2019年中考数学总复习 第五章 圆 5.1 圆的性质及与圆有关的位置关系（试卷部分）优质课件

1、1第五章第五章 圆圆5.15.1圆的性质及圆有关的位置计算圆的性质及圆有关的位置计算中考数学中考数学 (浙江专用浙江专用)21.(2018衢州,10,3分)如图,AC是O的直径,弦BDAO于E,连接BC,过点O作OFBC于F,若BD=8 cm,AE=2 cm,则OF的长度是()A.3 cmB. cmC. cmD. cm62.55考点一考点一 圆的有关概念及性质圆的有关概念及性质A A组组 2014-2018 2014-2018年浙江中考题组年浙江中考题组五年中考3答案答案 DACBD,BE=DE=BD=4 cm.设O的半径为r cm.连接OB,则在RtBOE中,r2=42+(r-2)2,解得r

2、=5.CE=8 cm.BC=4cm.又OFBC,CF=BC=2 cm,OC=5 cm,OF= cm.故选D. 125125542.(2017金华,7,4分)如图,在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片,则弦AB的长为()A.10 cmB.16 cmC.24 cmD.26 cm5答案答案 C如图,作OCAB交AB于D,交圆于C,OC=13 cm,CD=8 cm,OD=5 cm,在RtBOD中,BD=12(cm),AB=2BD=24(cm).22OBOD22135思路分析思路分析 作OCAB交AB于D,交圆于点C,根据垂径定理和勾股定理求AB的长.63.(2016绍兴,6,4

3、分)如图,BD是O的直径,点A,C在O上,=,AOB=60,则BDC的度数是()A.60 B.45 C.35 D.30ABBC答案答案 D连接OC, =,AOB=COB=60,根据圆周角定理得BDC=COB=30,故选D.ABBC1274.(2016杭州,8,3分)如图,已知AC是O的直径,点B在圆周上(不与A,C重合),点D在AC的延长线上,连接BD交O于点E.若AOB=3ADB,则()A.DE=EB B.DE=EB C.DE=DO D.DE=OB23答案答案 D连接OE,AOB=ADB+B=3ADB,B=2ADB,OE=OB,OEB=B=2ADB=ADB+EOC,ADB=EOC,DE=EO

4、,DE=OB.故选D.思路分析思路分析 利用圆的性质构建等腰三角形,再利用三角形外角知识结合题干解决问题.方法点拨方法点拨 在解决与圆相关的问题时,应把握好圆的性质,要有找出隐藏条件,添加适当辅助线的能力.85.(2016金华,9,3分)足球射门,不考虑其他因素,仅考虑射点到球门AB的张角大小时,张角越大,射门越好.如图的正方形网格中,点A,B,C,D,E均在格点上,球员带球沿CD方向进攻,最好的射点在()A.点CB.点D或点EC.线段DE(异于端点)上一点D.线段CD(异于端点)上一点9答案答案 C如图,过A、B、E三点作圆O,易得D在圆上,C在圆外.根据圆周角定理可得:AEB=ADB=AM

5、B(M为AC与O的交点),又AMBACB,AEB=ADBACB.设N、F分别为线段CD、ED上异于端点的点,则点N在O外,点F在O内,易知ANBADBAFB,由于张角越大,射门越好.故选C. 106.(2016丽水,10,3分)如图,已知O是等腰RtABC的外接圆,点D是上一点,BD交AC于点E,若BC=4,AD=,则AE的长是()A.3 B.2 C.1 D.1.2AC45答案答案 CAB是O的直径,D=C=90,在等腰RtABC中,BC=4,AC=4,AB=4.在RtABD中,AD=,AB=4,BD=.D=C,AED=BEC,ADEBCE.=.又AD BC= 4=1 5,设AE=x,则BE=

6、5x,则DE=-5x,CE=28-25x,AC=4,x+28-25x=4,解得x=1,故选C.245222ABAD285AEBEADBCDECE45285评析评析 本题考查了圆的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定及应用等知识点,题目考查的知识点较多,是一道综合性试题,题目难易适中.117.(2015衢州,7,3分)数学课上,老师让学生尺规作图画RtABC,使其斜边AB=c,一条直角边BC=a.小明的作法如图所示,你认为这种作法中判定ACB是直角的依据是()A.勾股定理B.直径所对的圆周角是直角C.勾股定理的逆定理D.90的圆周角所对的弦是直径答案答案 B由作图痕迹可以看出O为AB的中

