高一数学必修函数及其表示教案

1、高一数学同步拔高§ 1；2 函数及其表示基础学问清单考点一映射的概念1 明白对应大千世界的对应共分四类，分别是：一对一多对一一对多多对多2 映射： 设 a 和 b 是两个非空集合，假如依据某种对应关系 f，对于集合 a 中的任意一个元素 x，在集合 b 中都存在唯独的一个元素 y 与之对应，那么，就称对应 f： ab 为集合 a 到集合 b 的一个映射 mapping. 映射是特别的对应，简称“对一”的对应；包括： 一对一 多对一考点二函数的概念1函数： 设 a 和 b 是两个非空的数集，假如依据某种确定的对应关系f，对于集合a 中的任意一个数x ，在集合 b 中都存在唯独确定的数y

2、 与之对应，那么，就称对应 f：ab 为集合 a 到集合 b 的一个函数；记作 y=fx,xa.其中 x 叫自变量， x 的取值范畴a 叫函数的定义域； 与 x 的值相对应的y 的值函数值，函数值的集合fx xa叫做函数的值域；函数是特别的映射，是非空数集a 到非空数集b 的映射；2 函数的三要素：定义域、值域、对应关系；这是判定两个函数是否为同一函数的依据；3区间的概念：设 a,br ,且 a<b.我们规定 ： a,b = x | a < x < b a,b = x | a xba,b = x | a x < b a,b = x | a < x b a, + =

3、 x | x > a a ,+ = x | x考点三函数的表示方法a- ,b = x | x < b - ,b = x | x b- ,+ = r1 函数的三种表示方法列表法图象法解析法2 分段函数：定义域的不同部分，有不同的对应法就的函数；留意两点：分段函数是一个函数，不要误认为是几个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；才能学问清单考点一求定义域的几种情形如 fx 是整式，就函数的定义域是实数集r；如 fx 是分式，就函数的定义域是使分母不等于0 的实数集；如 fx 是二次根式，就函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0 的实数集合；如 fx 是对数函

4、数，真数应大于零； .由于零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零；如 fx 是由几个部分的数学式子构成的，就函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；如 fx 是由实际问题抽象出来的函数，就函数的定义域应符合实际问题考点二映射个数公式mcarda=m,cardb=n, m,nn,就从 a 到 b 的映射个数为n；简洁说成“前指后底”；方法技巧清单方法一函数定义域的求法1（ 2021 江西卷文）函数yx23x x4的定义域为（）a 4,1b 4, 0c 0,1d 4, 00,1解析由xx23x0得440x0 或 0x1,应选 d.2（ 2021 江西卷理）函数yln x1x23x的定

5、义域为4a 4,1b 4,1c 1,1d1,1x10x1解析由x23x404x11x1.应选 c3. （ 2021 福建卷文） 以下函数中，与函数y11有相同定义域的是xxa . fxlnxb.1f xxc. f x| x |d. f xe1解析由 y可得定义域是xx0. fxln x 的定义域x0 ； fx的定义域是x 0； f x| x | 的定x义域是xr; f xex 定义域是 xr ；应选 a.4. （ 2007 年上海） 函数 ylg 4xx 的定义域是答案3x x4 且 x35. 求以下函数的定义域；y=x2x2 . y=2x1. y=x11xxx6. 已知函数 fx 的定义域为

6、1,5，求函数 fx=f3x-1-f3x+1的定义域；方法二函数概念的考察51.以下各组函数中表示同一函数的是（） a.y= 5 x和2yxb.y=lnxln xe 和 yec. yx1xx13 和yx3d. y01x 和y0x2函数 y=fx的图像与直线x=2 的公共点个数为a. 0 个 b. 1 个c. 0 个或 1 个d.不能确定23已知函数y= x2 定义域为1,0.1,2，就其值域为方法三分段函数的考察求分段函数的定义域和值域2x+2x1,01 求函数 fx=1 xx0,22的定义域和值域3x2,2f x g xx4,xg x,2（ 2021 天津文数） 设函数g xx2xr ，g

7、xx,xg x .就 f x 的值域是9（ a）,01,（ b） 0,（ c） 9 , （ d）9 ,02,444【解析】此题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题；x22 x4, xx22x22, x1或x2依题意知f x22， f x2x2x, xx2x2x,1x2求分段函数函数值3（ 2021 湖北文数） 3.已知函数f xlog3 x, xx0， 就 f f 192 , x011a.4b.4c.-4d-24【解析】依据分段函数可得f 1 log12 ，就f f 1 f 221 ，所以 b 正确 .3解分段函数不等式99x24 x946, x04.（ 2021 天津卷文）设函数f

