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文档简介
1、学习必备欢迎下载第一章集合与函数概念一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性:1) 元素的确定性如:世界上最高的山2) 元素的互异性如:由happy的字母组成的集合h,a,p,y3) 元素的无序性 :如: a,b,c和a,c,b是表示同一个集合3. 集合的表示: 如: 我校的篮球队员 , 太平洋 , 大西洋 , 印度洋 , 北冰洋 (1) 用拉丁字母表示集合: a=我校的篮球队员 ,b=1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法: 列举法与描述法;留意:常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集)记作: n正整数集n*或 n+整数集z有理数集q实数集 r1) 列举法: a,b,
2、c2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法;xr| x-3>2 ,x| x-3>23) 语言描述法: 例: 不是直角三角形的三角形 4) venn 图:4、集合的分类:(1) 有限集含有有限个元素的集合(2) 无限集含有无限个元素的集合(3) 空集不含任何元素的集合例: x|x2=5二、集合间的基本关系1. “包含”关系子集留意: ab 有两种可能( 1) a 是 b 的一部分,;( 2) a 与 b 是同一集合;学习必备欢迎下载反之:集合 a 不包含于集合b, 或集合 b 不包含集合 a, 记作 ab 或 ba2“相等”关系: a=b5 5,且
3、55,就 5=5实例:设a=x|x2-1=0b=-1,1“元素相同就两集合相等”即:任何一个集合是它本身的子集;aa真子集 : 假如 ab, 且 ab 那就说集合 a 是集合b 的真子集,记作ab或 ba假如 ab, bc , 那么 ac 假如 ab同时 ba 那么 a=b3.不含任何元素的集合叫做空集,记为规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集;有 n 个元素的集合,含有2n 个子集, 2n-1 个真子集三、集合的运算运交集并集补集算类型定由全部属于a由 所 有 属 于 集设 s是一个集合,义且属于 b 的元合 a 或属于集合a 是 s 的一个子素所组成的集b 的元素所组成集
4、,由 s 中全部合, 叫做 a,b 的的 集 合 , 叫 做不属于 a 的元素交 集 记 作a,b 的并集记组成的集合,叫ab(读作 a作: ab(读作做 s 中子集 a 的交 b),即a 并 b),补集 (或余集)ab= x|xa,且 xb即ab=x|xa , 或记作 cs a ,即csa= x| xs,且xa学习必备欢迎下载xb 韦ababsa图示图 1图 2性aa=aaa=acuacuba=a=a= cuabab=baab=bacuacub恩aba质abbababb= cuab ac ua=uac ua= 例题:1. 以下四组对象,能构成集合的是()a 某班全部高个子的同学b闻名的艺术家
5、c 一切很大的书d倒数等于它自身的实数2. 集合a , b,c 的真子集共有个23. 如集合 m=y|y=x-2x+1,xr,n=x|x0 ,就 m与 n 的关系是.4. 设集合 a= x 1x2 ,b= x xa,如 ab,就 a 的取值范畴是5.50名同学做的物理、 化学两种试验, 已知物理实验做得正确得有40 人,化学试验做得正确得有31学习必备欢迎下载人,两种试验都做错得有4 人,就这两种试验都做对的有人;6.用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合m=.227. 已知集合 a=x| x+2x-8=0, b=x| x-5x+6=0, c=x| x2-mx+m2 -19=0
6、,如 bc ,a c= ,求 m的值1 已知 a=x-3<x<5 ,b= xx<a , 如满意 ab, 就实数 a的取值范畴是;2 已知集合 = xx2+x-6=0 , 集合 =yay+1=0 , 如满意 ba, 就实数 a 所能取的一切值为.( 3)已知集合 aa 的取值范畴; x | ax 5 , b x | x 2,且满意 ab ,求实数二、函数的有关概念1函数的概念:设 a、b 是非空的数集,假如依据某个确定的对应关系 f ,使对于集合 a 中的任意一个数 x,在集合 b 中都有唯独确定的数 fx 和它对应,那么就称 f :a b 为从集合 a 到集合 b 的一个函数