7、点,以O为圆心,AB为直径作圆,然后以B为圆心,BC=a为半径画弧与圆O交于一点C,故ACB是直径所对的圆周角,所以这种作法中判断ACB是直角的依据是:直径所对的圆周角是直角.故选B.128.(2015宁波,8,4分)如图,O为ABC的外接圆,A=72,则BCO的度数为()A.15 B.18C.20 D.28答案答案 B 如图,连接OB,A和BOC是同弧所对的圆周角和圆心角,BOC=2A.A=72,BOC=144.OB=OC,CBO=BCO.BCO=18.故选B.1801442139.(2015金华,10,3分)如图,正方形ABCD和正三角形AEF都内接于O,EF与BC,CD分别相交于点G,H

8、,则的值是()A. B.C. D.2EFGH622314答案答案 C如图,连接AC,EC,AC与EF交于点M.则根据对称性知,AC经过圆心O,AC垂直平分EF,EAC=FAC=EAF=30.不妨设正方形ABCD的边长为2,则AC=2.AC是O的直径,AEC=90.在RtAEC中,AE=ACcosEAC=2=,CE=ACsinEAC=2=.CEM=FEC=FAC=30,1222326212215在RtMCE中,CM=CEsinCEM=.易知GCH是等腰直角三角形,且M为GH的中点,GH=2CM=.又AEF是等边三角形,EF=AE=.=.故选C.2122226EFGH623解题关键解题关键 连接A

9、C,EC构造出直角三角形是解题的关键.1610.(2018杭州,14,4分)如图,AB是O的直径,点C是半径OA的中点,过点C作DEAB,交O于D,E两点,过点D作直径DF,连接AF,则DFA= . 答案答案30解析解析点C是半径OA的中点,OC=OA=OD,又DEAB,CDO=30,DOA=60,DFA=DOA=30.121212思路分析思路分析 利用垂径定理和三角函数得出CDO=30,进而得出DOA=60,利用圆周角定理得出DFA=30.解题关键解题关键 此题考查了垂径定理、三角函数以及圆周角定理,解题关键是利用垂径定理和三角函数得出CDO=30.1711.(2018嘉兴,14,4分)如图

10、,量角器的0度刻度线为AB,将一矩形直尺与量角器部分重叠,使直尺一边与量角器相切于点C,直尺另一边交量角器于点A,D,量得AD=10 cm,点D在量角器上的读数为60,则该直尺的宽度为 cm.答案答案 53318解析解析连接OC,OD,C是O的切点,COCE且COAD,设CO交AD于H,则AH=HD=AD=5 cm,DOB=60,AOD=120,AOC=60,AO=CO= cm,OH=cm,CH=cm,即直尺的宽度为cm. 1210335335335331912.(2017绍兴,12,4分)如图,一块含45角的直角三角板,它的一个锐角顶点A在O上,边AB,AC分别与O交于点D,E.则DOE的度

11、数为 . 答案答案90解析解析DAE与DOE所对的弧都是,则DOE=2DAE=245=90.故答案为90.DE2013.(2017湖州,12,4分)如图,已知在ABC中,AB=AC,以AB为直径作半圆O,交BC于点D.若BAC=40,则的度数是 度. AD答案答案140解析解析AB=AC,BAC=40,B=C=70,的度数为270=140.AD2114.(2015宁波,17,4分)如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=12,过A,D两点的O与BC边相切于点E,则O的半径为 . 答案答案 25422解析解析连接EO,并延长交AD于点H,连接AO.四边形ABCD是矩形,O与BC边相切于点E,EH

12、BC,ADBC,EHAD.根据垂径定理,得AH=DH.AB=8,AD=12,AH=6,HE=8.设O的半径为r,则AO=r,OH=8-r.在RtOAH中,由勾股定理得(8-r)2+62=r2,解得r=.254O的半径为.2542315.(2015衢州,14,4分)一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OA=1 m,水面宽AB=1.2 m,某天下雨后,水管水面上升了0.2 m,则此时排水管水面宽CD等于 m. 答案答案1.6解析解析过点O作OEAB于E,交CD于F,连OC.AB=1.2 m,OEAB,OA=1 m,则易知OE=0.8 m,水管水面上升了0.2 m,OF=0.8-0.2=0.6