8、xx6, x0就不等式f xf 1 的解集是（）a. 3,13,b. 3,12,c. 1,13,d. ,31,3答案a 解析由已知，函数先增后减再增当x0 ，f x2 f 13 令 f x3,解得 x1, x3 ；当 x0 ， x63, x3 故 f xf 13，解得3x1或x3【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用；以及一元二次不等式的求解；5（ 2021 天津卷理）已知函数f x x 24 x ,4 xx 2 ,x0如 f 2x0a2 f a, 就实数 a的取值范畴是a,12,b1, 2c2,1d,21,【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用；以及一元二次不等式的求解；

9、解析：由题知f x 在 r 上是增函数，由题得2a 2a ，解得2a1 ，故挑选c；6.（ 2021 北京理）如函数f x1 ,x0x1 x就不等式| f x |1的解集为 .3 , x0 3解析此题主要考查分段函数和简洁肯定值不等式的解法.属于基础学问、基本运算的考查.x0x0x0（ 1）由 |f x |1x11x1133333113x0 . （ 2）由 |f x |130x1.x31不等式| f x |的解集为3x |3x1 ，应填3,1 .log 2 x, x0,7；（ 2021 天津理数） 如函数 fx=log 1 2x, x0 , 如 fa>f-a,就实数 a 的取值范畴是（

10、a）（ -1 ，0）（ 0，1） （ b）（ - ， -1 ）（ 1,+ ）（ c）（ -1 ，0）（ 1,+ ） （ d）（ - ， -1 ）（ 0,1 ）【答案】 c【解析】此题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类争论思想，属于中等题；由分段函数的表达式知，需要对a 的正负进行分类争论；a0a<0a0a0f af alog 2 alog 1 a 或log 1 a) log 2 a1 或1aaa1或-1a0222a【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类争论的方式求解，解对数不等式既要留意真数大于0，同事要留意底数在（ 0， 1）上时，不等号的方向不要写错；解分段函数方程8（

11、 2021 北京文）已知函数f x3x ,x1,如f x2 ，就 x.x,x1,解析此题主要考查分段函数和简洁的已知函数值求x 的值 .属于基础学问、基本运算的考查.x1由3x2x1xlog 3 2 ，x2x无解，故应填2log3 2 .方法四求函数的解析式1 求以下函数的解析式已知 fx1x31x3 , 求f x.x已知 f21xlg x，求 f x.已知 fx是二次函数，如f0=0,且 fx+1=fx+x+1,求 fx.已知 fx满意 2 fxf1x3 x. 求 fx.方法五函数图像的考察1. 2021 山东卷理 函数 yexe xxx 的图像大致为.eeyyyy1o1xa1o 1xb1o

12、 1xc1o1xd解析函数有意义 ,需使 exe x0 ,其定义域为x | x0 , 排除c,d, 又由于 yexe xe2 x112,所以当 x0 时函数为减函数,应选 a.exe xe2 x1e2x1【命题立意】:此题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.此题的难点在于给出的函数比较复杂 ,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.2.（ 2021广 东 卷 理 ）已知甲、乙两车由同一起点同时动身,并沿同一路线（假定为直线）行驶甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙 （如图 2 所示）那么对于图中给定的t0和t1 ，以下判定中肯定正确选项（）a. 在 t1 时刻，甲

13、车在乙车前面b.t1 时刻后，甲车在乙车后面c.在 t0 时刻，两车的位置相同d.t0 时刻后，乙车在甲车前面解析由图像可知，曲线v甲 比 v乙 在 0 t0 、0 t1 与 x 轴所围成图形面积大，就在 t0 、 t1 时刻，甲车均在乙车前面，选a.3.（ 2021 江西卷文）如下列图，一质点p x,y 在 xoy 平面上沿曲线运动，yp x, y速度大小不变，其在x 轴上的投影点q x,0的运动速度vv t 的图象大致为v toq x,0xv tv t v t aobcottd otot解析由图可知， 当质点p x, y 在两个封闭曲线上运动时，投影点q x,0的速度先由正到0、到负数，

14、再到 0，到正，故a 错误；质点p x, y 在终点的速度是由大到小接近0，故 d 错误；质点p x, y 在开头时沿直线运动，故投影点q x,0的速度为常数，因此c 是错误的，应选b .4（ 2021 山东理数） 11 函数 y=2x -x2 的图像大致是【解析】由于当x=2 或 4 时， 2x - x2 =0，所以排除b 、c；当 x=-2 时， 2x -x2 = 14<0 ，故排除d ，所以选a ；42【命题意图】此题考查函数的图象，考查同学们对函数基础学问的把握程度以及数形结合的思维才能；5（ 2021 安徽文数） 设 abc0 ,二次函数f xaxbxc 的图像可能是【解析】当

