数学分析第4章

1、数学分析电子教案数学分析电子教案重庆邮电大学数理学院重庆邮电大学数理学院高等数学教学部高等数学教学部沈世云沈世云第二篇 单变量微积分学第一部分 单变量微分学第四章第四章 导数与微分导数与微分 在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的变化率。如物体的运动速度，电流强度，化学反应变化率。如物体的运动速度，电流强度，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些在数学上都可归结速度及生物繁殖率等，所有这些在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。为函数的变化率问题，即导数。 本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中两个最重要的基

2、本概念两个最重要的基本概念导数与微分。导数与微分。 导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步深化。步深化。第一节第一节 导数的引进与定义导数的引进与定义 导数的引进导数的引进 导数的定义及几何意义导数的定义及几何意义一、导数的引进一、导数的引进1.速度问题速度问题0tt ,0时时刻刻的的瞬瞬时时速速度度求求tt如图如图,0tt 的时刻的时刻取一邻近于取一邻近于, t 运动时间运动时间ts v平均速度平均速度00)()(tttsts ).(20ttg ,0时时当当tt 取极限得取极限得tstvt 00lim)(瞬时速度瞬时速度.0gt , )(tss 设

3、设位位置置函函数数为为2t)(tlim00 gtt以自由落体为例以自由落体为例.f(t),s,0时的运动速度求在物体移动路程一般地tt ttt:t00 )t ( f) tt ( fs00 t)t ( f) tt ( fts00 , tt ,t 00内的平均速度内的平均速度为物体在为物体在 tslim0t .t0时的瞬时速度时的瞬时速度为物体在为物体在类似地2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置播放播放 t0 xxoxy)(xfy cnm如图如图, 如果割线如果割线mn绕点绕点m旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置mt,直线直线mt就称为曲线就称为曲线c在点在点m处的处

4、的切线切线.极限位置即极限位置即. 0, 0 nmtmn).,(),(00yxnyxm设设的斜率为的斜率为割线割线mn00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxmnc沿曲线沿曲线mt切切线线的的斜斜率率为为.)()(limtan000 xxxfxfkxx 2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切

5、线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置二、导数二、导数(derivative)的定义及几何意义的定义及几何意义, )(,)(,)(,)()(lim),(,),()(00000000000 xydxdyxxfxxfxxfxxfxuxxxuxxfyxxx 或或记为记为点的导数点的导数在在且称极限值为且称极限值为点可导点可导在在

6、则称则称存在存在若若且且内有定义内有定义的某个邻域的某个邻域在点在点设函数设函数 1.定义定义.)(00 xxdxdfxf 或或导数也可记为导数也可记为即即xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000其它形式其它形式.)()(lim)(0000hxfhxfxfh .)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx .)0()(lim)0(0 xfxffx 特别地特别地.)(,lim00处不可导处不可导在点在点则称则称不存在不存在若若xxfyxyx .)(,)(,lim000 xfxxfyxyx并记为并记为无穷大无穷大处导数为处导数为在点在点则称则称若若 ) .)(0轴轴处切线垂直

7、于处切线垂直于在点在点即曲线即曲线xxxfy 关于导数的说明：关于导数的说明： 导数概念是概括了各种各样的变化率而得出导数概念是概括了各种各样的变化率而得出的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量所代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画所代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画变化率的本质变化率的本质.,0慢程度慢程度而变化的快而变化的快因变量随自变量的变化因变量随自变量的变化反映了反映了它它处的变化率处的变化率点导数是因变量在点点导数是因变量在点 x平均变化率平均变化率为端点的区间上的为端点的区间上的和和在以在以是是xxxyxy 002) 右导数右导数

8、(right hand derivative)2. 单侧导数单侧导数1) 左导数左导数 (left hand derivative);)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 定理定理. )()()(000 xfxfxf 存在存在.)(,)(内可导内可导在开区间在开区间就称函数就称函数处都可导处都可导内的每点内的每点在开区间在开区间如果函数如果函数ixfixfy .)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfix或或记作记作的导函数的导函数这个函数叫做原

