图形运动中的等腰三角形分类讨论(3)有答案

1、 图形中的等腰三角形分类讨论1. 理解等腰三角形的性质和判定定理；2. 能用等腰三角形的判定定理进行相关计算和证明；3. 初步体会等腰三角形中的分类讨论思想；4. 体会在函数动点中寻找某些特殊的点形成的等腰三角形；5. 培养学生进行独立思考，提高独立解决问题的能力。【备注】：4. 此部分知识点梳理，根据第1个图先提问引导学生回顾学过的等腰三角形的性质，可以在黑板上举例让学生画图；2再根据第2个图引导学生总结出题目中经常出现的一些等腰三角形的题型；3.和学生一起分析二次函数背景下等腰三角形的基本考点，为后面的例题讲解做好铺垫。建议时间5分钟左右。一等腰三角形的性质：二等腰三角形常见题型分类：3

2、函数背景下的等腰三角形的考点分析：1. 求解相应函数的解析式；2. 根据函数解析式求解某些特殊点的坐标；3. 根据点的位置进行等腰三角形的讨论：分“指定腰长”和“不指定腰长”两大类；4. 根据点的位置和形成的等腰三角形立等式求解。【备注】：1. 以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考；2. 在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读题时引导学生发现一些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思；3. 可以根据各题的“参考教法”引导学生逐步解题，并采用讲练结合；注意边讲解边让学生计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例

3、题的分析中来；4. 例题讲解，可以根据“教法指导”中的问题引导学生分析题目，边讲边让学生书写，每个问题后面有答案提示；5. 引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等；6. 部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评；7. 每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7分钟，选讲例题在时间足够的情况下讲解。例1.如图十二，在边长为1的正方形ABCD中，点E在边BC上(与端点不重合)，点F在射线DC上。（）（1）若AF=AE，并设=x，AEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）当的长度为何值时，AEF和ECF相似?（3）若，延长FE与直线AB交于点

4、G，当CF的长度为何值时，EAG是等腰三角形？【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.观察寻找一下题目中的特殊图形？ 提示：正方形； 2.已知边和特殊边的关系？ 提示：正方形的边长为1； 3.点的运动情况：点E在边BC上(与端点不重合)，点F在射线DC上。 二.当时，求解函数关系式： 1.寻找与所表示的量？ 提示： 2.该情况下，点的运动情况？ 提示：观察可得，该情况下点在边上； 3.怎么求解图形面积？ 提示：。 4.计算求解，注意求解函数定义域。 三.当的长度为何值时，AEF和ECF相似：即AEF和ECF相似时，求的长： 1.观察一下，两

5、个三角形中是否有“恒相等的角”。提示：没有，但，。 2.怎么分类讨论计算？ 提示：分以下两个情况讨论， 若时，可得，即点为中点。 当AFE=90°，同理可得即点为中点。3. 计算求解。5. 若是等腰三角形时，求的长：1. 分析、寻找每个点的位置？ 提示：点、定点，点在直线上运动；2. 怎么分类讨论？ 提示：根据点的位置，分三大类讨论： 当点在延长线上时：则分、两个情况； 当点在边上时：则 当点在延长线上时：则3.计算求解，注意利用三角比和勾股定理。（详细过程见后面满分解答）【满分解答】(1) 在和中， （）(2) 若， 当AFE=90°，同理可得， （3）当AE=GE，且点

6、在延长线上时：则，（如图1）， CF= 当AE=AG，且点在延长线上时：（如图2） ， ，CF=当AG=EG，且点在边上时：（如图3），CF=当AG=AE，且点在延长线上时：（如图4），CF=1. 如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P(1)求证：MNNP为定值；(2)若BNP是等腰三角形，求CM的长图1解答方法：1第（1）题求证MNNP的值要根据点N的位置分两种情况这个结论为后面的计算提供了方便

