2022年一次函数经典导引归纳(北师大)

1、学习必备欢迎下载一、平面直角坐标系【基础学问填空】 weilaili1、平面直角坐标系在平面内， 两条且有的数轴组成平面直角坐标系；其中， 水平的数轴叫做， 取向右为正方向；铅直的数轴叫做，取向上为正方向； x 轴和 y 轴统称；它们的公共原点o称为直角坐标系的；2、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y 轴 分 割 而 成 的 四 个 部 分 ， 分 别 叫做；留意： x 轴和 y 轴上的点（坐标轴上的点） ，不属于任何一个象限；3、点的坐标的概念对于平面内任意一点p, 过点 p 分别向 x 轴、 y 轴作垂线，垂足在 x 轴、 y 轴上对应的数a， b 分别叫做点p 的

2、横坐标、纵坐标，有序数对（ a， b）叫做点 p 的坐标；点的坐标用（ a， b）表示，其次序是在前，在后，中间有 “，”分开， 横、纵坐标的位置不能颠倒；平面内点的坐标是有序实数对，当 ab） 和（ b， a）是两个不同点的坐标；平面内点的与有序实数对是；4、不同位置的点的坐标的特点（1） 、各象限内点的坐标的特点点 px,y在第一象限x0； y 0；点px,y在其次象限x0； y 0 ；点 px,y在第三象限x0； y 0；点px,y在第四象限x0； y 0 ；（2） 、坐标轴上的点的特点横轴上的点纵坐标为0，即 点 px,y在 x 轴上， x 为任意实数纵轴上的点横坐标为0，即 点 px

3、,y在 y 轴上， y 为任意实数点 px,y既在 x 轴上，又在 y 轴上x， y 同时为零，即点 p 坐标为（ 0，0）即原点（3） 、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特点点 px,y在第一、三象限夹角平分线上点 px,y在其次、四象限夹角平分线上（4） 、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特点b 时，（ a，平行于 x 轴的直线上的各点的相同；平行于 y 轴的直线上的各点的相同；（5） 、点 px,y到坐标轴及原点的距离：点 px,y到 x 轴的距离等于点 px,y到 y 轴的距离等于点 px,y到原点的距离等于5、特殊位置点的特殊坐标：坐标轴上点 p（ x， y）连线平行于坐标轴的点点 p

4、（ x， y）在各象限的坐标特点象限角平分线上的点x 轴y 轴原平行 x 轴平行 y 轴第 一第 二第 三第 四第一、其次、点象限象限象限象限三象限四象限x,00,y0,纵 坐 标 相横坐标相x 0x 0x 0x 0m,mm,-m0同 横 坐 标同纵坐标y 0y 0y 0y 0不同不同【典型习题】 weilaili1. 点 a （ l ， 2）在第象限2. 已知点 p（ 0， 5），就它的位置在 轴上3. 如点 p（ a5， a 2 在 x 轴上，就 a4. 点 m （ 6， 9）到 y 轴的距离是5. 设点 a 到 x 轴的距离是 2，到 y 轴的距离是 3，且点 a 在坐标平面的右半平面，

5、就a 点的坐标为a6. 如点 p（ 2，3k 1）在第四象限，就k 的取值范畴是7. 假如点 p（ a， b）在其次象限，就点q（2 ， 3b 在第象限8. 已知 a （ 1， 2， b （ 2，2，那么直线 ab 和 x 轴的位置关系是9. 已知点 p（ x， y）在第四象限，且丨x 丨=3，丨 y 丨 5，就点 p 的坐标是10. 已知点 p 到 x 轴的距离为 3，到 y 轴的距离为 2，且在其次象限，就点p 的坐标为（）11. 设 p（ x， y）是坐标平面上的任一点，依据以下条件填空：（ 1）如 xy 0， 就点 p 在象限；（ 2）如 xy0，就点 p 在象限；（ 3）如 y 0，

6、就点 p 在象限；（ 4）如 x o，就点 p 在象限；（ 5）如 y 0，就点 p 在上；（ 6）如 x 0，就点 p 在上 二、一次函数【问题归纳】 1、函数； 2、函数表示方法；3、一次函数、正比例函数定义；4、画函数图像； 5 、一次函数图像及性质（ k、b、象限）；6、一次函数的平移； 7、待定系数； 8、交点； 9、一次函数图像的应用；【学问梳理】 weilaili一、1、以下说法正确选项（）2a 、变量 x、y 满意 y =x，就 y 是 x 的函数b、变量 x、 y 满意 x+3y=1 ，就 y 是 x 的函数c、代数式3 是它所含字母 r 的函数d、在 v=3r中，是常量，r