9、来函数这个函数叫做原来函数导数值导数值的一个确定的的一个确定的都对应着都对应着对于任一对于任一 xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或.)()(00 xxxfxf 显然有显然有如果如果)(xf在开区间在开区间 ba,内可导，且内可导，且)(af 及及 )(bf 都存在，就说都存在，就说)(xf在闭区间在闭区间 ba,上可导上可导. 解解xxxxxx2202)(lim)(xxxxx20)(2limxxxx2)2(lim02( ),4.yf xxx例1 求的导数 并求的导数8)4( f例例2 2.0)(处的可导性处的可导性在在讨论函数讨论函数 xxxf

10、解解xy xyo,00)( xxxxxfxxxfxffxx 00lim)0()(lim)0(,1 xxxfxffxx 00lim)0()(lim)0(.1 ),0()0( ff即即.0)(点不可导点不可导在在 xxxf例例3 3.0)(010 )(2处的可导性处的可导性在在讨论讨论，设设 xxfxexxxfx解解xxxfxfxx0lim)0()(lim200 , )0(0 fxexfxfxxx 1lim)0()(lim00, )0(1 f),0()0( ff即即.0)(点不可导点不可导在在 xxf3.可导与连续的关系证证,x)x( f0可导可导在点在点函数函数存在存在)x(fxx)x( f)x

11、( flim000 xx0 .)(0连续连续在点在点函数函数xxf.,)(xf(x)y 00反之未必连续在可导在性质xxf0)x( f)x( f (lim0 xx0 0)xx(lim 0 xx0 )x( f)x( flim0 xx0 #推论：不连续函数一定不可导推论：不连续函数一定不可导.,0)(但不可导处连续在函数xxxf如例如例1 1oxy)(xfy t0 xm1) 几何意义几何意义)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxmxfyxf切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy ).(

12、)(1000 xxxfyy 4、导数的几何意义与物理意义、导数的几何意义与物理意义切线问题切线问题21.yxx例4 求曲线在处的切线方程和法线方程解解由导数的几何意义由导数的几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为1xky 21()xx 12xx 2 . 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为12(1),yx11(1),2yx 210.yx即即230.即yx11,xy 2.物理意义物理意义非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动变速直线运动: :路程对时间的导数为物体的路程对时间的导数为物体的瞬时速度瞬时速度.lim)(0dtdststvt 交流电路交流电路: :电

13、量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度.lim)(0dtdqtqtit 非均匀的物体非均匀的物体: :质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导的导数为物体的线数为物体的线(面面,体体)密度密度.);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限/1 ( )()yf xc cy例为常数 ，求解解x)x( f)xx( flimxylim)x(f0 x0 x xcclim0 x . 0 . 0)c( 即即用定义求函数导数的步骤用定义求函数导数的步骤第二节 简单函数的导数例例2 2.)(sin)(sin,s

14、in)(4 xxxxxf及及求求设函数设函数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 例例3 3.)(的导数的导数为正整数为正整数求函数求函数nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1rxx 例如例如,)( x12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 例例3 幂函数的导数幂函数的导数.)(1xyxy为为任任意意实实数数).()(1

15、nnnxxynn特特别别，).0(1)1();0(21)(2xxxyxxxy时时，当当证证明明0:xxxxxxxxxxyxx1)1 (lim)(lim100 xxxxxxxxxx)1ln()1ln(1)1 (lim10.)1ln()1)1(1ln(1)1 (lim110 xxxxxxxxxxx.)(lim)(lim)0( ,0100 xxxfxxx时时当当., 0)0( , 1公公式式成成立立f., 1)0( , 1)(, 11公公式式成成立立fx.0,)0( , 1不不可可导导函函数数在在xf例例4 4.)1, 0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)

16、(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即特别地特别地.)(xxee 例例5 5.)1, 0(log的导数的导数求函数求函数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa .log1)(logexxaa 即即特别地特别地.1)(lnxx 例例6 6.,)2 ,21(1方程和法线方程方程和法线方程并写出在该点处的切线并写出在该点处的切线斜率斜率处的切线的处的切线的在点在点求等边双曲线求等边双曲线xy 解解由导数的几何意义由导数的几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为21