7、2第（2）题探求等腰三角形，要两级（两层）分类，先按照点N的位置分类，再按照顶角的顶点分类注意当N在AB的延长线上时，钝角等腰三角形只有一种情况3当等腰三角形分类讨论时，因为B是确定的，可以通过做辅助线把夹B的两边的长先表示出来，再通过B的余弦值和两边的关系分类计算答案： (1)如图2，图3，作NQx轴，垂足为Q设点M、N的运动时间为t秒在RtANQ中，AN5t，NQ4t ，AQ3t在图2中，QO63t，MQ105t，所以MNNPMQQO53在图3中，QO3t6，MQ5t10，所以MNNPMQQO53 图2 图3 (3)如图4，图5，图6中，即所以当N在AB上时，在BNP中，B是确定的，()如

8、图4，当BPBN时，解方程，得此时CM()如图5，当NBNP时，解方程，得此时CM()当PBPN时，解方程，得t的值为负数，因此不存在PBPN的情况如图6，当点N在线段AB的延长线上时，B是钝角，只存在BPBN的可能，此时解方程，得此时CM 图4 图5 图6例2如图，在ABC中，点D在AB边上（点D与点A，B不重合），DEBC交AC边于点E，点F在线段EC上，且，以DE、EF为邻边作平行四边形DEFG，联结BG如果DBG是以DB为腰的等腰三角形，求AD的值（）GEDCBAF解答方法：通过已知与图像发现DG与DB均与AD有关系，所以可以设AD为4k，则DG=k，BD=10-4k，同时我们还可以通

9、过DGEF知道BDG=A，并且A的余弦值我们可以求得，于是当DG=DB时直接代入含k的代数式建立方程，当BG=BG、GD=GB时，均可用BDG的余弦值求解答案：作在中， 在中，,若,则，解得若,则 解得 如图9，矩形ABCD中，点E是BC边上的一个动点，联结AE，过点D作，垂足为点F . （1）设，的余切值为y，求y关于x的函数解析式；（2）若存在点，使得ABE 、ADF与四边形CDFE的面积比是3：4：5，试求矩形ABCD的面积；(备用图)4.DCBAEF5.DCBAEF(图9)（3）对（2）中求出的矩形ABCD，联结CF，当BE的长为多少时，CDF是等腰三角形？解：（1）ABEDFA ，

10、（3分）6.DCBAEF （2）ABE ：ADF：四边形CDFE的面积比是3：4：5 (1分) 设，则x ABEDFA，且ABE ：ADF=3：4 （2分） 解得 x=1（1分） BC=2，（1分）7.DCBAEFM （3） )CF=CD时，过点C作CMDF，垂足为点M 则CMAE（1分） 延长CM交AD于点G DC BAEF 当BE=1时，CDF是等腰三角形（1分）DF=DC时，则DC=DF=DFAE AD=2 DAE=45°（1分）则BE=8.DCBA EF当BE=时，CDF是等腰三角形（1分）9.）FD=FC时，则F为AE中点ADFEAB（1分）解得当BE=时，CDF是等腰三角

11、形（1分）【说明】：本部分为“专题小结”，由“专题知识点或是方法回顾+教师寄语”组成。先让学生说说本节课的收获，之后是教师寄语。教师寄语可以是：需要完成的作业、需要总结的知识点、名言名句、提醒学生需要做的事情等等。课后练习：1、在梯形ABCD中，AD/BC，ABAD，AB=4，AD=5，CD=5E为底边BC上一点，以点E为圆心，BE为半径画E交直线DE于点F （1）如图，当点F在线段DE上时，设BE，DF，试建立关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）联接AF、BF，当ABF是以AF为腰的等腰三角形时，求的值（）解答方法：由于在直角梯形中，我们可以先计算各边长和一个锐角的三角比，于是可以考虑过点D做垂线，会发现得到的直角三角形包括DE，从这个直角三角形中我们很容易知道通过勾股定理可以建立函数关系式，定义域的求取需要注意点F在线段DE上，我们发现随着BE的增大，DF逐渐减小，所以考虑到当DF为0时即y为0时求x的最大值；等腰三角形要注意是以AF为腰，只需考虑两种情况，当AF=AB时，由于BE=EF，我们马上就应该能考虑到联结AE得到全等三角形，从而可以得到AFE=90°，再考虑RtADF已知AD、AF，并且DF就是y，所以根据勾股定理求得x，当AF=BF时，发现