7、记作: y=fx ,x a其中, x 叫做自变量,x 的取值范畴 a 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合 fx| x a 叫做函数的值域留意:1定义域:能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域;求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1) 分式的分母不等于零;(2) 偶次方根的被开方数不小于零;(3) 对数式的真数必需大于零;(4) 指数、对数式的底必需大于零且不等于1.(5) 假如函数是由一些基本函数通过四就运算结合而成的 . 那么,它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 .(6) 指数为零底不行以等于零,(7) 实际问题中的函数的定
8、义域仍要保证明际问题有意义 .学习必备欢迎下载相同函数的判定方法:表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);定义域一样 两点必需同时具备 见课本 21 页相关例 2 2值域 :先考虑其定义域(1) 观看法(2) 配方法(3) 代换法3.函数图象学问归纳(1) 定义:在平面直角坐标系中,以函数y=fx, x a 中的 x 为横坐标,函数值y 为纵坐标的点 px ,y 的集合 c,叫做函数y=fx,x a的图象 c 上每一点的坐标x , y 均满意函数关系 y=fx,反过来,以满意y=fx的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点 x , y ,均在 c 上 .(2) 画法a、描点法:b、图象变换
9、法常用变换方法有三种1) 平移变换2) 伸缩变换3) 对称变换4区间的概念( 1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间( 2)无穷区间( 3)区间的数轴表示 5映射一般地,设a、b 是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法就f ,使对于集合 a 中的任意一个元素 x,在集合 b 中都有唯独确定的元素y 与之对应,那么就称对应f :ab 为从集合 a 到集合b 的一个映射;记作“ f (对应关系): a(原象) b(象)”对于映射 f :a b 来说,就应满意:(1) 集合 a 中的每一个元素,在集合b中都有象,并且象是唯独的;(2) 集合 a 中不同的元素,在集合b中对应的象可学习必备欢
10、迎下载以是同一个;(3) 不要求集合 b 中的每一个元素在集合a 中都有原象;6. 分段函数(1) 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数;(2) 各部分的自变量的取值情形(3) 分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集补充:复合函数如果y=fuum,u=gxxa,就y=fgx=fxxa称为 f 、g 的复合函数;二函数的性质1. 函数的单调性 局部性质 ( 1)增函数设函数 y=fx的定义域为 i ,假如对于定义域i内的某个区间d内的任意两个自变量x1 ,x2,当x1<x2 时,都有 fx1<fx2 ,那么就说 fx在区间d上是增函数 . 区间 d称为 y=
11、fx的单调增区间 .假如对于区间 d上的任意两个自变量的值x1,x2,当 x1<x2 时,都有 fx1 fx2 ,那么就说 fx在这个区间上是减函数 . 区间 d称为 y=fx的单调减区间.留意:函数的单调性是函数的局部性质;( 2) 图象的特点假如函数 y=fx在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=fx在这一区间上具有 严格的 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升 的,减函数的图象从左到右是下降的.3.函数单调区间与单调性的判定方法(a) 定义法: 1任取 x1, x2 d,且 x1 <x2; 2作差 fx 1 fx2 ; 3变形(通常是因式分解和配方); 4定号(