17、xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即第三节第三节 求导法则求导法则一、导数的四则运算定理定理并且并且可导可导处也处也在点在点分母不为零分母不为零们的和、差、积、商们的和、差、积、商则它则它处可导处可导在点在点如果函数如果函数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu )()(xvxu

18、)( )( xvxuxxvxxvxxuxxuxx)()(lim)()(lim00 xxvxuxxvxxux)()()()(lim0证明证明1):例例1求求 的导数的导数xxya3log )1, 0( aa解解:xaxxxya213ln1)3()(log xax23ln1 xxvxxuxxvxxuxvxux)()()()(lim )()(0证明证明2):xxvxuxvxxux)()()()(lim0 xxvxxvxxuxx)()(lim)(lim00 xxuxxuxvx)()(lim)(0)( )()()( xvxuxvxu例例2求求 的导数的导数 .xyxcos3 解解:)sin(3cos3l

19、n3)(cos3cos)3 (xxxxyxxxx)sincos(ln3xxxx 例例3求求 的导数的导数xxysin 解解:xxxxxxxxysin1cos1)1(sin1)(sin2 .sincos2xxxx 证证(3)(3),0)( ,)()()( xvxvxuxf设设hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxu

20、h 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(处可导处可导在在xxf推论推论; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfcxcf ; )()()()()()()()( )()3(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf例例4 例题分析例题分析1.1.sin223的导数的导数求求xxxxy 解解23xy x4 2.2.cos的导数的导数求求xxy .cos x x21 解解)(coscos)( xxxxyxxxxsin2cos 3.3.sin的导数的导数求求xeyx 解解)(sinsin)( xexeyxxxexexxcoss

21、in 4.xeyx 15.1xyx 例例5 5.sec的导数的导数求求xy 解解 yxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得)(sec x)cos1( x)(sec x例例6 6.tan的的导导数数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得例例7 7. )(,010sin)(xfxexxxfx 求求设设解解)(sin)( xxf,0时时当

22、当 x,0时时当当 x)1()( xexf0)0(,0 fx时时当当xfxffx)0()(lim)0(0 ,1 xfxffx)0()(lim)0(0 ,1 ,1)0( f.00cos)( xexxxfxxxx0sinlim0 xexx01lim0 ,cosx ,xe 注意注意: ;)()( )()(. 1xvxuxvxu .)()()()(xvxuxvxu 2. 分段函数分段函数求导时求导时, 分段点分段点处导数用处导数用定义定义先先求左右导数求左右导数.二、反函数的导数二、反函数的导数定理定理且有且有内也可导内也可导区间区间在对应在对应那末它的反函数那末它的反函数导且导且内单调、可内单调、可

23、在某区间在某区间如果函数如果函数,)(,0)()(xyixfyyiyx 即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数. .)(1)(yxf 1、反函数的导数、反函数的导数证证,xix 任取任取xx 以以增增量量给给的单调性可知的单调性可知由由)(xfy , 0 y于是有于是有,1yxxy ,)(连续连续xf),0(0 xy0)( y 又知又知xyxfx 0lim)(yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即), 0(xixxx 2.2.反三角函数的导数反三角函数的导数.arcsin的导数的导数求函数求函数xy 解解,)2,2(sin内单调、可导内单调、可

24、导在在 yiyx, 0cos)(sin yy且且内有内有在在)1 , 1( xi)(arcsin xycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx .11)cot(2xx arc)(sin1 y)(arcsin x例例8 8例例9 9.log的导数的导数求函数求函数xya , 0ln)( aaayy且且,), 0(内有内有在在 xi)(log xaaayln1 .ln1ax 解解,),(内单调、可导内单调、可导在在 yyiax特别地特别地.1)(lnxx )(1 ya)(log xa3.3.对数函数的导数对数函数的导数4.4.

