高一数学下学期知识点复习+经典例题

1、学问点复习学问点梳理（一）正弦定理 ：a sin ab sin bc sin c2r（其中 r 表示三角形的外接圆半径）适用情形： （1）已知两角和一边，求其他边或其他角；（2）已知两边和对角，求其他边或其他角；变形： a2rsin a ， b2rsin b ， c2r sinc sin aa ， sin b 2 rb ， sin cc2r2 rsinabcasin bsin c=2 r2 a : b : csin a :sinb :sin c22（二）余弦定理：22b=ac 2ac cos b （求边），cosb= ac22acb（求角）适用情形： （ 1）已知三边，求角；（ 2）已知两边和

2、一角，求其他边或其他角；（三）三角形的面积 ： s1aha2； s1 bc2sina； s2 r 2 sina sinb sin c ； sabc ；4r sp pa pb pc ； spr （其中 pabc2，r 为内切圆半径）（四） 三角形内切圆的半径：r2sabc，特殊地， r直abc斜2（五） abc射影定理： b（六） 三角边角关系：a coscc cos a ，（ 1）在abc 中， abc； sin absinc ； cos abcosccosabsin c ；22sin ab 2cos c2（ 2）边关系： a + b > c， b + c > a，c + a &g

3、t; b， ab < c， b c < a，ca > b；（ 3）大边对大角： abab考点剖析（一）考查正弦定理与余弦定理的混合使用例 1、在 abc中，已知 , 且 =2 ,b4, ac8 ,求 a、c 的长.例 1、解：由正弦定理，得a sin ac sin ca sin 2cc sin c a2ccosc又 ac8cocc8c2c由余弦定理，得cc 24c 216a2b 2cos 2 c2ab 16cos c16 cos2 c入，得5 或 ca24a5 舍 a442416， c55例 2、如下列图，在等边三角形中，aba ,o 为三角形的中心， 过o 的直线交 ab于

4、 m ，交 ac 于 n ，求1 1的最大值和最小值om 2on 2例 2、【解】由于 o 为正三角形 abc 的中心， ao3 a ，3maonao，设moa，就2，6在aom 中，由正弦定理得：33omoa，sin3 amaosin 63 a om6sin，在aon 中，由正弦定理得：on66，sin61112 sin 2 sin 2 12 1sin 2 ，om 2on 2a 266a 222， 3sin1 ，故当33411时222 omon取得最大值 18，2a所以，当, or 2时 sin 23 ，此时11取得最小值 15 22334om 2on 2a 2变式 1、在 abc中，角 a

5、、b、c对边分别为（）求的大小；a, b, c ，已知 b 2ac,且acacbc ，（）求b sin b 的值c变式 1、解（） b 2ac, a 2c 2acbc b 2c2a 2bc在 abc中，由余弦定理得b2c 2a 2bc1cos a60 02bc2bc2b sin 600（）在 abc中，由正弦定理得sin ba b 2ac,a60 0b sin bcb 2 sin 600 casin 60032变式 2、在abc 中，a、b 为锐角，角a、b、c所对的边分别为a、b、c ，且sin a5 ,sin b10510（i）求ab 的值；（ii）如 ab21 ，求a、b、c 的值；变式

6、 2、解（ i）a、b 为锐角，sin a5 ,sin b10510cos a1 sin 2 a2 5 ,cos b1sin 2 b310510cosabcos a cos bsina sin b253105102 .51051020abab4（ii）由（ i）知 c3，4sin c22由abc得5a10b2c ，即 a2b, c5bsin asin bsin c又ab21a2, c52bb21b1（二）考查正弦定理与余弦定理在向量与面积上的运用例 3、如图，半圆 o 的直径为 2， a 为直径延长线上的一点，oa=2，b 为半圆上任意一点，以 ab 为一边作等边三角形abc；问：点 b 在什

7、么位置时， 四边形 oacb面积最大？例 3、解：设aob，在 aob 中，由余弦定理得：22aboa2ob2oaob cosaob1222212cos54cos于是，四边形 oacb的面积为132s=saob+ sabcoa ob sinab 24121sin3 54cos24sin3 cos532sin45334由于 0，所以当四边形 oacb面积最大，5，即326aob5时，6例 4、在 abc中，角 a、b、c 的对边分别为a、b、c，4 sin 2 ab2cos2c7 , a2b5, c7 （ 1）求角 c 的大小；（ 2）求abc的面积 例4、解：（1）由4 sin 2 abcos