12、即判定差fx1 fx2 的正负); 5下结论(指出函数fx在给定的区间d上的单学习必备欢迎下载调性)(b) 图象法 从图象上看升降 (c) 复合函数的单调性复合函数f gx 的单调性与构成它的函数u=gx ,y=fu的单调性亲密相关,其规律: “同增异减”留意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 , 不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.8函数的奇偶性(整体性质)( 1)偶函数一般地,对于函数fx的定义域内的任意一个x,都有 f x=fx,那么 fx就叫做偶函数( 2)奇函数一般地,对于函数fx的定义域内的任意一个x,都有 f x= fx,那么 fx就叫做奇函数( 3)具有奇偶性的函数的
13、图象的特点偶函数的图象关于y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称利用定义判定函数奇偶性的步骤: 1 第一确定函数的定义域,并判定其是否关于原点对称; 2 确定 f x 与 fx的关系; 3 作出相应结论:如fx = fx或 fx fx = 0,就 fx是偶函数;如f x =fx或 fx fx = 0,就 fx是奇函数留意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 第一看函数的定义域是否关于原点对称,如不对称就函数是非奇非偶函数. 如对称,1 再依据定义判定 ;2 由 f-x±fx=0 或 fx f-x=± 1来判定 ; 3利用定理,或借助函数的图象判定 .9、函数的解
14、析表达式( 1). 函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时, 一是要求出它们之间的对应法就,二是要求出函数的定义域.( 2)求函数的解析式的主要方法有:1) 凑配法学习必备欢迎下载2) 待定系数法3) 换元法4) 消参法10函数最大(小)值(定义见课本p36 页) 1利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 2利用图象求函数的最大(小)值 3利用函数单调性的判定函数的最大(小)值: 假如函数y=fx在区间 a , b 上单调递增,在区间b , c 上单调递减就函数y=fx在 x=b 处有最大值 fb;假如函数y=fx在区间 a , b 上单调递减,在区间b ,
15、c 上单调递增就函数y=fx在 x=b 处有最小值 fb;例题:1. 求以下函数的定义域:2x2 x15 y1 x12yx33x12. 设函数 f x 的定义域为 0,1 ,就函数 fx 2 的定义域为 _3. 如函数f x1 的定义域为 2, 3 ,就函数f 2 x1 的定义域是x2 x14. 函数f xx2 1x2 x x22,如f x3,就 x =5. 求以下函数的值域: yx22x3 xr yx22x3x1,23yx12x4yx 24 x56. 已知函数f x1x24x ,求函数f x,f 2x1的解析式7. 已知函数f x 满意 2f xf x3x4,就f x =;8. 设fx是r
16、上的奇函数,且当x0, 时 ,f xx13 x , 就当x,0 时f x =f x在 r上的解析式为学习必备欢迎下载9. 求以下函数的单调区间:yx22x3yx22x32yx6 x110. 判定函数 y11. 设函数x31x 21的单调性并证明你的结论判定它的奇偶性并且求证:12f x1xf xf x(数学 1 必修)第一章(上)集合 基础训练 a 组一、挑选题1以下各项中,不行以组成集合的是()a全部的正数b等于 2 的数c接近于 0 的数d 不等于 0 的偶数2以下四个集合中,是空集的是()a x | x33b 22x, y | y2x, x, yr2c x | x0d x | xx10,
17、 xr3以下表示图形中的阴影部分的是()a ac bc abb ab ac c ab bc d ab cc4下面有四个命题:( 1)集合 n 中最小的数是1;( 2)如a 不属于 n ,就 a 属于 n ;( 3)如 an ,bn , 就 ab 的最小值为2 ;( 4) x212 x 的解可表示为1,1 ;其中正确命题的个数为()a 0 个b 1个c 2 个d 3 个5如集合ma,b, c中的元素是abc 的三边长,就 abc 肯定不是()a锐角三角形b直角三角形 c钝角三角形d等腰三角形6如全集 u0,1,2,3且cu a2 ,就集合a 的真子集共有()a 3 个b 5 个c 7 个d 8