25、基本导数公式基本导数公式22211)(arctan11)(arcsinln1)(logln)(tansec)(secsec)(tancos)(sin0)(xxxxaxxaaaxxxxxxxcaxx (常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式)222111)cotarc(11)(arccos1)(ln)(cotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(xxxxxxeexxxxxxxxxxx 求导法则求导法则设设)(),(xvvxuu 可导，则可导，则 （1）vuvu )(, （2）uccu )( c是常数是常数), （3）vuvuuv )(, （4）)0(2 vvvuv

26、uvu. (1) 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则(2) 反函数的求导法则反函数的求导法则.)(1)(),()(yxfxfyyx 则有则有的反函数为的反函数为如果函数如果函数例例10.,lntan1sin)(2xxxxexfx解：解：.ln2)tan1 (secsintan1)cos(sin)(22xxxxxexxxexfxx.2ln2)1 (1arccos)(2xxxxexxxxgx.lnarccos)(xxxexxxgx第四节 复合函数求导法一一. 复合函数求导链式法则复合函数求导链式法则定理定理且其导数为且其导数为可导可导在点在点则复合函数则复合函数可导可导在

27、点在点而而可导可导在点在点如果函数如果函数,)(,)()(,)(0000 xxfyxuufyxxu 即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则) ).()(dd000 xufxyxx .ddddddxuufxy 或或(x)(x)( f(x)f( :写成导函数形式为证证,)(0可可导导在在点点由由uufy )(lim00ufuyu )0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0则则xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000l

28、imlimlim)().()(00 xuf 推广推广),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的导数为的导数为则复合函数则复合函数 (x)(x)( (x)(f(x)(f( :写成导函数形式为例例1 1.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot xcotxcosxsin1y: 或或例例2 2.)1(102的导数的导数求函数求函数 xy解解)1()1(10dd292 xxxyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例3 3.的导数的导数求函数求函数xey 解

29、解)( xeyx.xe 例例4 4.sinh的导数的导数求函数求函数xy 解解 y2xxee .cosh x 同理可得同理可得xxsinh)(cosh xx2cosh1)(tanh )(sinh x 2xxee)(sinh x(与三角函数不同与三角函数不同)例例5 5.arcosh,arsinh的导数的导数求函数求函数xyxy ),1ln(arsinh2xxx ;11)1ln(22xxx 11)1ln(22 xxx).1ln(arcosh2 xxx例例6 6.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx

30、 例例7 7.)2(21ln32的导数的导数求函数求函数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例8. 求解解:,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx例例9. 设),0( aaaxyxaaaxa解解:1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求.yaaxln求导举例求导举例求下列函数的导数求下列函数的导数)12sin(. 1 xy)1lncos(. 22xy xey1sin2. 3 xxy 11. 4xxyln1ln1. 5 )1ln(. 62xxy .,)(. 7)(yee

31、fyxfx 求求设设., )0(. 8sinyxxyx 求求设设半抽象半具体的函数求导半抽象半具体的函数求导1d10(arcsin) ,( ),.dyyff uxx例设可导求解解 )1(arcsinxfy xuf1arcsin)( xxuf1111)(2 2211)(xxxuf)1(arcsin112xfxx 20( )0,(0)3,dlim(sin).dxf xxffxx例11 设在处有连续导数求解解)(sin)(sin)(sindd222 xxfxfx)(sinsin2)(sin2 xxxf)(cossin2)(sin2 xxxxf)(sin22sin2xfxx )(sinddlim20

32、xfxx )(sin22sinlim20 xfxxx )0(f .3 注意注意 ,)()(不同不同与与xfxf )()()(xxfxf d()(sin ) ,( ),.dxyyf efxf ux例12可导求解解 )(sin )( xfefyx)(sin)(sin)()( xxfeefxx)(sincos)(xfxefexx 二二. 对数求导法对数求导法)0)()()( xuxuyxv1)(lnyyy又)(ln)(xuxvyy)()()()(ln)()(dd)(xuxuxvxuxvxuxyxv)(ln)(lnxuxvy , )0)( ,)(, )( xuxvxu可导可导设设等式两边取对数得等式两