7、 是自变量， v 是 r 的函数r22、在关系式 y=2x +x+1 中，可把看成关于的函数，其中_是自变量， 是因变量3、已知 3x y=1 ，把它写成 y 是 x 的函数的形式是 2x4、在函数 y=x1中，当 x=0 时， y=25、方案花 500 元购买篮球，所能购买的总数n个与单价 a（元）的函数关系式为，其中是自变量， 是因变量 .一、函数 weilaili1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量；一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与 y，假如对于 x 的每一个值， y 都有 唯独确定 的值与它对应，那么就说 x 是自变量， y 是

8、x 的函数；其中，给定一个x 所对应的 y 值叫做这个函数的值、2、函数的三种表示法及其优缺点（ 1）解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法；（ 2）列表法：把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法；（ 3）图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法；3、由函数解析式画其图像的一般步骤（ 1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（ 2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（ 3）连线：依据自变量由小到大的次序，把所描各点用平滑的曲线连接起来；练习： weilail

9、i1、以下各曲线中不能表示 y 是 x 的函数的是（）a. bcd2、在 3x 2y=6 中，把它写成 y 是 x 的函数为 3、一个正方形的边长为10cm，它的边长削减 xcm 后，设 y 为边长削减后的面积，那么y 与 x 之间的函数关系式为 ；（二、1、以下函数： （ 1） y=4x+3 ；（ 2） y=x；（ 3） y=；（4） y=x 25） y=1 x 中，一次函数有（）个；2、如函数 y=（m2） x+5 m 是一次函数，就 m |k 1|；如此函数是正比例函数，就m 3、如 x， y 是变量，且 y=（ k 2）x是正比例函数，就k 值为 二、一次函数和正比例函数的概念weil

10、aili1. 一次函数：如两个变量x、y 间的关系式可以表示成k、b 为常数， k 0）的形式，就称 y 是 x的一次函数 x 是自变量 ,y 是因变量特殊地，当b时，称 y 是 x 的正比例函数2. 一次函数 y=kx+b （k，b 为常数， k0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量 x 的次数为 1，一次项系数 k 必需是不为零的常数，b 可为任意常数 .练习： weilaili1. 把二元一次方程3y 2x=12 化为 y=kx+b 的形式为 2. 如函数 y=（k+2 ） x+（k 2 4）是正比例函数，就k= 3. 某同学的家离学校2km ，他以

11、 km/min 的速度骑车到学校， 写出他与学校的距离s（ km ）和骑车的时间 t（ min ）的函数关系式为 ，s 是 t 的函数2 |m|4. 设函数 y=（m2） x+m+1 ，当 m= 时，它是一次函数；当m= 时，它是正比例函数5. 以下函数中，哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？（ 1） y=-1x； （ 2） y=-22；（3） y=-3-5x ；（4） y=-5xx2； （ 5） y=6x-1；（ 6） y=x（ x-4 ） -x 226. 已知正比例函数y=kx ，当 x=-2 时， y=6 （ 1）求比例系数 k 的值；（ 2）运算 x=-3 时， y 的值；（ 3）运算

12、 y=-3 时， x 的值三、1、已知点 a（ 4， 2）， b（ 1，1）， c（ 5， 1），其中在直线 yx6 上的点有2、作出函数 y3x3 的图象，回答以下问题：（ 1）y 的值随 x 的增大而（ 2）图象与 x 轴的交点坐标是， 与 y 轴的交点坐标是三、一次函数的图象weilaili由于一次函数 y=kx+b（ k，b 为常数，k 0）的图象是一条直线， 所以一次函数 y=kx+b 的图象也称为直线 y=kx+b 由于两点确定一条直线， 描出适合关系式的两点， 再连成直线， 一般选取两个特殊点： 直线与 y 轴的交点 （ 0，b），直线与 x 轴的交点（ -练习： weilail

13、ib ，0） . 画正比例函数 y=kx 的图象时，只要描出点（0， 0），（1， k）即可 .k1. 作一次函数的图象需、三个步骤，它是一条2（ 1）求直线 y=-2x-3与 x 轴和 y 轴的交点，并画出这条直线；（ 2）直线 y=-2x-3与两坐标轴所围成的三角形的面积是多少？四、1在函数 y=2x 1 中， y 随 x 的值的增大而 2、直线 y= 2x+6 与 y 轴的交点坐标是 ，与 x 轴的交点坐标是3、一次函数 y=kx+b 所示，就 k0， b0.；四、一次函数性质 weilaili函数kb经过的象限y 随 x 的变化图象y=kx+bb 0 y=kx+bb 0 y=kx+bb

14、 0 y=kx+bb 0k0b 0一, 二三y 随 x 的增大而增大k0b 0一三四y 随 x 的增大而增大k0b 0一二四y 随 x 的增大而减小k0b 0二三四y 随 x 的增大而减小（ 3）一次函数的性质： y=kx bk 、b 为常数， k 0）当 k 0 时， y 的值随 x 的值增大而；当 k 0时， y 的值随 x 值的增大而（ 4）直线 y=kx bk 、b 为常数， k 0）时在坐标平面内的位置与k 在的关系k0直线经过第象限，不经过第象限；b0k0直线经过第象限，不经过第象限；b0k0直线经过第象限，不经过第象限；b0k0直线经过第象限，不经过第象限；b0（ 5）|k|大小