8、2c7 , 得4cos2 ccos2c 72222 4cos2c 4cosc解得cosc120° c180° ,c=60° c60°（2）由余弦定理得 c2a2 b22ab cos c即 7a2b2ab又 ab5 a2b22ab 25由得 ab6 s abcur133absin c22变式 3、已知向量 mr ac, b ， nac, ba ，且urrm n0 ，其中a, b, c 是abc的内角，a,b, c 分别是角a, b,c 的对边.(1) 求角 c 的大小；（2）求 sin asin b 的取值范畴 .urr变式 3、解：（ 1）由 m n0

9、得 ac acbba0a2b 2c2ab由余弦定理得cos ca 2b 2c2 2abab12ab2 0c c3(2) c ab2 33 sin asin b = sin asin 2asin asin 2cos acos 2sin a3333 sin a3 cos a33 sin a1 cos a2222 0a23 sin a 6a53 1sin a166633 sin a326即3sin a 226sin b3 .（三）考查三角形外形的判定例 5、在 abc中，角 a，b，c 所对的边分别为a,b,c, b=acosc,且 abc的最大边长为 12，最小角的正弦值为1 ；3（1） 判定 a

10、bc的外形；（2） 求 abc的面积；例 5、解：（1）b=acosc，由正弦定理，得sinb=sinacosc, （ #）b=ac ,sinb=sina+c从, 而（ #）式变为 sina+c= sinacos，ccosasinc=0又,a，c0,cosa=0，a=，abc是直角三角形；2（2）abc的最大边长为 12，由（ 1）知斜边 a =12，又 abc最小角的正弦值为1 ，rtabc 的最短直角边为1231 =4，另一条直角边3为82sabc= 14282 =162变式 4、在 abc中，如1判定 abc的外形；sin asin bsin ccos acosb .2在上述 abc中，

11、如角 c 的对边 c1 ，求该三角形内切圆半径的取值范畴；变式 4、解：（1）由 sin a可得 2 sin 2 c2sin b1sin c cosccos a 0cosb即 c90° abc是以 c 为直角顶点得直角三角形（2）内切圆半径r1ab21 sin a 2csin b12 sina1212422内切圆半径的取值范畴是0,2122例 7、在 abc中，已知 2abc ， sina所以 abc， abc为等边三角形；sinb sin c ，试判定 abc的外形；变式 8、在 abc 中，cos2baca，b，c 分别为角 a，b，c 的对边 ，就 abc的外形为2 2c ，a

12、正三角形b直角三角形c等腰三角形或直角三角形d等腰直角三角形a2c2b22aca， a2c2 b2 2a2 ，即 a2b2 c2， c abc 为直角三角形 答案： b变式9、abc中，如 sina=2sinbcosc，sin2a=sin2b+sin2 c，试判定 abc的外形；变式 9、解: 等腰直角三角形 ;数列学问点一：通项与前 n 项和的关系任意数列的前 n 项和；留意： 由前 n 项和求数列通项时，要分三步进行：（ 1）求，（ 2）求出当n2时的，（ 3）假如令n2时得出的中的 n=1 时有成立，就最终的通项公式可以统一写成一个形式，否就就只能写成分段的形式.学问点二：常见的由递推关

13、系求数列通项的方法1.迭加累加法：，就，2.迭乘累乘法：，就，学问点三：数列应用问题1.数列应用问题的教学已成为中学数学教学与争论的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列学问建立数学模型.2.建立数学模型的一般方法步骤.仔细审题，精确懂得题意，达到如下要求：明确问题属于哪类应用问题；弄清题目中的主要已知事项；明确所求的结论是什么.抓住数量关系，联想数学学问和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满意题意的

14、数学关系式（如函数关系、方程、不等式）.规律方法指导1.由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想；2.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、 前 n 项和公式等 .3.加强数列学问与函数、不等式、方程、对数、立体几何、三角等内容的综合.解决这些问题要留意：（ 1）通过学问间的相互转化，更好地把握数学中的转化思想；（ 2）通过解数列与其他学问的综合问题，培育分析问题和解决问题的综合才能.经典例题精析类型一：迭加法求数列通项公式1 在数列中，求.总结升华：1. 在数列中，如为常数，就数列是等差数列； 如不是一个常数，而是关于的式子，就数列不是等差数列.