13、 m,CF=0.8 m,CD=1.6 m.22OCOF2210.62416.(2014宁波,18,4分)如图,半径为6 cm的O中,C,D为直径AB的三等分点,点E,F分别在AB两侧的半圆上,BCE=BDF=60,连接AE,BF.则图中两个阴影部分的面积和为 cm2. 答案答案6 1125解析解析如图,作DBF的轴对称图形CAG,作AMCG,ONCE,CAG是DBF的轴对称图形,ACG BDF,ACG=BDF=60.ECB=60,G、C、E三点共线.AMCG,ONCE,AMON,=,在RtONC中,OCN=60,ON=OCsinOCN=OC.根据已知条件易得OC=OA=2 cm,AMONACO

14、C21321326ON= cm,AM=2 cm.ONGE,NE=GN=GE,连接OE,在RtONE中,NE= cm,GE=2NE=2 cm,SAGE=GEAM=22=6 cm2,题图中两个阴影部分的面积和为6 cm2.331222OEON226( 3)333312123331111解后反思解后反思 对于此类面积问题,通常我们可以选择对图形进行拆解或拼合来求解.本题较复杂,需应用垂径定理、勾股定理等进行解题.辅助线的添加由轴对称(图形拼合)以及垂径定理、勾股定理的应用来确定.2717.(2018温州,22,10分)如图,D是ABC的BC边上一点,连接AD,作ABD的外接圆,将ADC沿直线AD折叠

15、,点C的对应点E落在上.(1)求证:AE=AB;(2)若CAB=90,cosADB=,BE=2,求BC的长. BD1328解析解析(1)证明:由折叠的性质可知,ADE ADC,AED=ACD,AE=AC,ABD=AED,ABD=ACD,AB=AC,AE=AB.(2)如图,过A作AHBE于点H,AB=AE,BE=2,BH=EH=1,ABE=AEB.AEB=ADB,cosADB=,cosABE=cosADB=,=,AB=3.CAB=90,AC=AB,BC=3.1313BHAB1322ABAC229思路分析思路分析 (1)由折叠得出AED=ACD,AE=AC,结合ABD=AED知ABD=ACD,从而

16、得出AB=AC,据此得证;(2)作AHBE于H,由AB=AE且BE=2知BH=EH=1,根据ABE=AEB=ADB知cosABE=cosADB=,据此得AC=AB=3,利用勾股定理可得答案.BHAB13方法总结方法总结 本题主要考查三角形的外接圆,解题的关键是掌握折叠的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质及三角函数的应用等知识点.3018.(2017杭州,23,12分)如图,已知ABC内接于O,点C在劣弧AB上(不与点A,B重合),点D为弦BC的中点,DEBC,DE与AC的延长线交于点E,射线AO与射线EB交于点F,与O交于点G,设GAB=,ACB=,EAG+EBA=.(1)点点同学通过画图和测

17、量得到以下近似数据:30405060120130140150150140130120猜想:关于的函数表达式,关于的函数表达式,并给出证明;(2)若=135,CD=3,ABE的面积为ABC的面积的4倍,求O的半径. 31解析解析(1)=+90;=180-.证明:连接CG,因为AG是直径,所以ACG=90,因为DE垂直平分BC,所以EB=EC,所以EBC=ECB,BED=CED.因为BAG=BCG,所以=BCG+ACG=BAG+ACG=+90.因为ECG=90,CDDE,所以BCG=CED,所以BEC=2,所以=EAG+EBA=BAG+EAB+EBA=BAG+(180-BEC)=+(180-2)=

18、180-.(2)因为=135,所以=45,=135,所以ECB=EBC=45.所以ECB为等腰直角三角形,又因为CD=3,所以BC=6,32所以CE=BE=3,因为ABE的面积为ABC的面积的4倍,所以AE AC=4 1,所以AE=4,在RtABE中,AB=5,连接BG,因为AG是直径,所以ABG=90,在RtABG中,BAG=45,所以BG=AB,所以AG=10,所以O的半径为5.2222AEBE222BGAB3319.(2016温州,21,10分)如图,在ABC中,C=90,D是BC边上一点,以DB为直径的O经过AB的中点E,交AD的延长线于点F,连接EF.(1)求证:1=F;(2)若si