33、边取对数得例例1313.),0(sinyxxyx 求求设设解解等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求导得求导得上式两边对上式两边对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 12(1),.xyxy例14 设求解解)1ln(12 xxey. 12)1ln(1)1(22212xxxxx )1ln(12)1ln(12 xxexx观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用对数的性质简然后利用对数的性质简化求导运算。化求导运算。对数求导

34、法对数求导法适用范围适用范围: :.)()(的情形的情形开方和幂指函数开方和幂指函数多个函数相乘、乘方、多个函数相乘、乘方、xvxu例例1515.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设解解等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得求导得上式两边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx例例16 的导数的导数求求)4)(3()2)(1( xxxxy解解这函数的定义域这函数的定义域 1, 32, 4 xxx4 x若若两边取对数得两边取对数得)4ln()3ln()2ln()1ln(

35、21ln xxxxy两边对两边对 x 求导得求导得41312111211 xxxxyy313121112 xxxxyy1 x若若)4)(3()2)(1(xxxxy 两边取对数得两边取对数得)4ln()3ln()2ln()1ln(21lnxxxxy 两边对两边对 x 求导得求导得41312111211xxxxyy 313121112 xxxxyy同理同理32 x若若313121112 xxxxyy例例5dxdyyxxy求求设设 解解两边取对数得两边取对数得yxxylnln 两边对两边对 x 求导得求导得yyxyxyxy 1ln1ln22lnlnxxxyyyxyy 例例6dxdyaxaxaxyna

36、naa求求设设)()()(2121 解解两边取对数得两边取对数得)ln()ln()ln(ln2211nnaxaaxaaxay 两边对两边对 x 求导得求导得nnaxaaxaaxayy 221112211nnaxaaxaaxayy 四、小结四、小结反函数的求导法则反函数的求导法则（注意成立条件）（注意成立条件）;复合函数的求导法则复合函数的求导法则（注意函数的复合过程（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链合理分解正确使用链导法）导法）;已能求导的函数已能求导的函数:可分解成基本初等函数可分解成基本初等函数,或常或常数与基本初等函数的和、差、积、商数与基本初等函数的和、差、积、商.分段函数分段函

37、数求导时求导时, 分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数求.函数的和、差、积、商的求导法函数的和、差、积、商的求导法则则思考题思考题 若若)(uf在在0u不可导，不可导，)(xgu 在在 0 x可可导，且导，且)(00 xgu ，则，则)(xgf在在0 x处（处（ ） （1）必可导；（）必可导；（2）必不可导；（）必不可导；（3）不一定可导；）不一定可导； 第五节第五节 微分及其运算微分及其运算一、微分的定义一、微分的定义二、二、 微分的运算法则微分的运算法则1 .问题的提出实例实例: :正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.20 xa 0 x0 x,00 xx

38、x 变到变到设边长由设边长由,20 xa 正方形面积正方形面积2020)(xxxa .)(220 xxx )1()2(;,的主要部分的主要部分且为且为的线性函数的线性函数ax .,0很小时可忽略很小时可忽略当当的高阶无穷小的高阶无穷小时时当当xxx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0一、微分的定义一、微分的定义再例如再例如,.,03yxxxy 求函数的改变量求函数的改变量时时为为处的改变量处的改变量在点在点设函数设函数3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很小时很小时当当 x .320 xxy ),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小

39、是是既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题: :这个线性函数这个线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分)是否是否所有函数的改变量都有所有函数的改变量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?2、微分的定义、微分的定义定义定义.d,dd,)(,)(, )0()(, )()()()(,)(000000000 xayfyxxxfyxaxxfyxxxoxaxoxaxfxxfyxxxxfyxxxxxx 即即或或记作记作的微分的微分相应于自变量增量相应于自变量增量在点在点为函数为函数并且称并且称可微可微在点在点则称函数则称函数时时当当高阶的无穷小量高阶的无穷小量是比是比无关的常数无关