18、个二、填空题学习必备欢迎下载1用符号“”或“”填空( 1) 0 n ,5 n ,16 nr( 2)1 q , q,e c q ( e 是个无理数)2( 3)2323x | xa6b, aq, bq2.如集合ax | x6, xn, b x | x是非质数 , cab ,就 c 的非空子集的个数为;3如集合ax | 3x7, bx | 2x10,就 ab 4设集合a x3x2 , b x 2k1x2k1, 且 ab ,就实数 k 的取值范畴是;5已知ay yx22 x1 , by y2 x1,就 ab ;三、解答题1已知集合axn |86xn,试用列举法表示集合a ;2已知 a x2x5 , b
19、 x m1x2m1 , ba ,求 m 的取值范畴;3已知集合aa 2 , a1,3 , ba3,2 a1, a21 ,如 ab3,求实数 a 的值;4设全集ur,mm | 方程 mx2x10有实数根,nn | 方程 x2xn0有实数根, 求 cu mn .(数学 1 必修)第一章(上)集合 综合训练 b 组一、挑选题1以下命题正确的有()( 1)很小的实数可以构成集合;( 2)集合y | yx21与集合x, y | yx 21是同一个集合;( 3) 1, 3 , 6 ,1 ,0.5242这些数组成的集合有5个元素;( 4)集合x, y| xy0, x, yr 是指其次和第四象限内的点集;学习
20、必备欢迎下载a 0 个b 1个c 2 个d 3 个2如集合a1,1 , b x | mx1 ,且 aba ,就 m 的值为()a 1b1c 1或1d 1或1或 03如集合 m x, y xy0 , n x, y x2y20, xr,y r,就有()a mnmbmnncmnmd mnxy14方程组x2y 2的解集是()9a5,4b 5,4c5,4d5, 4;5以下式子中,正确选项()a rrb zx | x0, xzc空集是任何集合的真子集d 6以下表述中错误选项()a 如 ab, 就abab如 abb,就 abc aba abd cuabcu acu b二、填空题1用适当的符号填空( 1)3x
21、 | x2 , 1,2 x, y| yx1( 2)25x | x23,( 3)x | 1xx, xrx | x3x02设 ur, ax | axb ,cu ax | x4或x3就 a _, b ;3某班有同学55 人,其中体育爱好者43 人,音乐爱好者34人,仍有 4 人既不爱好体育也不爱好音乐,就该班既爱好体育又爱好音乐的人数为人;4如 a1,4, x, b21, x且 abb ,就 x;学习必备欢迎下载5已知集合a x | ax 23x20 至多有一个元素,就a 的取值范畴;如至少有一个元素,就a 的取值范畴;三、解答题1设yx2axb, ax |yxa, ma,b, 求m2设 a x x
22、24x0, b x x22a1xa 210 , 其中 xr ,假如 abb ,求实数 a 的取值范畴;3集合ax | x2axa 2190, bx | x25 x60,cx | x22 x80满意 ab, , ac, 求实数 a 的值;4 设 ur ,集合ax | x23 x20, bx | x2m1xm0;如 cu ab,求 m 的值;(数学 1 必修)第一章(上)集合 提高训练 c组一、挑选题1如集合x x | x1 ,以下关系式中成立的为()a 0xb 0xcxd 0x2 50 名同学参与跳远和铅球测验,跳远和铅球测验成果分别为及格40 人和 31人,2 项测验成果均不及格的有4 人,
23、2 项测验成果都及格的人数是()a 35b 25c 28d 153已知集合ax | x2mx10 , 如ar,就实数 m 的取值范畴是()am4b m4c0m4d 0m44以下说法中,正确选项()a 任何一个集合必有两个子集;b 如 ab, 就 a,b 中至少有一个为c 任何集合必有一个真子集;d 如 s 为全集,且abs, 就a bs,5如 u 为全集,下面三个命题中真命题的个数是()学习必备欢迎下载( 1)如 ab, 就 cu acu bu( 2)如 abu , 就cu acu b( 3)如 ab,就aba 0 个b 1个c 2 个d 3 个6设集合 m x | xk1 , k24z ,
