定积分的概念94279

1、v定积分的概念定积分的概念v定积分的性质定积分的性质 中值定理中值定理v微积分基本公式微积分基本公式v定积分的换元积分定积分的换元积分v定积分的分部积分定积分的分部积分v广义积分与广义积分与 函数函数v定积分的应用定积分的应用第五章第五章 定积分定积分第一节 定积分概念定积分概念定定 积积 分分引例：曲边梯形的面积引例：曲边梯形的面积设 y=f(x)在区间a,b上非负、连续。求由 曲线y=f(x)与直线x=a,x=b(ag(x)与直线x=a,x=b(ab)所围图形的面积。aby=f(x)y=g(x)xx+ dx,bax(i)取x为积分变量，则(ii)相应于a,b上任一小区间x,x+dx的小窄条

2、面积近似值，即面积元素(iii)所求面积dxxgxfda)()(badxxgxfa)()(i)求交点(ii)相应于0,1上任一小区间x,x+dx的小窄条面积的近似值，即面积元素(iii)所求面积解解y110022yxyxxyxydxxxda)(2dxxxa)(210yxo例例求由抛物线所围22,xyxy图形之面积。xy 22xyx x+dx31(i)求交点(ii)相应于-2,4上任一小区间y,y+dy的小窄条面积的近似值，即面积元素(iii)所求面积解解y4822422yxyxyxxydyyyda)24(2dyyya)24(422yxo例例求由抛物线与直线所围图形面积。xy224 yxxy22

3、4yxyy+dy18方法方法1yxoxy224yx(i)取x为积分变量，则 8 , 0 x(ii)面积元素2 , 0)2(21xdxxxda8 , 2)4(22xdxxxda(iii)所求面积822120dadaa18方法方法2比较方法比较方法1 1和方法和方法2 2知：知：适当选择积分变量可适当选择积分变量可以简化计算过程。以简化计算过程。(i)两切线交点为(ii)面积元素(iii)所求面积解解ydxxxxdadxxxxda)34() 3( 2)34() 34(2221493201212323dadaaaayxo练习练习求由抛物线及其在点(0,-3)和(3,0)处的切线所围图形面积。342x

4、xy42 xy则2)3(, 4)0(yy点(0,-3)和(3,0)处的切线方程分别为y=4x-3 y=-2(x-3)3,23(3/2,3)1)2(2xy二、极坐标情形(ii)面积元素(iii)所求面积dda2)(21da2)(21设由曲线 与射线，)(r围成一图形,求该图形的面积。(i)取极角为积分变量，则,xo)(rd面积元素所求面积ydadrda22)(21)(21daa202222,0例例求由阿基米得螺线上相应于的一段弧与极轴所围图形面。ar 解解023232a3234axoar 设曲线弧由参数方程给出，)(),(),(21ttttytx求由这曲线弧所围图形的面积。(i)取 t 为积分变

5、量，则,21tttydxdadttt)()(dtttatt21)()(iii) 所求面积(ii) 面积元素三、 参数方程情形椭圆参数方程为面积元素所求面积y)20(sincosttbytaxdttatbydxda)sin(sindttaba2022cos1例例求由椭圆所围图形面。12222byax解解02)2sin21(2ttababxyo-aa-bbycos3ar练习练习1 .求由曲线 所围图形面积。 2.求由曲线 及 所围图形的公共部分的面积taytax33sin,coscos1rxyoaa-a-a0.511.52-1-0.50.51xs1s2y2220242202420233083)22

6、1436522143(12)sin1 (sin12cossin12)cos(sin44aadtttatdttatatdaydxaa答案答案 1.所求面积 2.所求面积)(221ssa所求面积y)3,23(cos1cos3的极坐标得点解方程组arr16394)cos1 (213021ds45)(221ssa0.511.52-1-0.50.51s1s2ax163983cos9212322ds体积定积分几何应用之二旋转体旋转体：由一平面图形绕该平面内一条直线旋转一周而成的立体，称为旋转体。一、旋转体的体积定直线旋转轴,baxdxxfdv2)(baxdxxfv2)(旋转体体积的计算(i)取x为积分变量

7、，则(ii)相应于a,b上任一小区间x.x+dx的小旋转 体体积近似值，即体积元素(iii)所求体积旋转轴为x轴： 曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体体积。)(0 ,xfybxayabxoxx+dx)(xfy例例求由连接坐标原点o及p(h,r)的直线及x=h,x轴所围三角形绕x轴所成旋转体之体积。(i)取x为积分变量，则(ii)相应于a,b上任一小区间x,x+dx的小旋转 体体积近似值，即体积元素(iii)所求体积解解op的方程为y, 0hxxhrydxxhrdv2)(dxxhrvh20)(yxop(h,r)32hr旋转体体积的计算(i)取y为积分变量，则(ii)相应于c,d上任一小区间y,y