40、的常数是与是与其中其中成立成立如果如果在这区间内在这区间内及及在某区间内有定义在某区间内有定义设函数设函数由定义知由定义知: :;d)1(的线性函数的线性函数是自变量的改变量是自变量的改变量xy ;)(,) 3(0有关和但与无关的常数是与xxfxa;)(d)2(高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比 xxoyy ).0( x.d的线性主部的线性主部叫做函数增量叫做函数增量微分微分yy ( (微分的实质微分的实质) )3、可微的条件).(,)()(000 xfaxxfxxf 且且处可导处可导在点在点数数可微的充要条件是函可微的充要条件是函在点在点函数函数定理定理证证(1) 必要性必要性,)(0可可微微

41、在在点点xxf),( xoxay ,)(xxoaxy xxoaxyxx )(limlim00则则.a ).(,)(00 xfaxxf 且且可导可导在点在点即函数即函数(2) 充分性充分性)()(0 xxxfy 从而从而,)(0 xfxy即即,)(0可可导导在在点点函函数数xxf),(lim00 xfxyx ,0lim0 x其中其中),()(0 xoxxf .)(,)(00axfxxf 且且可微可微在点在点函数函数).(.0 xfa 可微可微可导可导.d,d,xxxxx 即即记作记作称为自变量的微分称为自变量的微分的增量的增量通常把自变量通常把自变量.d)(dxxfy ).(ddxfxy .dd

42、导数也叫“微商”导数也叫“微商”该函数的导数该函数的导数之商等于之商等于与自变量的微分与自变量的微分即函数的微分即函数的微分xy.)(d),(dd,)(xxfyxfyxxfy 即即或或记作记作微分微分称为函数的称为函数的的微分的微分在任意点在任意点函数函数.)(,)(,)(内的可微函数内的可微函数是是且称且称内可微内可微区间区间在在就称就称内处处可微内处处可微在区间在区间如果函数如果函数ixfixfixfy 4. 微分的几何意义)(xfy 0 xmntdyy)( xo ）xyo x 几何意义几何意义:(:(如图如图) ).,对应的增量对应的增量就是切线纵坐标就是切线纵坐标坐标增量时坐标增量时是

43、曲线的纵是曲线的纵当当dyy xx0 p .,mnmpmx可近似代替曲线段可近似代替曲线段切线段切线段的附近的附近在点在点很小时很小时当当 二、微分的运算法则二、微分的运算法则1、微分运算法则、微分运算法则 ；)()()()(xdvxduxvxud );()()()()()(xdvxuxduxvxvxud ;)()()()()()()(2xvxdvxuxduxvxvxud ).(,)()()(xgudxxgufxgfd 其其中中xxfyd)(d 求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.2.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式xxxxxxxxxx

44、xxxxxxxxxxxxxcdcotcsc)(cscddtansec)(secddcsc)(cotddsec)(tanddsin)(cosddcos)(sindd)( d0)( d221 xxxxxxxxxxxxxxxxaxxxeexaaaaxxxxd11)arccot(dd11)(arctandd11)(arccosdd11)(arcsindd1)(lnddln1)(logdd)(ddln)(d2222 3、函数微分的计算方法、函数微分的计算方法（1） 利用微分运算法则利用微分运算法则例例1 求求 的微分。的微分。22cosxxy解解)(cos)()cos(2222xdxdxxddydxxx

45、x)sin22(2（2） 利用函数的导数求微分，即利用函数的导数求微分，即 ( )dyfx dx例例 求求 的微分。的微分。xy2tanln解解 因为因为 所以所以xxxy4sin422sec2tan12dxxdy4sin4例例2 2解解.d),ln(2yexyx求求设设 ,2122xxexxey .d21d22xexxeyxx 例例3 3解解.d,cos31yxeyx求求设设 )(cosd)(dcosd3131xeexyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx xxexexyxxd)sin(d)3(cosd3131 .d)sincos3(31xxxex 4、一阶微分形式的不变性;

