高一数学教案平面向量的数量积及运算律

1、学习必备欢迎下载课 题： 平面对量的数量积及运算律（ 1）教学目的：1 把握平面对量的数量积及其几何意义；2 把握平面对量数量积的重要性质及运算律；3 明白用平面对量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4 把握向量垂直的条件教学重点： 平面对量的数量积定义教学难点： 平面对量数量积的定义及运算律的懂得和平面对量数量积的应用授课类型： 新授课课时支配： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析 ：本节学习的关键是启示同学懂得平面对量数量积的定义，懂得定义之后便可引导同学推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深同学对于平面对量数量积的熟悉主要学问点：平面对量数量积的定义及几何意义； 平面

2、对量数量积的 5 个重要性质； 平面对量数量积的运算律教学过程 ： 一、复习引入：1 向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线的 充要条件 是：有且只有一个非零实数 ，使b = a2平面对量基本定理：假如e1 ， e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数 1， 2 使 a = 1 e1 +2 e23平面对量的坐标表示分别取与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i 、 j 作为基底 任作一个向量a ，由平面对量基本定理知，有且只有一对实数x 、 y ，使得 axiyj把 x, y 叫做向量 a 的（直角）坐标，记作a x, y4平面对量的坐标运

3、算如 a x1 , y1 ， b x2 , y2 ，就 abx1x2 , y1y2 ， abx1x2 , y1y2 ，ax,y如 a x1 , y1 ，b x2 ,y2 ，就 abx2x1 , y2y15 a b b0 的充要条件是x1y2-x2y1=06线段的定比分点及p1, p2 是直线 l 上的两点， p 是 l 上不同于p1 , p2 的任一点，存在实数 ，学习必备欢迎下载使p1p= pp2， 叫 做 点p分p1 p2所 成 的 比 ， 有 三 种 情 况 ：>0内分 外分 <0 <-1 外分 <0-1< <07 定比分点坐标公式：如 点p x 1,

4、y 1， x 2,y 2 ， 为实数，且p1 p pp2，就 点 p 的坐标为（ x1x2 , y1y2 ），我们称 为点 p 分 p p所成的比12118 点 p的位置与 的范畴的关系：当 时，p1 p 与 pp2同向共线，这时称点p为 p1p2的内分点当 1 时，p1 p 与 pp2反向共线，这时称点p 为 p1p2的外分点9 线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点o，设op1 ， op2 ，可得 op = a1b1ab1110力做的功： w = | f| | s|cos， 是 f 与 s 的夹角二、讲解新课：1两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作 oa ， ob ，就 （

5、）叫 与的夹角说明：（ 1）当 时， 与同向；（ 2）当 时， 与反向；（ 3）当 时， 与垂直，记 ；2（ 4）留意在两向量的夹角定义，两向量必需是同起点的范 围 0 180c2平面对量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量 与，它们的夹角是 ，就数量| a| b|cos叫与的数量积，记作a b，即有 a b = | a| b|cos，（ ） 并规定 0 与任何向量的数量积为0探究： 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区分（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos 的符号所打算学习必备欢迎下载（2）两个向量的数量积称为内积，写成a b；今后要学到两个向量的外积a×

6、b，而 a b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替（3）在实数中，如a 0，且 a b=0，就 b=0；但是在数量积中，如a 0，且 a b=0，不能推出b=0 由于其中cos 有可能为0（4）已知实数a、b、 cb0，就 ab=bca=c 但是 a b = b ca = c如右图： a b = | a| b|cos= | b|oa|， b c = | b| c|cos= | b|oa| a b = b c但 ac5在实数中，有a bc = ab c，但是 a bcab c明显， 这是由于左端是与c 共线的

7、向量， 而右端是与a 共线的向量，而一般 a 与 c 不共线3“投影”的概念：作图定义： | b|cos叫做向量b 在 a 方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当= 0 时投影为| b| ；当= 180 时投影为| b| 4向量的数量积的几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度与b 在 a 方向上投影 | b|cos的乘积5两个向量的数量积的性质：设 a、 b 为两个非零向量，e 是与 b 同向的单位向量1 e a = a e =| a|cos 2 aba b = 03 当 a 与 b 同向时， a b = | a| b|

8、；当 a 与 b 反向时， a b =| a| b|或 | a |2特殊的 a a = | a|aa4 cos=ab| a | b |5 | a b| | a| b|三、讲解范例：例 1 判定正误，并简要说明理由 ·0 0； 0·； 0 ab ba ； · ；如 0，就对任一非零有 · ； ·，就 与中至少有一个为0；对任 意向量 ， 都有（ ·） （ · ）； 与是两个单位向量，就 解：上述8 个命题中只有正确；对于：两个向量的数量积是一个实数，应有0· ；对于：应有· 0；对于：由数量积定义有

9、83; · · cos ，学习必备欢迎下载这里 是与的夹角，只有或 时，才有 · · ；对于：如非零向量、垂直，有 · ；对于：由 ·可知 可以都非零；对于：如 与 共线，记 就·（ ）· （ ·） （· ），（ · ）· （ · ） （ · ） （ · ）如与 不共线，就 · （ · ） 评述：这一类型题，要求同学的确把握好数量积的定义、性质、运算律例 2 已知 ， ，当 ， ， 与的夹角是60°时，分别求

10、83;解：当 时，如 与同向，就它们的夹角 °， · · cos0 ° 3× 6× 118； 如与反向，就它们的夹角 180°， · cos180 ° 3× 6×（ -1 ） 18；当 时，它们的夹角 90°， ·；当 与的夹角是60°时，有· cos60 ° 3× 6× 1 92评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范畴是0°， 180°，因此，当 时，有 0°或 180°

11、;两种可能四、课堂练习：五、小结通过本节学习，要求大家把握平面对量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题六、课后作业：七、板书设计（略） 八、课后记及备用资料：1 概念辨析：正确懂得向量夹角定义对于两向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点动身的两个向量所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义懂得不清而造成解题错误是一些易见的错误，如：1 已知 abc中， ， ， °，求bc · ca对此题，有同学求解如下：解：如图，bc ， ca ， °， bc · ca bc · ca cos 5×8cos60 ° 20分析： 上述解答，乍看正确，但事实上的确有错误，缘由就在于没能正确懂得向量夹角的定义，即上例中bc 与 ca 两向量的起点并不同，因此， 并不是它们的夹角，而正确的夹角应当是 c 的补角 120°2 向量的数量积不满意结合律分析： 如有（·） ·（· ），设 、夹角为 ， 、 夹角为 ，就 ·学习必备欢迎下载 · cos · ，· · · cos 如 ， ，就 ，进而有：（· ） ·