24、n x | xk1 , k42z ,就()a mnb mn22c nmd mn7设集合a x | xx0, b x | xx0 ,就集合ab()a 0b0c d1,0,1二、填空题1已知 my | yx24 x3, xr , ny | yx 22 x8, xr就 mn;2用列举法表示集合:m m|10m1z, mz =;3如ix | x1, xz,就ci n =;4设集合a1,2, b1,2,3, c2,3,4就(ab) c;y25设全集 ux, yx, yr, 集合 m x, y1, n x, y yx4,x2那么 cu mcu n 等于 ;三、解答题1如 aa,b , bx | xa ,
25、ma ,求cb m .2已知集合ax |2xa,b y | y2x3, xa ,c z | zx2 , xa ,且 cb , 求 a 的取值范畴;3全集 s1,3, x33x22x, a1, 2 x1,假如c s a0 , 就这样的实数 x 是否存在?如存在,求出x ;如不存在,请说明理由;4设集合a1,2,3,.,10, 求集合 a 的全部非空子集元素和的和;学习必备欢迎下载(数学 1 必修)第一章(中)函数及其表示 基础训练 a 组一、挑选题1判定以下各组中的两个函数是同一函数的为() y1x3 x5 , yx5 ;2 y1x3x1x1 , y2 x1 x1 ; f xx , g xx 2
26、 ;2 f x3 x4x3 , f xx 3 x1 ; f 1 x2x5,f 2 x2x5 ;a 、b、c d、2函数yf x 的图象与直线x1 的公共点数目是()a 1b 0c 0 或 1d 1或 23已知集合a1,2,3, k, b4,7, a 4 , a 23a,且an * , xa, yb使 b 中元素 y3x1 和 a 中的元素x 对应,就a, k 的值分别为()a 2,3b 3,4c 3,5d 2,5x2 x14已知f xx2 1x2 x x22) ,如f x3 ,就 x 的值是()a 1b 1或 32c 1, 32或3d35为了得到函数yf 2 x 的图象,可以把函数yf 12x
27、 的图象适当平移,这个平移是()a 沿 x 轴向右平移 1个单位b沿 x 轴向右平移12c 沿 x 轴向左平移 1个单位d 沿 x 轴向左平移12个单位个单位6设f xx2,xf f x106, x就10f 5 的值为()a 10b 11c 12d 13二、填空题学习必备欢迎下载1设函数f x1 x1x210,如faa. 就实数 a 的取值范畴是; x0.xx22函数 y的定义域;x243如二次函数yax2bxc 的图象与x 轴交于a2,0,b4,0,且函数的最大值为9,就这个二次函数的表达式是;4函数 y x10的定义域 是 ;xx5函数f xx2x1的最小值是 ;三、解答题1求函数f x3
28、 x1x1的定义域;2求函数yx 2x1 的值域;23 x , x 是关于 x 的一元二次方程x22m1xm10 的两个实根,又yx 2x,1212求 yf m 的解析式及此函数的定义域;4已知函数f xax22ax3ba0 在 1,3 有最大值 5 和最小值 2 ,求 a 、b 的值;(数学 1 必修)第一章(中)函数及其表示综合训练 b 组一、挑选题1设函数f x2 x3, g x2f x ,就g x 的表达式是()a 2x1c 2x3b 2x1d 2x72函数f xcx2 x3, x3 满意2f f xx, 就常数 c 等于()a 3b3c 3或3d 5或31x 213已知g x12 x
29、,f g x2 xx0) ,那么f 等于()2a 15b 1学习必备欢迎下载c 3d 304已知函数yf x1 定义域是 2, 3 ,就 yf 2 x1 的定义域是()a 0, 5 2b. 1, 4c. 5,5d. 3, 75函数 y2x24x 的值域是()a 2,2b 1,2c 0,2d 2,26已知f 1x1x221x,就1 xf x的解析式为()xa22 xb21x1x2 xxc2d 21x1x二、填空题3 x24 x01如函数f x x0 0 x0,就 f f 0 =2如函数f 2 x1x 22x ,就f 3 =.3函数f x21x22 x的值域是;34已知f x1, x1, x0,就
30、不等式xx02f x25 的解集是;5设函数yax2 a1 ,当1x1时, y 的值有正有负, 就实数 a 的范畴;三、解答题1设,是方程4 x24mxm2 0, xr 的两实根 , 当 m 为何值时 ,22 有最小值 .求出这个最小值.2求以下函数的定义域x211x2( 1) yx83x( 2) yx1学习必备欢迎下载( 3) y11111xx3求以下函数的值域( 1) y3x4x( 2) y522 x4 x3( 3) y12 xx4作出函数yx 26 x7, x3,6的图象;函数及其表示 提高训练 c组一、挑选题1如集合sy | y3x2, xr , ty |yx21, xr ,就 st