8、+dy的小旋转 体体积近似值，即体积元素(iii)所求体积旋转轴为y轴： 曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体体积。)(0 ,yxdyc,dcydyydv2)(dcydyyv2)(yxocd)(yxdy解解 （）取y为积分变量，则 1 , 0y（）相应于0,1上任一小区间y, y+dy的体积元素dyydv)1 (22（）所求体积10210)21()1 (hyyrdyyv例例求由曲线 和 及x轴所围图形绕y轴旋转所成旋转体的体积。2xy 1x2(1,1)yo1x解解（）旋转轴为x轴体积元素：dxxdxxdv623)(（）旋转轴为y轴564)4(8032dyyvy例例求由曲线 和直线所围图形分别绕x轴

9、和y轴旋转而成旋转体的体积。3xy 0, 2yx所求体积:体积元素：7128206dxxvxdyydv)(22322y3xy oxdyy )4(32所求体积： 如图，在距坐标原点为x处取一底边长为dx的小曲边梯形abcd,易知它绕y轴旋转所得的旋转体体积近似值，即体积元素dxxfxvba)(2dxxxfvba)(2例例4证明：由平面图形 绕 y轴旋转而成的旋转体的体积为)(0 ,0 xfybxa于是,所求体积为：)(2dxxfxdv（这是一个底面积为 ，高为的圆柱体的体积）dxxf)(x2a bc d)(xfy xyoabbadxxxf)(2证明证明解解:（）旋转轴为 x 轴dxeedvxx)

10、()(22（）旋转轴为 y 轴edxeexvxxy4)(210练习练习求由曲线 和直线 x=1 所围图形分别绕 x 轴和 y 轴旋转而成旋转体的体积。xxeyey,所求体积：22)(221022eedxeevxxxeydyydyyve122221)(ln1 )ln(1 1xey 所求体积：yox1xey或(1,1/e)(1,e)体积元素：体积定积分几何应用之二二、平行截面面积已知的立体体积若立体不是旋转体，但立体垂直于某定轴的各截面面积已知，该立体体积亦可用定积分计算。)( )(bxaxabadxxav)(. 过点x而垂直于x轴的平面截立体得截口面积为则立体体积为)(dycybdcdyybv)

11、(2. 过点y而垂直于y轴的平面截立体得截口面积为则立体体积为yocdyb(y)222222)(xrxrxrxa在所围立体上，作平行于坐标面 yoz 的截面klmn，由于nm=ml，所以klmn为正方形，其面积为dxxrdxxavrr)(8)(80220例例5求 及 两圆柱面所围立体的体积。222ryx222rzx所求体积:nlmkyoz222ryx222rzxx3316r解解: tan)(21tan21)(22xryyxadxxrdxxavrrrr)(21)(22所求立体体积为222ryx例例6一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心，并与底面成交角（如图）。计算这平面截圆柱体所得立体的体积。如图

12、建立坐标系，则底圆的方程为 tan323r截面积为xyyxr-ro立体中过点 x 且垂直于 x 轴直角的截面为直角三角形，直角边长分别 y 为及ytana，解解一、平面曲线弧长的概念bmmmmann 110定理：定理：若 且 均缩为一点时n),2, 1(1nimmii xy0m1m1nm定积分几何应用之三平 面 曲 线 的 弧 长定义：定义：设a、b为曲线弧上两端点，在ab上任取分点光滑曲线弧是可求长的。niiimm11的极限存在，称此极限 为曲线弧的弧长；并称该曲 线弧是可求长的。. 直角坐标情形,bax22)()(dydxdsdxy21dxydssbaba21xx+dxdy定积分xyoab

13、y=f(x)曲线弧由方程y=f(x) 给出，其中f(x)在a,b上具有连续一阶导数，求该曲线(如图)的长度。(i) 取x为积分变量,则(iii)所求弧长(ii)弧长元素（弧微分）二、光滑曲线弧长的计算设曲线弧由参数方程给出，)(),(),(ttytx其中、 在 上具有连续导数，求这曲线)(t)(t,(i)取 t 为积分变量，则,t22)()(dydxdsdttt)()(22dttts)()(22(iii) 所求弧长(ii) 弧长元素 参数方程情形的长度。曲线弧由极坐标方程)()(xrr给出，其中在上具有连续导数，)(rr ,利用)(,sin)(,cos)(ryrxdyxds)()(22drrs)()(22所求弧长drr)()(22极坐标情形有求该曲线弧长。解解,1xy 从而弧长元素dxxxdxxds221)1(1所求弧长8321dxxxsdtt)111(232例例1求由曲线 相应于 的一段弧（如图）的长度。 83 xxylntx 21令dttt3222123ln211xyln38yox3211ln211tt解解dtttds)()(22所求弧长dtttas20222cossin9