19、n B=,EF=2,求CD的长. 55534解析解析(1)证明:连接DE.BD是O的直径,DEB=90.E是AB的中点,DA=DB,1=B.B=F,1=F.(2)1=F,AE=EF=2,AB=2AE=4.5535在RtABC中,AC=ABsin B=4,BC=8.设CD=x,则AD=BD=8-x.在RtACD中,由勾股定理,得AC2+CD2=AD2,即42+x2=(8-x)2,解得x=3,CD=3.22ABAC评析评析 本题考查与圆有关的角的证明和线段长度的计算,主要涉及的知识点有同弧所对的圆周角相等,等腰三角形的性质,直径所对的圆周角是直角,勾股定理等,这是一道圆中的综合题.361.(201

20、6衢州,9,3分)如图,AB是O的直径,C是O上的点,过点C作O的切线交AB的延长线于点E.若A=30,则sinE的值为()A. B. C. D. 12223233考点二考点二 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系37答案答案 A连接OC,CE是O的切线,OCCE.A=30,BOC=2A=60,E=90-BOC=30,sin E=sin 30=.故选A. 12评析评析 此题考查了切线的性质、圆周角定理以及特殊角的三角函数值.注意准确作出辅助线是解此题的关键.382.(2016湖州,8,3分)如图,圆O是RtABC的外接圆,ACB=90,A=25.过点C作圆O的切线,交AB的延长线于点D,则D的

21、度数是()A.25 B.40 C.50 D.65答案答案 B连接OC,CD为O的切线,OCCD,OCD=90.在RtABC中,ABC=90-A=65.OB=OC,OCB=ABC=65,BCD=90-OCB=25.D=ABC-BCD=65-25=40,故选B.评析评析 本题考查切线的性质及三角形内角和定理,属容易题.393.(2015湖州,8,3分)如图,以点O为圆心的两个圆中,大圆的弦AB切小圆于点C,OA交小圆于点D.若OD=2,tanOAB=,则AB的长是().A.4 B.2 C.8 D.4 1233答案答案 C大圆的弦AB切小圆于点C,ACO=90.在RtACO中,tanOAC=,AC=

22、2OC=2OD=22=4.由垂径定理,得AB=8.故选C.12404.(2015衢州,10,3分)如图,已知等腰ABC中,AB=BC,以AB为直径的圆O交AC于点D,过点D的O的切线交BC于点E.若CD=5,CE=4,则O的半径是()A.3 B.4C. D. 25625841答案答案 D 如图,连接OD、BD, OA=OD,A=ADO,AB=BC,A=C,ADO=C,ODBC.DE是O的切线,ODDE,DEBC,又CD=5,CE=4,DE=3,AB是O的直径,ADB=90,SBCD=BDCD2=BCDE2,5BD=3BC,BD=BC,BD2+CD2=BC2,+52=BC2,解得BC=,AB=B

23、C,AB=,O的半径是2=,故选D.225435235BC254254254258评析评析 此题主要考查了圆的切线性质,要熟练掌握,解答此题的关键是明确圆的切线垂直于经过切点的半径.方法指导方法指导解决此题需要作辅助线,而辅助线的添加依赖于对圆的切线性质的熟知.425.(2015湖州,9,3分)如图,AC是矩形ABCD的对角线,O是ABC的内切圆,现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠,使点D与点O重合,折痕为FG,点F,G分别在边AD,BC上,连接OG,DG,若OGDG,且O的半径长为1,则下列结论不成立的是()A.CD+DF=4 B.CD-DF=2-3C.BC+AB=2+4 D.BC-AB=

24、23343答案答案 A 如图,设O与BC的切点为M,连接MO并延长MO交AD于点N,利用“AAS”易证OMG GCD,所以OM=GC=1, CD=GM=BC-BM-GC=BC-2.又因为AB=CD,所以可得BC-AB=2.设AB=a,BC=b,AC=c,O的半径为r,由O是RtABC的内切圆可得r=(a+b-c),所以c=a+b-2.在RtABC中,由勾股定理可得a2+b2=(a+b-2)2,整理得2ab-4a-4b+4=0,又因为BC-AB=2,即b=2+a,所以2a(2+a)-4a-4(2+a)+4=0,解得a1=1+,a2=1-(舍去),所以a=1+,b=3+,即可得BC+AB=2+4.