15、2.当数列的递推公式是形如的解析式，而的和是可求的，就可用多式累（迭）加法得.举一反三：【变式 1】已知数列，求.【变式 2】数列中类型二：迭乘法求数列通项公式，求通项公式.2设是首项为1 的正项数列，且，求它的通项公式.总结升华：1. 在数列中，如为常数且，就数列是等比数列；如不是一个常数，而是关于的式子，就数列不是等比数列 .2如数列有形如的解析关系， 而的积是可求的， 就可用多式累（迭）乘法求得.举一反三：【变式 1】在数列中，求.【变式 2】已知数列中，求通项公式.类型三：倒数法求通项公式3 数列中，,，求.总结升华：1两边同时除以可使等式左边显现关于和的相同代数式的差，右边为 一常数

16、，这样把数列的每一项都取倒数，这又构成一个新的数列，而恰是等差数列 .其通项易求，先求的通项，再求的通项 .2如数列有形如的关系，就可在等式两边同乘以，先求出，再求得.举一反三：【变式 1】数列中，求.【变式 2】数列中，,，求.类型四：待定系数法求通项公式4 已知数列中，求.总结升华：1一般地， 对已知数列的项满意，（为常数，）, 就可设得，利用已知得即，从而将数列转化为求等比数列的通项 .其次种方法利用了递推关系式作差，构造新的等比数列 .这两种方法均是常用的方法.2如数列有形如（ k 、b 为常数）的线性递推关系，就可用待定系数法求得.举一反三：【变式 1】已知数列中，求【变式 2】已知

17、数列满意,而且，求这个数列的通项公式.类型五：和的递推关系的应用5已知数列中，是它的前n 项和，并且,.1 设,求证：数列是等比数列；2 设，求证：数列是等差数列；3 求数列的通项公式及前n 项和 .总结升华： 该题是着眼于数列间的相互关系的问题，解题时，要留意利用题设的已知条件，通过合理转换， 将非等差、 等比数列转化为等差、等比数列， 求得问题的解决利用等差（比）数列的概念， 将已知关系式进行变形，变形成能做出判定的等差或等比数列，这是数列问题中的常见策略 .举一反三：【变式 1】设数列首项为 1，前 n 项和满意.（ 1）求证：数列是等比数列；（ 2）设数列的公比为，作数列，使，求的通项

18、公式 .【变式 2】如,，求.【变式 3】等差数列中，前 n 项和，如.求数列的前 n 项和.类型六：数列的应用题6.在始终线上共插13 面小旗，相邻两面间距离为10m，在第一面小旗处有某人把小旗 全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？总结升华： 此题属等差数列应用问题，应用等差数列前项和公式，在求和后，利用二次函数求最短路程 .举一反三：【变式 1】某企业2007 年 12 月份的产值是这年1 月份产值的倍，就该企业2007 年年度产值的月平均增长率为（）a bcd【变式 2】某人 2006 年 1 月 31 日存入如干

19、万元人民币，年利率为，到 2007 年1 月 31 日取款时被银行扣除利息税（税率为）共计元，就该人存款的本金为（）a 1.5 万元b 2 万元c3 万元d 2.5 万元【变式 3】依据市场调查结果，猜测某种家用商品从年初开头的个月内累积的需求量（万件）近似地满意.按比例猜测，在本年度内，需求量超过万件的月份是a 5 月、 6 月b 6 月、 7 月c 7 月、 8 月d 9 月、 10 月【变式 4】某种汽车购买时的费用为10 万元， 每年应交保险费、养路费及汽油费合计9 千元， 汽车的修理费平均为第一年2 千元，其次年4 千元，第三年6 千元，依次成等差数列 递增，问这种汽车使用多少年后报

20、废最合算？（即年平均费用最少）【变式 5】某市 2006 年底有住房面积1200 万平方米，方案从2007 年起，每年拆除20 万平方米的旧住房 .假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.（ 1）分别求2007 年底和 2021 年底的住房面积；（ 2）求 2026 年底的住房面积.（运算结果以万平方米为单位，且精确到0.01） 高考题萃1设数列的前项和为.（）求；（）证明：是等比数列；（）求的通项公式 . 2设数列的前项和为已知，（）设，求数列的通项公式；（）如，求的取值范畴一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解集二次函数y ax2 bx c 的图象、一元二次方程ax2 bx c

