放缩法证明数列不等式 学生

1、放缩法证明数列不等式202x. 03一、根底知识：在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行 求解：本节通过一些例了来介绍利用放缩法证明不等式的技巧1、放缩法证明数列不等式的理论依据一一不等式的性质：(1) 传递性：假设a>b.b>c，那么(此性质为放缩法的根底，即假设要证明，但无 法宜接证明，那么可寻找一个中间量8,使得“>b,从而将问题转化为只需证明b>c即可)(2) xia>bx>d .那么o + c>b + d ,此性质可推广到牛项求和：假设 % > f ，。2 > 六2),.> f(ri)

2、，那么:% +1 +.+% > (1) + / + . . .+ f(n)(3) 假设需要用到嘛法，那么对应性质为：假设a>h>(lc>d>()9 wlaohcl .此性质也可推 广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同2、放缩的技巧与方法：(1) 常见的数列求和方法和通项公我特点： 等差数列求和公式：£= 竺冬，a=him (关于的一次函数或常值函数)"2"aaq' -1) 等比数列求和公式：0= 一(0h1), %=上.矿(关于的指数类函数)<7-1 错位相戒：通

3、项公式为“等差x等比”的形式 裂项filifi：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能级相消， 进而在求和后式子中仅剩有限项(2) 与求和相关的不等式的放缩技巧： 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小(应与 所证的不等号同方向 在放缩时,对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可 裂项相消的数列进行养拢。 假设放缩后求和发现放“过” 了，即与所证矛盾，通常仃两条道选择：第个方法是微调： 看能否让数列中的-些项不动.其余项放缩。从而做小放缩的程

4、度.使之符合所证不等式： 第二个方法就是推翻r原有放缩,重新讥行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧： 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视 为同-数列的相邻两项（或等距离间隔项） 等比数列：所面对的问题通常为“s,<常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足 忻（0.1），如果题目条件无法表达出放缩的目标，那么nj从所证不等式的常数入手,，常数可 视为4的形式，然后游想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，1-0再与原通项公式进行比拟,看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数2

5、=仁，即可猜3 1-14想该等比数列的首项为!，公比为!，即通项公式为。注:此方法会存在凤.险.所猜出的等比数列未必能到达放靖效果.所以是否选择利用等比数 列进行放爆，变数列通顼公式的就构影响（4）与数列中的项相关的不等式问题： 此类问题往往从递推公式入手，假设需要放缩也是考虑对递推公式进行变形 在有些关于项的不等式证明中，可向求和何题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累 加”或“累嘛”的形式，即“一%</（）或&</（）（紧痢时要求不等式两侧均为正"ff数），然后通过“累加"或“家乘”到达一侧为,，另一侧为求和的结果，进而完成证明3、常见的放缩变形

6、：（1） / '、顼 / '.，其中n>2.nen：可称<为“进可攻,退可守）可依照所证不等式不等号的方向进行选择。注：对于7,可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特 tr征的数列，例如：<、一=1 =-i，这种放缩的尺度要小于n2（-1）（m + 1） 2”1 n + ）（1）中的我子。此外还可以构造放缩程度更小的.如:1 <- '广-,- i-12-1 4zr - 1 (2 - 1)(2 +1) 2(2 - 1 2/i + 1j 412(2). = 产，从而有:yjn /h + v/t注：对于上还可放缩为：w=v

7、丁?二im22,cnyjnyjn(3)分子分母同加常数：->±(/>>a>0,/h>0),->(«>z>>0jw>0)aa am此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为-种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系。2"2n(4 )-=<=(21)2(2 1)(2”-1)(2)(2, 2) (2, 1)(2t 1)k”k"k"k"可推'为'(r-i)2 = (-i)(r-i)c (r-i)(r-)= (r-i)(r"-i)=於丁

8、土 (,12 2 后 2,eac)二、典型例题:例1：数列%的前项和为s“,假设4§,=(2一1)%.|+1,且6=1.(1)求证：数列,是等差数列，并求出,的通项公式(2)设£>,=!=,数列么的前项和为7；,例2：设数列%满足：0 =1,%产设&为数列但的前项和，己知以）.边一 4=§&,en,（1）求数列,也的通项公式（2）求证：对任意的wat且n>2,有一! + ! + + < 角一么为一如 4一如 2例3：己知正项数列%的前项和为s”，flq,+l = 2s,"v （1）求证：数列s：是等差数列（2）记数列&q

9、uot; = 2s：,"=! + ：+. + !，证明：1一一<4；一二机 b2 bnx/zi + i 2 sjn例4：数列%满足q =2,%| =2（1+：）fn, （1）求证：数列令是等比数列.并求出数列%的通项公式（2）设cn= ,求证：q+q+ 理例5：己知数列%的前项和 3 （一 l）,wn且6 = 17 （1）求 （2）求数列外的前项和缶（3设数列的前项和7"旦满足如2 求证：7；, <-73/14-23例6：己知数列外满足6 = l% =井( 2 2, e n)4(t) %-2(1)试判断数列j + (-!/是否为等比数列并说明理由 (2)设九=%

10、sin'；诉，数列也的前项和为兀,求证：对任意的，任n't"；例7：己知数列%满足：«,=|,且4 = 2；：(22,渤)(1) 求数列%的通项公式(2) 证明：对于一切正整数，均有 纬an<2n例 8：函数/(x) = ax-2lnx,/(l) = 0(d假设函数()在工=1处切线斜率为0.1w + i，己知=4,求证：22 + 2 (2)在(1)的条件下，求证：一!一 + ! + . + !<21+l+g 1 + % 5例9：己知数列%的各项均为正值，对，任 v, 4ll=4q(q+l),=logj% + l), 且=1(d求数列外，如的通项公式(2)当k>l且kwn时，证明对v,槌 v,都有1 1 1 + +如妇虹+膈> 2成立例10：数列%是