46、d)(d,)1(uufyu 是自变量时是自变量时若若则则微函数微函数的可的可即另一变量即另一变量是中间变量时是中间变量时若若),(,)2(xuxu ),()(ufufy 有导数有导数设函数设函数xxufyd)()(d ,dd)(uxx .d)(duufy 结论结论：的微分形式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(,ufyu 一阶微分形式的不变性一阶微分形式的不变性uufyd)(d 利用一阶微分形式的不变性利用一阶微分形式的不变性例例4 求求 的微分。的微分。)sin(baxey 解解 由一阶微分形式不变性，可得由一阶微分形式不变性，可得)(sin()si

47、n(baxdedybax )()cos()sin(baxdbaxebax dxbaxaebax)cos()sin( 例例6 6解解.d,sinybxeyax求求设设 )(dcossin)(ddbxbxebxaxeyaxax xbbxebxxaeaxaxdcossind)( .d)cossin(xbxbbxaeax 例例5 5解解.d),12sin(yxy求求设设 . 12,sin xuuyuuydcosd )12(d)12cos( xxxxd2)12cos( .d)12cos(2xx 杂例杂例例例1.的的微微分分求求函函数数xxy 例例2.02的微分的微分求隐函数求隐函数 xexyy例例3.)

48、(arcsin,)(的的微微分分求求函函数数可可微微设设xfyufy 1)、计算函数增量的近似值、计算函数增量的近似值, 0)()(00很小时很小时且且处的导数处的导数在点在点若若xxfxxfy 例例1 1?,05. 0,10问问面面积积增增大大了了多多少少厘厘米米半半径径伸伸长长了了厘厘米米的的金金属属圆圆片片加加热热后后半半径径解解,2ra 设设.05. 0,10厘米厘米厘米厘米 rrrrda 205. 0102 ).(2厘米厘米 .)(0 xxf 00 xxxxdyy 5. 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用1)、计算函数增量的近似值、计算函数增量的近似值, 0)()(00很小

49、时很小时且且处的导数处的导数在点在点若若xxfxxfy 例例1 1?,05. 0,10问问面面积积增增大大了了多多少少厘厘米米半半径径伸伸长长了了厘厘米米的的金金属属圆圆片片加加热热后后半半径径解解,2ra 设设.05. 0,10厘米厘米厘米厘米 rrrrda 205. 0102 ).(2厘米厘米 .)(0 xxf 00 xxxxdyy 2、计算函数的近似值、计算函数的近似值;)(. 10附近的近似值附近的近似值在点在点求求xxxf )()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小时很小时x 例例1 1.0360coso的的近近似似值值计计算算 解

50、解,cos)(xxf 设设)( ,sin)(为弧度为弧度xxxf ,360,30 xx.23)3(,21)3( ff)3603cos(0360coso 3603sin3cos 3602321 .4924. 0 2).( )0;f xx 求在点附近的近似值.)0()0()(xffxf ,)()()(000 xxfxfxxf ., 00 xxx 令令常用近似公式常用近似公式)(很小时很小时x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn 为弧度为弧度为弧度为弧度证明证明,1)()1(nxxf 设设,)1(1)(11 nxnxf.1)0(

51、, 1)0(nff xffxf)0()0()( .1nx 第六节第六节 隐函数及参数方程所隐函数及参数方程所表示函数的求导法表示函数的求导法 一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、参数方程所的表示的函数的求导法二、参数方程所的表示的函数的求导法三、相关变化率三、相关变化率 一、隐函数的导数一、隐函数的导数定义定义: :0),( yxf)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则: :.0),(函函数数称称为为隐隐函函数数的的关关于于所所确确定定的的由由方方程程xyyxf 用复合函数求导法则直接对方程两

52、边对用复合函数求导法则直接对方程两边对x求求导导,y看成看成x的函数的函数.例例1 1.dd,dd00 xyxxyxyyeexy的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程解解,求求导导方方程程两两边边对对 x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 例例2 2.,)23,23(,333线通过原点线通过原点在该点的法在该点的法并证明曲线并证明曲线的切线方程的切线方程点点上上求过求过的方程为的方程为设曲线设曲线ccxyyxc 解解,求导求导方程两边对方程两边对 xyxyyyx 333