25、 再设DF=x,在RtONF中,FN=3+-1-x,OF=x,ON=1+-1=,由勾股定理可得(2+-x)2+()2=x2,解得x=4-,所以CD-DF=+1-(4-)=2-3,CD+DF=+1+4-=5.综上只有选项A错误,故选A. 123333333333333333446.(2018宁波,17,4分)如图,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连接PM,以点P为圆心,PM长为半径作P.当P与正方形ABCD的边相切时,BP的长为 . 答案答案3或4 3解析解析M为AB的中点,正方形ABCD的边长为8,BM=AM=4.设BP=x,则CP=8-x,由勾股定理可知,MP2

26、=x2+16,P与正方形的边相切分两种情况:当P与CD相切于点C时,CP=PM,即(8-x)2=x2+16,解得x=3.当P与AD相切时,设切点为E,则PE=8,即x2+16=82,解得x1=4,x2=-4(不合题意,舍去).综上所述,BP的长是3或4.333457.(2017杭州,12,4分)如图,AT切O于点A,AB是O的直径.若ABT=40,则ATB= . 答案答案50解析解析AT与O相切,AB是O的直径,ATAB,即BAT=90,在RtABT中,ABT=40,ATB=90-40=50.思路分析思路分析 切线垂直于过切点的直径,所以ABT是以A为直角的直角三角形,故ATB=90-ABT.

27、468.(2017绍兴,16,5分)如图,AOB=45,点M,N在边OA上,OM=x,ON=x+4,点P是边OB上的点.若使以点P,M,N为顶点的三角形是等腰三角形的点P恰好有三个,则x的取值范围是 . 答案答案 x=0或x=4-4或4x4 2247解析解析若MNP是等腰三角形,则有MP=NP,MN=MP,MN=NP三种情况.对于任意M点,可作MN的垂直平分线,与OB必有一个交点P1,则P1满足MP1=NP1.下面分情况以M为圆心,4为半径画圆,并以N为圆心,4为半径画圆.如图1,当M与点O重合,即x=0时,恰好有三个点满足,分别为P1,P2,P3. 图1当0 x4,则MN=NP不存在.故要满

28、足题意,需圆M与OB有两个交点.当OM=4,即x=4时,如图3,P3与O重合,则不符合题意; 图32249当x4时,如图4,要使圆M与OB有两个交点,只需要M到OB的距离小于4,即x4,得x4. 图4综上,x的取值范围是x=0或x=4-4或4x0),若点P在射线OP上,满足OPOP=r2,则称点P是点P关于O的“反演点”.如图2,O的半径为4,点B在O上,BOA=60,OA=8,若点A,B分别是点A,B关于O的反演点,求AB的长. 图1 图2 解析解析因为OAOA=16,且OA=8,所以OA=2.同理可知,OB=4,即B点的反演点B与B重合,设OA交O于点M,连接BM,因为BOA=60,OM=

29、OB,所以OBM为正三角形,又因为点A为OM的中点,所以ABOM,根据勾股定理,得OB2=OA2+AB2,即16=4+AB2,解得AB=2.36214.(2016丽水,22,10分)如图,AB是以BC为直径的半圆O的切线,D为半圆上一点,AD=AB,AD,BC的延长线相交于点E.(1)求证:AD是半圆O的切线;(2)连接CD,求证:A=2CDE;(3)若CDE=27,OB=2,求的长.BD63解析解析(1)证明:连接OD,BD,AB是半圆O的切线,ABBC,即ABO=90.AB=AD,ABD=ADB,OB=OD,DBO=BDO,ABD+DBO=ADB+BDO,ADO=ABO=90,AD是半圆O