31、是a sb.tc .d. 有限集2已知函数yf x 的图象关于直线x1对称,且当x0, 时,有 f x11 , 就当 x x1,2 时,1f x的解析式为()1abxx2xcdx2x23函数 yx 的图象是()x4如函数yx23 x4 的定义域为 0,m ,值域为 25 , 4 ,就 m 的取值范畴是 ()4a 0,4b 3 , 4 2c 3 ,32d 3 ,)25如函数f xx2 ,就对任意实数x , x ,以下不等式总成立的是()x1x2f x1 f x2 12x1x2f x1 f x2 a f 22b f 22学习必备欢迎下载c f x1x2 2f x1 2f x2 d f x1x2 2
32、f x1 2f x2 6函数f x2 xx2 0x3的值域是()x26x2x 0a rb9,c 8,1d9,1二、填空题1函数f xa22 x2 a2 x4 的定义域为r ,值域为,0,就满意条件的实数a 组成的集合是;22设函数fx 的定义域为 0,1 ,就函数f x2 的定义域为 ;3当 x 时,函数f x xa1 xa2 2213. xan 取得最小值;4二次函数的图象经过三点a, b 1,3, c 2,3 24,就这个二次函数的解析式为;5已知函数f xx21 x2 xx0,如 f0 x10 , 就 x;三、解答题1求函数yx12x的值域;2利用判别式方法求函数2 x 2yx 22x3
33、x1的值域;3已知a ,b 为常数,如f xx24 x3, faxbx210x24,就求 5ab 的值;4对于任意实数x ,函数f x5a x26xa5 恒为正值,求a 的取值范畴;(数学 1 必修)第一章(下)函数的基本性质 基础训练 a 组一、挑选题1已知函数f x m1 x2m2 xm27 m12为偶函数,就 m 的值是()a. 1b.2c.3d.42如偶函数f x 在,1 上是增函数,就以下关系式中成立的是()学习必备欢迎下载a f 3 2f 13f 2b f 1f 2f 23c f 2f 13f 2d f 2f 2f 13假如奇函数f x 在区间 3,7上是增函数且最大值为5,那么
34、f x在区间7,3上是()a增函数且最小值是5b增函数且最大值是5c减函数且最大值是5d减函数且最小值是54设f x 是定义在r 上的一个函数,就函数f xf xf x在 r 上肯定是()a奇函数b偶函数c既是奇函数又是偶函数d非奇非偶函数; 5以下函数中,在区间0,1 上是增函数的是()a yx1c yxb y3xd yx 246函数f xx x1x1 是()a是奇函数又是减函数 b是奇函数但不是减函数c是减函数但不是奇函数d不是奇函数也不是减函数二、填空题1设奇函数f x的定义域为5,5 ,如当 x0,5 时,f x的图象如右图 ,就不等式f x0 的解是3已知 x0,1,就函数yx21x
35、 的值域是.4如函数f xk2 x2k1x3 是偶函数,就f x 的递减区间是.5以下四个命题( 1) f xx21x有意义 ;( 2)函数是其定义域到值域的映射;2函数 y2 xx1 的值域是 ;( 3)函数 y2 x xn 的图象是始终线;(4)函数 yx2 , xx2 , x0的图象是抛物线,0学习必备欢迎下载其中正确的命题个数是 ;三、解答题1判定一次函数y单调性;kxb, 反比例函数yk,二次函数yxax 2bxc 的2已知函数f x的定义域为1,1 ,且同时满意以下条件:(1)f x是奇函数;( 2)f x在定义域上单调递减;(3)f 1af 1a 2 0, 求 a 的取值范畴;23利用函数的单调性求函数yx12x的值域;4已知函数f xx2ax2, x5,5 . 当 a1时,求函数的最大值和最小值; 求实数 a 的取值范畴,使y f x在区间5,5上是单调函数;(数学 1 必修) 第一章(下)函数的基本性质 综合训练 b 组一、挑选题1以下判定正确选项()a函数f xx 22 x2x2是奇函数b函数f x1x11x是偶函数xc函数f xxx1是非奇非偶函数d函数f x1 既是奇函数又是偶函数2如函数f x4x2kx8 在 5,8 上是单调函数,就k 的取值范畴是()a,40b
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