53、322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切线方程为所求切线方程为)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法线方程为法线方程为,xy 即即显然通过原点显然通过原点.例例3 3.)1 , 0(,144处的值处的值在点在点求求设设yyxyx 解解求导得求导得方程两边对方程两边对x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy二、参数方程所表示的函数的求导法二、参数方程所表示的函数的求导法.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx 例如例如 ,22t

54、ytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?t, )()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy ,0)(,)(, )( ttytx 且且都可导都可导再设函数再设函数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得xttyxydddddd txtydd1dd )()(tt )()(ddddddtttxtyxy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx 例例4 4解解.sincos33表示的函数的一阶导数表示的函数的一阶导数求由方程求由方程 taytaxtx

55、tyxydddddd )sin(cos3cossin322ttatta ttan 例例5 5解解txtyxydddddd ttcos1sin taatacossin 2cos12sindd2 txy. 1 .方方程程处的切线处的切线在在求摆线求摆线2)cos1()sin( ttayttax.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12( axay)22( axy即即例例6yxdxdytytx证明设11证证dtdxdtdydxdy tt 121121tt 11yx 三、相关变化率三、相关变化率)(, )(tyytxx为两可导函数yx ,之间有联系tytxdd,dd之间也

56、有联系称为相关变化率相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率例例7. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为,minm140当气球高度为 500 m 时, 观察员视线的仰角增加率是多少? 500h解解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,则tan500h两边对 t 求导2sectddthdd5001已知,minm140ddth h = 500m 时,1tan22tan1sec,2sec2td 0)minrad/(第七节第七节 不可导的函数举例不可导的函数举例1.导数的定义导

57、数的定义2.左、右导数的定义及与导数的关系左、右导数的定义及与导数的关系1.导数定义导数定义, )(,)(,)(,)()(lim),(,),()(00000000000 xydxdyxxfxxfxxfxxfxuxxxuxxfyxxx或记为点的导数在且称极限值为点可导在则称存在若且内有定义的某个邻域在点设函数.)(,lim00处处不不可可导导在在点点则则称称不不存存在在若若xxfyxyx 2) 右导数右导数 (right hand derivative)2. 单侧导数单侧导数1) 左导数左导数 (left hand derivative);)()(lim)()(lim)(0000000 xxfx

58、xfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 定理定理. )()()(000 xfxfxf 存在存在连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例. )()(,)(. 100 xfxfxf 但但连续连续函数函数xy2xy 0 xy 例例1,0,0,)(2 xxxxxf.0处不可导处不可导在在 x0)(lim)(lim00 xfxfxx.0)(处连续处连续在在 xxf解解xxxfxfxx0lim)0()(lim200 , )0(0 fxxxfxfxx0lim)0()(lim00, ) 0 (1f),0()0( ff即即.0)(点不

59、可导点不可导在在 xxf31xyxy010000002.( ),()()limlim,( ).xxf xxf xxf xyxxf xx 设设函函数数在在点点连连续续 但但函函数数在在点点不不可可导导例如例如, 1)(3 xxf.1处不可导处不可导在在 x.1)(处连续在 xxf例例2 2 证明证明证明证明3/20300)(1lim0lim)1()1(limxxxxfxfxxx.1)(点不可导在xxf, 1)(3 xxf.1处不可导处不可导在在 x.,)()(. 30点不可导点不可导则则指摆动不定指摆动不定不存在不存在在连续点的左右导数都在连续点的左右导数都函数函数xxf,0, 00,1sin)

60、( xxxxxf例如例如,.0处不可导处不可导在在 x011/1/xy例例3 3.0,0, 00,1sin)(处的连续性与可导性处的连续性与可导性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解,1sin是有界函数是有界函数x01sinlim0 xxx.0)(处连续处连续在在 xxf处有处有但在但在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之间振荡而极限不存在之间振荡而极限不存在和和在在时时当当 xyx.0)(处不可导处不可导在在 xxf0)(lim)0(0 xffx例例4 4).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求设设解解, 1)( xf,0时时当当 x,0时时当当 xx