30、的切线.(2)证明:由(1)得ADO=ABO=90,A=360-ADO-ABO-BOD=180-BOD.又DOC=180-BOD,A=DOC.ODE=90,ODC+CDE=90.BC是直径,ODC+BDO=90.64BDO=CDE,BDO=OBD,DOC=2BDO.DOC=2CDE,A=2CDE.(3)CDE=27,由(2)得DOC=2CDE=54,BOD=180-54=126.OB=2,=.BDl126218075评析评析 本题考查了切线的性质、弧长的计算、圆周角定理及等腰三角形的性质,正确作出辅助线是解题的关键.651.(2018湖北武汉,10,3分)如图,在O中,点C在优弧上,将弧折叠后

31、刚好经过AB的中点D.若O的半径为,AB=4,则BC的长是()A.2 B.3 C. D. ABBC5325 32652考点一考点一 圆的有关概念及性质圆的有关概念及性质B B组组 2014-2018 2014-2018年全国中考题组年全国中考题组66答案答案 B连接AO,并延长交O于点D,则ABD=90.连接BD,CD,DD,DD交BC于点E,连接OD,OB,OC,D为AB的中点,ODAB,AB=4,BD=AB=2,OB=,OD=1,BD=2OD=2,即BD= BD,显然点D与点D关于直线BC对称.ABD=90,ABC=CBD=45,根据圆周角定理得AOC=90,DOC=90,CD=OC=,C

32、BD=45,BD=2,BE=ED=,根据勾股定理得CE=2,所以BC=BE+CE=3,故选B. 12522OBBD210222CDED22方法指导方法指导 在求解涉及圆的性质的问题时,通常运用垂径定理或圆周角定理得到相等的线段或角或垂直关系,求解过程中常需作合适的辅助线构造直角三角形,利用勾股定理等知识进行求解.672.(2015山东临沂,8,3分)如图,A,B,C是O上的三个点,若AOC=100,则ABC等于()A.50 B.80 C.100 D.130答案答案 D如图,在优弧AC上任取一点D,连接AD、CD.AOC=100,ADC=AOC=50.ADC+ABC=180,ABC=180-50

33、=130.故选D. 12683.(2015山东威海,9,3分)如图,已知AB=AC=AD,CBD=2BDC,BAC=44,则CAD的度数为()A.68 B.88 C.90 D.11269答案答案 BAB=AC=AD,ABC=ACB,点B、C、D在以A为圆心的圆周上,BDC=BAC,CAD=2CBD,BAC=44,BDC=22,CBD=2BDC,CBD=44,CAD=2CBD=88.故选B.12关键提示关键提示 本题考查了等腰三角形的性质、圆周角与圆心角的关系,解题的关键是要能发现点B、C、D在以A为圆心的圆周上.701.(2014湖北武汉,10,3分)如图,PA、PB切O于A、B两点,CD切O

34、于点E,交PA、PB于C、D,若O的半径为r,PCD的周长等于3r,则tanAPB的值是()A. B. C. D. 5121312535132313考点二考点二 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系71答案答案 B连接OA、OB、OP,延长BO交射线PA于点F.PA、PB切O于A、B两点,CD切O于点E,OAP=OBP=90,CA=CE,DB=DE,PA=PB.PCD的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r,PA=PB=r.在RtAFO和RtBFP中,RtAFORtBFP.=,AF=FB.32,FAOFBPOFAPFB AFFBAOBP32rr232372在Rt

35、FBP中,PF2-PB2=FB2,(PA+AF)2-PB2=FB2,-=BF2,解得BF=r,tanAPB=,故选B.23223rBF232r185BFPB18532rr125评析评析 本题主要考查切线的性质,相似三角形的判定及三角函数的定义,属难题.732.(2015江苏南京,6,2分)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD、AB、BC分别与O相切于E、F、G三点,过点D作O的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为()A. B. C. D.2 1339243135答案答案 A在矩形ABCD中,O分别与边AD、AB、BC相切,又DM为O的切线,所以由切线长定理得AE=AF=BF=B

36、G,DE=DN,MN=MG,且易知BG=2,DN=3,设MN=MG=x,在RtDCM中,DM2=MC2+DC2,即(3+x)2=(3-x)2+42,解得x=,则DM=3+=.故选A.4343133743.(2018安徽,12,5分)如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与O相切于点D,E.若点D是AB的中点,则DOE= . 答案答案60解析解析AB,AC分别与圆O相切于点D,E,ODAB,OEAC,在菱形ABOC中,AB=BO,点D是AB的中点,BD=AB=BO,BOD=30,B=60,又OBAC,A=120,在四边形ADOE中,DOE=360-90-90-120=60.1212解题关键解题关键

