的问题是要求出差分方程在全体内点上的数值解。的数值解。 ) 1 ()2(电磁场中的计算方法电磁场中的计算方法为简便起见，记为简便起见，记: :),(),(),(),(),(,jkjkjkjkyxffyxujkuyxjk对正则内点对正则内点 ，由二阶中心差商公式，由二阶中心差商公式: :) 1 (),(jk2),(22), 1(),(2), 1(hjkujkujkuxujk2),(22) 1,(),(2) 1,(jkujkujkuyujk22) 1,(),(2) 1,(), 1(),(2), 1(jkujkujkuhjkujk

31、ujkujkf,电磁场中的计算方法电磁场中的计算方法这就是这就是 poisson方程差分格式！方程差分格式！ 假设假设h= =，对于场域内典型的内，对于场域内典型的内节点节点 与周围相邻的节点与周围相邻的节点1、2、3 和和 4构成一个所谓对称的星形：构成一个所谓对称的星形：),(jiyxo),(jiyxohhhh1234),(0jiuu ), 1(1jiuu) 1,(2jiuu 设在这些离散节点上的待求位函设在这些离散节点上的待求位函数数 的近似值分别记作：的近似值分别记作：u), 1(3jiuu) 1,(4jiuu 则二维泊松方程可近似离散化表示为：则二维泊松方程可近似离散化表示为：jif

32、jiujiujiuhjiujiujiuh,22)1, (), (2) 1, (1), 1(), (2), 1(1jifhjiujiujiujiujiu,2), (4) 1, (), 1() 1, (), 1(电磁场中的计算方法电磁场中的计算方法 如果位函数如果位函数 满足的是拉普拉斯方程，即：满足的是拉普拉斯方程，即：u02222yuxu 则差分离散化后所得的差分方程是：则差分离散化后所得的差分方程是： 此时，在节点此时，在节点 上的位函数值等于其周围四个相邻节点位上的位函数值等于其周围四个相邻节点位函数值的平均。函数值的平均。o0),(4) 1,(), 1() 1,(), 1(jiujiuj

33、iujiujiu 由于差分方程中只出现待求函数由于差分方程中只出现待求函数 在点在点 与其四与其四个相邻点上的值，故通常称为个相邻点上的值，故通常称为五点差分格式五点差分格式。),(jiyxou)1,(), 1() 1,(), 1(41),(jiujiujiujiujiu电磁场中的计算方法电磁场中的计算方法 上述差分格式中方程的个数等于正则内点的个数，而未知数上述差分格式中方程的个数等于正则内点的个数，而未知数uk ,j 则除了包含正则内点处解则除了包含正则内点处解u的近似值外，还包含一些非正则的近似值外，还包含一些非正则内点处内点处u的近似值，因而方程个数少于未知数个数。在非正则的近似值，因

34、而方程个数少于未知数个数。在非正则内点处内点处poisson方程的差分近似不能按上述差分格式给出，方程的差分近似不能按上述差分格式给出，需需要利用边界条件得到要利用边界条件得到。 边界条件的差分计算格式边界条件的差分计算格式 与场域边界上给定的三类边界条件相对应，边界条件的离与场域边界上给定的三类边界条件相对应，边界条件的离散化也分为三大种类，在此，我们只讨论第一类边界条件的散化也分为三大种类，在此，我们只讨论第一类边界条件的差分离散化，即：边界条件给定的是边界上的物理量。差分离散化，即：边界条件给定的是边界上的物理量。电磁场中的计算方法电磁场中的计算方法 划分网格时，如果相应的网格节点恰好落在边界划分网格时，如果相应的网格节点恰好落在边界 上，则上，则只要直接把位函数只要直接把位函数 的值赋给该对应的边界节点的值赋给该对应的边界节点 即可。即可。lmuml 划分网格时，如果相应的网格节点不落在边界划分网格时，如果相应的网格节点不落在边界 上，如下上，如下图所示：图所示：lo1234h1h2hh（1）直接转移）直接转移 （2）线性插值）线性插值 电磁场中的计算方法电磁场中的计算方法 对于邻近