15、打算直线的倾斜程度，即|k| 越大 ，直线与 x 轴相交的锐角 度数越大 （直线陡），|k| 越小 ，直线与 x轴相交的锐角 度数越小 （直线缓）；（ 6）b 的正、负 打算直线与 y 轴交点的位置； （ 0， b）练习： 1点 a（5 ，y1 ）和 b（2 ，y2 ）都在直线 y2xb 上，就y1 与y2 的关系是（）2. 如直线 y=mx+2m 3 经过其次，三，四象限，就m的取值范畴是 3. 一次函数 y=k （ x k）（ k 0）的图象不经过第 象限4函数 y=2x ，y=-3x ， y=- 12x 的共同特点是（）a 图象位于同样的象限b y 随 x 的增大而减小cy 随 x 的增

16、大而增大d图象都过原点5. 假如直线 y=kx+b 经过一、二、四象限，那么有（）a k 0，b 0； b k 0， b 0； c k < 0 ， b 0； d k 0， b 06. 如下列图图象中，函数ymxm 的图象可能是以下图象中（）yyyyoxoxoxox（a ）（b ）（c）（d ）五、1将直线 yx4 的图象向下平移 2 个单位得到的直线是2. 直线 y=kx+b 与直线 y= 2x+1 平行，就 k= 五、一次函数的平移weilaili1. 由于 |k| 打算直线与 x 轴相交的锐角的大小，k 相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的另外，从平移的

17、角度也可以分析，例如：直线y=x 1 可以看作是正比例函数y=x 向上平移一个单位得到的即：直线y=kx+bk 0 平行于直线 y=kxk 0当 b 0 时，把直线 y=kx 向上平移 b 个单位，可得直线y=kx+b ； 当 b o时，把直线 y=kx 向下平移 |b| 个单位，可得直线y=kx+b2. 已知直线 l 1: y=k1x+b1 和直线 l 2: y=k2x+b2（1）当时， l 1 l 2，（2）当时， l 1 l 2.练习：1如在同一坐标系中作出以下直线： y么相互平行的直线是（）1x1 ； y22 x1 ； y1x1； yx21. 那2、已知某一次函数的图像与直线yx1平行

18、，且过点（ 8， 2），那么此一次函数为（）a yx2b. yx10c. yx6d. yx103、要得到 y=- 3 x-4 的图像，可把直线y=- 3x（ ）22（ a）向左平移 4 个单位（ b）向右平移 4 个单位（ c）向上平移 4 个单位（ d）向下平移 4 个单位六、1已知点 a（ 4， 2）， b（ 1，1）， c（ 5， 1），其中在直线 yx6 上的点有2如点（ a，3）在直线 y=2x 5 上，就 a= 3. 假如直线 y=kx+b 经过 a（ 0， 1）， b（ 1， 0），就 k， b 的值为（）a k=-1 ， b=-1b k=1， b=1c k=1 ，b=-1d k

19、=-1 ， b=1六、待定系数法确定函数解析式weilaili1、点 p（ x0， y0）与直线 y=kx+b 的图象的关系（ 1）假如点 p（ x0， y0）在直线 y=kx+b 的图象上，那么 x0,y0 的值必满意解析式y=kx+b ；（ 2）假如 x0 ，y0 是满意函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0 为坐标的点 p 必在函数的图象上例如：点 p（1， 2）满意直线 y=x+1 ，即 x=1 时， y=2，就点 p（ 1， 2）在直线 y=x+l的图象上；点 p（ 2， 1） 不满意解析式 y=x+1，由于当 x=2 时， y=3，所以点 p（ 2， 1）不在直线 y=x+l 的

20、图象上2、确定正比例函数及一次函数表达式的条件由于一次函数的表达式ykxb 中含有两个字母 k 和 b ，因此要确定一个一次函数，即把k 和 b 的值确定下来即可 .正比例函数由于图象经过原点，所以只需求出字母k 即可.3、 待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再依据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法其中未知系数也叫待定系数例如：函数y=kx+b 中， k，b 就是待定系数 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤：一设，二代，三解，四代入（ 1）设函数表达式为y=kx+b；（ 2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（ 3