15、a0 时， b 、 c 同号，（ c）（ d）两图中 c0 ，故 b0,b 2a0 ，选项（ d）符合【方法技巧】依据二次函数图像开口向上或向下，分a0 或 a0 两种情形分类考虑.另外仍要留意c 值是抛物线与 y 轴交点的纵坐标，仍要留意对称轴的位置或定点坐标的位置等.6（ 2021 山东文数） 函数 y2xx2 的图像大致是答案： a方法六映射概念的考察1 设 f : x2x 是集合 a 到集合 b 的映射，假如b=1,2，就 a b=（ ）a. b.1c.或 2d.或 12 集合 m= a,b, c， n=1,0.1映射 f:mn 满意 fa+b+fc=0,那么映射f:mn 的个数是（）

16、a.4b.5c. 6d. 73 集合 m= a,b, c到集合 n=1,0.1一共有个不同的映射；方法七函数值域和最值的求法21利用二次函数在有限区间上的范畴求值域求函数 y=x6 x5的值域2分别常数法求函数 y= 3x x1 的值域23换元法求函数 y= x41x 的值域4数形结合法求函数 y= x1x4 的值域x225判别式法求函数 y=2xx2的值域x1方法八函数奇偶性和周期性的考察1.（ 2021 全国卷理）函数f x 的定义域为r，如f x1 与f x1) 都是奇函数，就a. fx 是偶函数b.f x 是奇函数c. f xf x2d. f x3 是奇函数答案d解析f x1 与f x

17、1 都是奇函数，f x1f x1, f x1函 数fx关 于 点 1,0 ，f x1 ，及 点 1, 0 对称 ， 函 数f x 是周 期 t211 的4 周 期 函数 .f x14f x14 ， f x3f x3 ，即f x3 是奇函数；应选d2.2021 山东卷理 定义在 r 上的函数fx 满意 f x=log 2 1x, x0，f x1f x2, x0就 f（ 2021 ）的值为a.-1b. 0c.1d. 2答案c解析由已知得f 1log 2 21, f 00 , f 1f 0f 11 ,f 2f 1f 01 ,f 3f 2f 1110 ,f 4f 3f 2011 ,f 5f 4f 31

18、 ,f 6f 5f 40 ,所以函数fx 的值以 6 为周期重复性显现.,所以 f （2021 ） = f （ 5） =1,应选 c.【命题立意】:此题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.3（.2021 江西卷文） 已知函数f x 是 , 上的偶函数， 如对于 x0 ，都有f x2）f x ，且当 x0, 2时， f xlog 2 x1），就f 2021f 2021的值为（）a 2b1c 1d 2答案c解析f2021f 2021f 0f 1log1log21, 应选 c.22方法九函数奇偶性和对称性考察1.（ 2021 全国卷文）函数y2log 22x 的图像（）x（ a ） 关于原点对

19、称（ b ）关于主线yx 对称（ c） 关于 y 轴对称（ d）关于直线yx 对称答案a解析此题考查对数函数及对称学问，由于定义域为（-2， 2）关于原点对称，又f-x=-fx ，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选a ；2（ 2021 重庆理数） 5 函数 fx4 x1 2x的图象a.关于原点对称b. 关于直线y=x 对称c. 关于 x 轴对称d.关于 y 轴对称解析：f x4 x12x14 x2 xf xf x 是偶函数，图像关于y 轴对称方法十函数奇偶性和单调性的考察1.2021 山东卷文 已知定义在r 上的奇函数f x ，满意f x4f x ,且在区间 0,2 上是增函数 ,就.a.