21、 0 的根与一元二次不等式ax 2bx c>0 与 ax2 bx c<0 的解集的关系，可归纳为：判别式 b2 4ac>0 0<0二次函数y ax2 bx c a>0 的图象一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根有两相异实根x x1 或 x x2有两相同实根x x1无实根一元二次不ax2 bx c>0 a>0 x|x<x1 或 x>x2 x|x x1r等式的解集ax2 bx c<0 a>0 x|x1 <x<x2.如 a<0 时，可以先将二次项系数化为正数，对比上表求解1不等式x1 2x 0 的解集是 a

22、. ， 12b. 0， 12c ， 0 1，2d. 1，2答案： b2不等式9x2 6x 1 0 的解集是 1111a. x x 3b. 3c. x 3 x 3d r答案： b3如关于x 的方程x2 mx 1 0 有两个不相等的实数根，就实数m 的取值范畴是 a 1,1b 2,2c ， 2 2， d ， 1 1 ， 解析： 选 c由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式 0，即 m2 4 0，解得 m 2 或 m 2.4已知集合a x r |x 2|<3 ，集合 b x r |x m x 2<0 ，且 a b 1， n ，就 m ， n .解析： 由于 |x 2|<3

23、 ，即 5<x<1，所以 a 5,1 ，又 a b .，所以 m<1， b m, 2，由a b 1， n 得 m 1， n 1.答案： 1115不等式x 1 1 的解集为 解析： 由1x 1 1 得 11x 1 0，即 x 2 0，解得 x 1，或 x 2. x 1答案： x|x 1，或 x 2解一元二次不等式应留意的问题：1在解一元二次不等式时，要先把二次项系数化为正数2二次项系数中含有参数时，参数的符号会影响不等式的解集，争论时不要遗忘二次项系数为零的情形3解决一元二次不等式恒成立问题要留意二次项系数的符号4一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函

24、数图象与x 轴交点的横坐标相同一元二次不等式的解法典题导入 例 1解以下不等式：10 x2 x 2 4； 2x2 4ax 5a2 0a 0自主解答 1原不等式等价于x2 x2 0，.x2 x2 4x2 x 2 0， x2 x 6 0x 2x 1 0，.x 3x 2 0x 2或x 1， 2 x 3.借助于数轴，如下列图，原不等式的解集为 x| 2 x 1，或 2 x 3 .2由 x2 4ax 5a2 0 知 x 5a x a 0.由于 a 0 故分 a 0 与 a 0 争论 当 a 0 时， x 5a 或 x a；当 a 0 时， x a 或 x 5a.综上， a 0 时，解集为 x|x 5a，

25、或 x a ； a 0 时，解集为 x|x 5a，或 x a .由题悟法1解一元二次不等式的一般步骤：1对不等式变形，使一端为0 且二次项系数大于0，即 ax2 bx c 0a 0， ax2 bx c 0a 0；2运算相应的判别式；3当 0 时，求出相应的一元二次方程的根；4依据对应二次函数的图象，写出不等式的解集 2解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类争论；如不能因式分解，就可对判别式进行分类争论，分类要不重不漏以题试法1解以下不等式：1 3x2 2x 8 0； 2 ax2 a 1 x 1 0 a 0 解： 1原不等式可化为3x2 2x 8 0，即3x 4x 2 0

26、.解得 2 x 4，3.所以原不等式的解集为x 2 x 432原不等式变为 ax 1 x 1 0，1由于 a 0，所以x a x 1 0.1所以当 a 1 时，解为 x 1；a当 a 1 时，解集为.；.当 0 a 1 时，解为1 x 1a1综上，当0 a 1 时，不等式的解集为x 1 x a；当 a 1 时，不等式的解集为.；1当 a 1 时，不等式的解集为x a x 1.一元二次不等式恒成立问题典题导入 例 2已知 fxx2 2ax 2a r，当 x 1， 时， fx a 恒成立，求a 的取值范畴自主解答 法一 ： f x x a2 2 a2，此二次函数图象的对称轴为x a.当 a ， 1