37、 由题意得出OD垂直平分AB及AB=BO是解答本题的关键.754.(2017内蒙古包头,24,10分)如图,AB是O的直径,弦CD与AB交于点E,过点B的切线BP与CD的延长线交于点P,连接OC,CB.(1)求证:AEEB=CEED;(2)若O的半径为3,OE=2BE,=,求tanOBC的值及DP的长. CEDE9576解析解析(1)证明:连接AD,如图.A=BCD,AED=CEB,AEDCEB.=.AEEB=CEED.(3分)(2)O的半径为3,OA=OB=OC=3.OE=2BE,OE=2,BE=1,AE=5.=,可设CE=9x,DE=5x(x0).AEEB=CEED,51=9x5x,x=.

38、CE=3,DE=.(5分)AECEEDEBCEDE95135377过点C作CFAB于点F,OC=CE=3,OF=EF=OE=1.BF=2.在RtOCF中,CFO=90,CF2+OF2=OC2.CF=2.在RtCFB中,CFB=90,tanOBC=.(8分)CFAB,CFB=90.BP是O的切线,AB是O的直径,EBP=90,CFB=EBP.又EF=BE=1,CEF=PEB,CEF PEB.EP=CE=3.DP=EP-ED=3-=.(10分)122CFBF2 2225343785.(2016北京,25,5分)如图,AB为O的直径,F为弦AC的中点,连接OF并延长交于点D,过点D作O的切线,交BA

39、的延长线于点E.(1)求证:ACDE;(2)连接CD,若OA=AE=a,写出求四边形ACDE面积的思路. AC79解析解析(1)证明:连接OC,如图.OA=OC,F为AC的中点,ODAC.DE是O的切线,ODDE.ACDE.(2)求解思路如下:在RtODE中,由OA=AE=OD=a,可得ODE,OFA为含30角的直角三角形;由ACD=AOD=30,可知CDOE;由ACDE,可知四边形ACDE是平行四边形;12由ODE,OFA为含有30角的直角三角形,可求DE,DF的长,进而可求四边形ACDE的面积.801.(2015吉林长春,7,3分)如图,四边形ABCD内接于O,若四边形ABCO是平行四边形

40、,则ADC的大小为()A.45 B.50 C.60 D.75考点一考点一 圆的有关概念及性质圆的有关概念及性质C C组组 教师专用题组教师专用题组答案答案 C设ADC=x,则AOC=2x.四边形ABCO是平行四边形,B=AOC.B+D=180,x+2x=180.x=60.ADC=60.故选C.812.(2014温州,8,4分)如图,已知点A,B,C在O上,为优弧,下列选项中与AOB相等的是()A.2C B.4B C.4A D.B+CACB答案答案 A由圆周角定理可得AOB=2C.故选A.823.(2014湖州,4,3分)如图,已知AB是ABC外接圆的直径,A=35,则B的度数是()A.35 B

41、.45 C.55 D.65答案答案 CAB是ABC外接圆的直径,C=90,A=35,B=90-A=55.故选C.834.(2014嘉兴,6,4分)如图,O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2,DE=8,则AB的长为()A.2 B.4 C.6 D.8答案答案 DCE=2,DE=8,CD=10,OC=OD=OB=5,OE=3,ABCD,在RtOBE中,BE=4,AB=2BE=8,故选D.845.(2015丽水,13,4分)如图,圆心角AOB=20,将旋转n得到,则的度数是 . ABCDCD答案答案20解析解析如图,将旋转n得到,根据旋转的性质,得=.AOB=20,COD=20.的度数是20.AB

42、CDCDABCD856.(2015绍兴,12,5分)如图,已知点A(0,1),B(0,-1),以点A为圆心,AB为半径作圆,交x轴的正半轴于点C.则BAC等于 度. 答案答案60解析解析在RtAOC中,AO=1,AC=2,则ACO=30,所以BAC=60.867.(2018安徽,20,10分)如图,O为锐角ABC的外接圆,半径为5.(1)用尺规作图作出BAC的平分线,并标出它与劣弧的交点E(保留作图痕迹,不写作法);(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长. BC87解析解析(1)尺规作图如图所示.(4分)(2)连接OE交BC于M,连接OC.因为BAE=CAE,所以=,易得OEB