20、f25f 11f 80b.f 80f 11f 25c.f11f 80f 25d.f 25f 80f 11答案d解析由于f x 满意f x4f x , 所以f x8f x, 所以函数是以8为周期的周期函数, 就f 25f 1 ,f 80f 0 ,f 11f 3, 又 因 为f x在r上 是 奇 函 数 ，f 00 , 得f 80f 00,f 25f 1f 1,而由f x4得fxf 11f 3f 3f 14f 1 ,又由于f x 在区间 0,2 上是增函数,所以f 1f 00 , 所以2f 10 ,即f 25f 80f 11 ,应选 d.2.（ 2021 全国卷文）设alg e,blg e , c

21、lge, 就（）（ a ） abc（ b） acb（ c） cab（ d ） cba答案b解析此题考查对数函数的增减性，由1>lge>0, 知 a>b,又 c=1lge,作商比较知c>b,选 b；23.（ 2021 辽宁卷文）已知偶函数f x 在区间0, 单调增加，就满意f 2 x1 f 1 的 x 取值范畴是31（ a）（，321）b.，3321）c.（，32212）d.，）323答案a解析由于 fx 是偶函数 ,故 fx f|x|1得 f|2x 1| f, 再依据 fx 的单调性3得 |2x1| 13解得 1 x 233f x2 f x1 4.（ 2021 陕西卷文

22、）定义在r 上的偶函数f x满意： 对任意的x1 , x20, x1x2 ，有0 .x2x1就af3f 2f 1b. f1f 2f 3c. f2f 1f 3d. f3f 1f 2答案a解析由 xx f x f x0 等价，于f x2 f x1 0 就f x 在2121x2x1x1, x2,0 x1x2 上单调递增 , 又f x 是偶函数 ,故f x 在x , x0, xx 单调递减 .且满意nn * 时,f 2f 2 ,3>210 ,得1212f 3f 2f 1 ,应选 a.5.2021 陕西卷理 定义在 r 上的偶函数f x 满意：对任意的 x1 , x2,0 x1x2 ，有 x2x1

23、 f x2 f x1 0 .就当 nn * 时 ,有(a) f nf n1f n1b. f n1f nf n1c. c.f n1f nf n1d. f n1f n1f n答案c解析：x1 , x2,0 x1x2 x2x1f x2 f x1 0x2x1时， f x2 f x1f x在,0 为增函数f x为偶函数f x在0，为减函数而n+1>n>n-1>0,f n1f nf n1f n1f nf n16.（ 2021 江苏卷）已知为.a51 ，函数2f xax ，如实数 m 、 n 满意f mf n ，就 m 、 n 的大小关系解析考查指数函数的单调性；a510,1 ，函数2f

24、xax 在 r 上递减；由f mf n 得： m<n3223227（ 2021 安徽文数）（ 7）设 a （）5 , b （）5， c（）5 ，就 a， b，c 的大小关系是555（ a ）a c b（b ） a b c（ c） c a b（ d） bc a 7.a【解析】2yx 5 在 x0 时是增函数，所以ac ， y 2 x 在 x 50 时是减函数，所以cb ；【方法总结】依据幂函数与指数函数的单调性直接可以判定出来.方法十一抽象函数的解法1. （ 2021四川卷理）已知函数f x是定义在实数集r 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf x11x f x， 就 5的值是

25、a.0b.f f12 25c.1d.2【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法，综合题；（同文 12）答案a解析令 x1 ，就1 f22 1 21 f 1 221 f 1 22f 1 20 ；令 x0 ，就f 00由 xf x115x fx 得f x13x1 f x ，所以 xf 5 22 f 33225 f 3 3252 f 1 03122f f 5 2f 00 ，故挑选a ；2.2021山东卷理 已知定义在r 上的奇函数f x ，满意f x4f x ,且在区间 0,2 上是增函数 ,如方程fx=mm>0 在区间8,8上有四个不同的根x1 , x2 , x3 , x4 ,就 x

26、1x2x3x4 .答案-8解析由于定义在r 上的奇函数，满意f x4f x ,所以f x4f x ,所以 , 由f x 为奇函数 ,所以函数图象关于直线x2 对称且f 00 ,由f x4f x 知f x8f x ,所以函数是以8 为周期的周期函数, 又由于f x 在区间 0,2 上是增函数, 所以f x在区间 -2,0 上也是增函数.如下列图,那么方程fx=mm>0在 区 间8,8上 有 四 个 不 同 的 根x1, x2 , x3 , x4, 不 妨 设 x1x2x3x4由 对 称 性 知x1x212 x3x44 所以 x1x2x3x41248yfx=m m>0-8-6-4-202468x【命题立意】:此题综合考查了函数的奇偶性,单调性 ,对称性 ,周期性 ,以及由函数图象解答方程问题,运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.方法十二对数函数的考察3（ 2021 全国卷 1 文数） 7 已知函数f x| lgx |. 如 ab 且，f a f b ，就 ab 的取值范畴是a 1,b1, c2,d2,c【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范畴，而利用均值不等式求得a+b= a12 ,从而错选d,这也是命题者的用苦良心之处.a【解析 1】由于fa=fb, 所以 |lga|