27、 时， f x在 1， 上单调递增，fxmin f 1 2a 3.要使 f x a 恒成立，只需f x min a，即 2a 3 a，解得 3 a 1；当 a 1， 时， fxmin f a 2 a2，由 2 a2 a，解得 1 a 1.综上所述， a 的取值范畴为 3,1 法二 ：令 gx x2 2ax 2 a，由已知，得x2 2ax 2 a 0 在 1， 上恒成立，即 0， 4a2 42 a 0 或a 1， g 1 0.解得 3 a 1.所求 a 的取值范畴是 3,1一题多变此题中的“ x 1， 改为“ x 1,1 ”，求a 的取值范畴解：令 gx x2 2ax 2 a，由已知，得x2 2

28、ax 2 a 0 在 1,1上恒成立，即 4a2 42 a 0 或 0， a 1， g 1 0 0， 或a 1，g 1 0.解得 3 a 1，所求 a 的取值范畴是 3,1 .由题悟法1对于二次不等式恒成立问题，恒大于0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方2一元二次不等式恒成立的条件：(1) ax2 bx c 0 a 0 x r 恒成立的充要条件是：a 0 且 b2 4ac 0.(2) ax2 bx c 0 a 0 x r 恒成立的充要条件是：a 0 且 b2 4ac 0.以题试法2如关于 x 的不等式x2 a

29、x a>0 的解集为 ， ，就实数a 的取值范畴是 ；如关于 x 的不等式x2 ax a 3 的解集不是空集，就实数a 的取值范畴是 解析： 由 1<0，即 a2 4 a<0 ，得 4<a<0；由 2 0，即 a2 43 a 0，得 a 6 或 a 2.答案： 4,0 ， 6 2 ， 一元二次不等式的应用典题导入 例 3某商品每件成本价为80 元，售价为 100 元，每天售出 100 件如售价降低x 成1 成 10% ，8售出商品数量就增加5x 成要求售价不能低于成本价1设该商店一天的营业额为y，试求 y 与 x 之间的函数关系式y fx，并写出定义域；2如再要求

30、该商品一天营业额至少为10 260 元，求 x 的取值范畴x8自主解答 1由题意得y 100 1 10 ·100 1 50x .由于售价不能低于成本价，x所以 100 110 80 0.所以 y fx 2010 x50 8x ，定义域为 0,2 2由题意得2010 x508x 10 260，化简得 8x2 30x 13 0.113.解得 x241所以 x 的取值范畴是由题悟法， 2 .2解不等式应用题，一般可按如下四步进行：1仔细审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；2引进数学符号，用不等式表示不等关系；3解不等式；4回答实际问题 以题试法3某同学要把自己的运算机接入因特网现有两家

31、isp 公司可供挑选公司a 每小时收费1.5元；公司b 在用户每次上网的第1 小时内收费1.7 元，第 2 小时内收费1.6 元，以后每小时削减0.1 元如用户一次上网时间超过17 小时，按17 小时运算 假设该同学一次上网时间总是小于17 小时，那么该同学如何挑选isp 公司较省钱？解：假设一次上网x 小时，就公司 a 收取的费用为1.5x 元，公司 b 收取的费用为如能够保证挑选a 比挑选b 费用少，就x 35 xx 35 x20元 1.5 x0 x 17，20整理得 x2 5x 0，解得 0 x 5，所以当一次上网时间在5 小时内时，挑选公司a 的费用少；超过5 小时，挑选公司b 的费用

32、少【2021 年高考会这样考】基本不等式1考查应用基本不等式求最值、证明不等式的问题2考查应用基本不等式解决实际问题【复习指导】1突出对基本不等式取等号的条件及运算才能的强化训练2训练过程中留意对等价转化、分类争论及规律推理才能的培育1基本不等式：aba b 2基础梳理1基本不等式成立的条件：a0，b0.2等号成立的条件：当且仅当ab 时取等号2几个重要的不等式 1a2 b2 2aba，br；ba2a 2a，b 同号； bab(3) ab22 a，br；a2b242ab 22a，br3算术平均数与几何平均数设 a0，b0，就 a，b 的算术平均数为a b2，几何平均数为ab，基本不等式可表达为

33、两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知 x0，y0，就1假如积 xy 是定值 p，那么当且仅当xy 时， xy 有最小值是 2p.简记：积定和最小 2假如和 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时， xy 有最大值是积最大 p24 .简记：和定一个技巧运用公式解题时， 既要把握公式的正用， 也要留意公式的逆用， 例如 a2b2 2aba2b2abab逆用就是 ab2； 2aba，b0逆用就是 ab2a，b0等仍2要留意 “ 添、拆项 ”技巧和公式等号成立的条件等两个变形a2b212ab 22aba， b r，当且仅当 ab 时取等号 ；a2 b222ab2