21、）求出 k 与 b 的值；（ 4）将 k、b 的之带入 y=kx+b ，得到函数表达式；例如：已知一次函数的图象经过点（2， 1）和（ -1 ， -3 ）求此一次函数的关系式 解：设一次函数的关系式为y kx+b（ k 0），由题意可知，12k3b,kb,4k,解3此函数的关系式为y=5b.34 x5 33练习： 1已知一次函数 y=kx+5 过点 p（ 1， 2），就 k= 4. 写出满意下表关系的一个一次函数关系式是 x-125y7.564.53已知 y+2 与 x 成正比例，且当 x=-1 时， y=2 ，就 y 与 x 之间的函数关系式为4一次函数的图象过m（ 3， 2），n（ -1

22、， -6 ）两点（ 1）求函数的解析式；（ 2）试通过运算判定点p（ 2a，4a-4 ）是否在此函数的图象上5已知一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴交于点 a（ -6 ， 0），与 y 轴交于点 b，如 aob.的面积为 12，且 y 随 x 的增大而减小，求一次函数的解析式6、 ykxb 与直线 y1 x 平行，且与直线y32x6 的交点在 x 轴上，那么 k =， b =七、1如函数 y=2x 3 的图象经过（ 1，a），（ b，2）两点，就 a= ， b= 2. 直线 y2 x6 与 x 轴交点坐标是（）3. 假如一次函数 y=3x+6 与 y=2x 4 的图象交点坐标为（ a，

23、b），就是方程组（）的解abcd七、一次函数图像的交点 weilaili1. 一次函数与二元一次方程组的关系一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看， 解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以一次函数及其图像与二元一次方程组有着亲密的联系2. 两条直线的位置关系与二元一次方程组的解（ 1）二元一次方程组（ 2）二元一次方程组（ 3）二元一次方程组有唯独的解直线 y=k1x+b1 不平行于直线y=k 2x+b 2k 1k2yk1xb1yk2xb2yk1xb1

24、yk2xb2yk1xb1yk2xb2无解直线 y=k1x+b1直线 y=k2x+b 2k 1=k2， b1b2有很多多个解直线 y=k1x+b1 与 y=k 2x+b 2 重合k1=k2，b1=b2九、一次函数图像的应用 weilaili1. 如左下图，小李以每千克0.8 元的价格从批发市场购进如干千克西瓜到市场去销售，在销售了部分西瓜之后，余下的每千克降价0.4 元，全部售完；销售金额与卖瓜千克数之间的关系如下列图，那么小李赚了 元2、如右上图，小刚、小强两人进行百米赛跑，小刚比小强跑得快，假如两人同时跑，小刚确定赢，现在小刚让 小强先跑如干米，图中的射线a， b 分别表示两人跑的路程与小明

25、追逐时间的关系，依据图象判定：小刚的速度比小强的速度每秒快（）3、小明在暑期社会实距活动中，以每千克0.8 元的价格从批发市场购进如干千克瓜到市场上去销售，在销售了40 千克西瓜之后， 余下的每千克降价0.4 元，全部售完 销售金额与售出西瓜的千克数之间的关系如下图所示请你依据图象供应的信息完成以下问题：（ 1）求降价前销售金额y（元）与售出西瓜x （千克）之间的关系式；（ 2）小明从批发市场共购进多少千克西瓜？（ 3）小明这次卖瓜赚子多少钱？4、如图中的折线 abc 是甲地向乙地打长途电话所需要付的电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的关系的图象.（ 1）通话 1 分钟，要付电话费多少元？

26、通话5 分钟要付多少电话费？（ 2）通话多少分钟内，所支付的电话费不变？（ 3）假如通话3 分钟以上，电话费y（元）与时间t（分钟）的关系式是y2.5t3 ，那么通话 4 分钟的电话费是多少元？【课后练习】 weilaili11以下函数（ 1 ） y x2 y 2x 13y x4y 22 x5y x2 1 中，一次函数的个数是（）a 4 个b 3 个c 2 个d 1 个2. 如 y=m 2x+m 2 4是正比例函数，就m 的取值是（） a 2b 2c ±2d 任意实数3. 如下列图图象中，函数ymxm 的图象可能是以下图象中（）yyyyoxoxoxox4. 已知 y（a ）（b ）（

27、c）（d ）3 与 x 成正比例，且 x=2 时， y=7，就 y 与 x 的函数关系式为（）a y2x3b y2x3c y32x3d y3x35. 以下各点，在一次函数y 2x6 的图象上的是（）a 5， 4b 4， 1c 4， 20d 3， 06点 a 3, y1和点 b 2, y2 都在直线 y2 x3 上，就y1 和y2 的大小关系是（）a. y1 > y2b. y1 <y2c. y1= y2d. 不能确定7. 已知某一次函数的图像与直线yx1平行，且过点（ 8， 2），那么此一次函数为（）a yx2b. yx10c. yx6d. yx108. 等腰三角形的周长是40cm，腰长 y cm是底边长 x cm 的函数解析式正确选项（）a y= 0.5x+20 0< x<20b y= 0.5x+20 10< x<20cy= 2x+40 1