34、ab 121a 0， b 0，当且仅当 ab 时取等号 ba这两个不等式链用处很大，留意把握它们三个留意1使用基本不等式求最值，其失误的真正缘由是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不行2在运用基本不等式时，要特殊留意“拆”“ 拼”“ 凑”等技巧，使其满意基本不等式中 “正”“ 定”“ 等” 的条件3连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满意任何一次的字母取值存在且一样考向一利用基本不等式求最值【例 1】.1已知 x0，y0，且 2xy1，就11xy的最小值为 ；2当 x0 时，就 fx2x的最大值为 x2111 审题视点 第1问把 中的“1”代换为

35、“ 2xy”，绽开后利用基本不等式；x y第2问把函数式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式解析1x0，y 0，且 2xy1，11 xy2xy x2x yy 3y 2xx y 322.当且仅当y2xy时，取等号x2x0，12x222 fx ，xx112x1x当且仅当 x ，即 x1 时取等号答案13 2221利用基本不等式求函数最值时，留意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小 ” 常用的方法为：拆、凑、代换、平方1【训练 1】 1已知 x 1，就 fxxx的最小值为 1222已知 0 x，就 y2x 5x 5的最大值为 3如 x，y0， 且 2x8yxy0，就 xy 的最小值为 解析

36、1x1， f x x111213当且仅当 x 2 时取等号x12y 2x5x2x25x1 5x·25x，·525 0 x ， 5x2,25x 0，2 5x25x 5x25x2 1， y1，当且仅当 5x 2 5x， 5即 x1155时， ymax .3由 2x8y xy0，得 2x8y xy，28 1，yx82yx xyx y 108y2x x y 102 4yx102×2×4y x·18，xxyy，即当且仅当 4yxxyx 2y 时取等号，又 2x8yxy 0， x 12，y6，当 x12， y 6 时， xy 取最小值 18.1答案1325

37、318考向二利用基本不等式证明不等式【例 2】.已知 a0， b 0， c 0，求证： bccaababc.a b c 审题视点 先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到证明 a 0， b0，c0，bccabc ca a b 2· 2c；abbcabbc aba c 2· 2b；accaabb c 2ca abb ·c 2a.bccaab以上三式相加得： 2a b c2abc，即bccaaba b c abc.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情形，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件动身，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的规律推理最终

38、转化为需证问题【训练 2】 已知 a0，b0，c0，且 abc1.求证：111ab c9.证明 a 0， b0，c0，且 abc 1，11 a b1a bcacabcb abc c 3bca aabcabcc b 3bacacbbcaacb 3 2 2 2 9，当且仅当 ab c1时，取等号3考向三利用基本不等式解决恒成立问题x【例 3】.如对任意 x0，x2 3x1a 恒成立，就 a 的取值范畴是 审题视点 先求xx 0的最大值，要使得xax0恒成立，x23x 1只要 2xx 0的最大值小于等于a 即可x23x1x 3x 1解析如对任意 x 0， 2xa 恒成立，只需求得 y 2x的最大值即

39、x 3x1x1x 3x111可，由于 x 0，所以 yx2 3x 1 ，当且仅当 x1 时取1x 32x 15等号，所以 a 的取值范畴是1x·x1， 5答案，5当不等式一边的函数 或代数式 的最值较易求出时， 可直接求出这个最值最值可能含有参数 ，然后建立关于参数的不等式求解【训练 3】已知 x0，y0，xyx2y，如 xy m2 恒成立，就实数 m 的最大值是 解析由 x 0，y0，xyx2y 22xy，得 xy8，于是由 m2xy 恒成立，得 m28，m10，故 m 的最大值为 10.答案10考向三利用基本不等式解实际问题【例 3】.某单位建造一间地面面积为12 m2 的背面靠墙的矩形小房， 由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过 5 m房屋正面的造价为400 元/m2，房屋侧面的造价为150 元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800 元，假如墙高为 3 m，且不计房屋背面的费用当侧面的长度为多少时，总造价最低？ 审题视点 用长度 x 表示出造价，利用基本不