43、C,所以EM=3.RtOMC中,OM=OE-EM=5-3=2,OC=5,所以MC2=OC2-OM2=25-4=21.RtEMC中,CE2=EM2+MC2=9+21=30,所以弦CE的长为.(10分)BEEC30思路分析思路分析 对于(2),连接OE交BC于点M,再连接OC,由BAE=CAE可得=,可推出OEBC,最后利用勾股定理求出CE.BEEC888.(2017安徽,20,10分)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,B=D,AD不平行于BC,过点C作CEAD交ABC的外接圆O于点E,连接AE.(1)求证:四边形AECD为平行四边形;(2)连接CO,求证:CO平分BCE. 89证明证明(1)

44、B=D,B=E,D=E.CEAD,E+DAE=180.D+DAE=180.AEDC.四边形AECD是平行四边形.(5分)(2)过点O作OMEC,ONBC,垂足分别为M、N.四边形AECD是平行四边形,AD=EC.又AD=BC,EC=BC,OM=ON,CO平分BCE.(10分)思路分析思路分析 (1)根据“在同一个圆中同一段弧所对的圆周角相等”可推出E=B,再由D=B,CEAD可推出AEDC,问题得证;(2)作OMCE,ONBC,垂足分别为M、N,由已知及(1)得出CE=BC,再根据“同一个圆内等弦对应的弦心距相等”可得OM=ON,从而由角平分线的判定定理可得结论.解题关键解题关键 抓住“在同一

45、个圆中同一段弧所对的圆周角相等及同圆内等弦对应的弦心距相等”是解决本题的关键.909.(2016湖州,20,8分)如图,已知四边形ABCD内接于圆O,连接BD,BAD=105,DBC=75.(1)求证:BD=CD;(2)若圆O的半径为3,求的长. BC91解析解析(1)证明:四边形ABCD内接于圆O,DCB+BAD=180,(1分)BAD=105,DCB=180-105=75.(2分)DBC=75,DCB=DBC,(3分)BD=CD.(4分)(2)DCB=DBC=75,BDC=30.(5分)由圆周角定理,得的度数为60,(6分)的长=.(8分)BCBC180n R6031809210.(201

46、5宁波,26,14分)如图,在平面直角坐标系中,点M是第一象限内一点,过M的直线分别交x轴,y轴的正半轴于A,B两点,且M是AB的中点.以OM为直径的P分别交x轴,y轴于C,D两点,交直线AB于点E(位于点M右下方),连接DE交OM于点K.(1)若点M的坐标为(3,4),求A,B两点的坐标;求ME的长.(2)若=3,求OBA的度数.(3)设tanOBA=x(0 x1),=y,直接写出y关于x的函数解析式. OKMKOKMK93解析解析(1)连接DM,MC,OM为直径,MDO=MCO=90.AOB=90,MDOA,MCOB.M是AB的中点,D是OB的中点,C是OA的中点.M(3,4),OB=2M

47、C=8,OA=2MD=6,B(0,8),A(6,0).(3分)在RtAOB中,OA=6,OB=8,AB=10.94M是AB的中点,BM=AB=5.BOM=BED,又OBM=EBD,OBMEBD,=.BE=6.4,ME=BE-BM,ME=6.4-5=1.4.(6分)(2)连接DP,=3,OK=3MK,OM=4MK,PK=MK.OP=PM,BD=DO,DP为BOM的中位线,DPBM.PDK=MEK.又PKD=MKE,PK=MK,DPK EMK,DK=KE.OM为直径,OMDE,cosDPK=.12BMBDBOBEBO BDBM8 45OKMKPKPD95DP=PM=2PK,cosDPK=.DPK=

48、60,DOM=30.在RtAOB中,M为AB的中点,BM=MO,OBA=DOM,OBA=30.(10分)(3)y关于x的函数解析式为y=(0 x1).(14分)下列解答过程仅供参考:连接OE,OM为直径,MEO=90.设BE=1,则在RtOBE中,OE=BEtanOBE=x.设BM=OM=m,ME=BE-BM=1-m.在RtOME中,(1-m)2+x2=m2,m=,12221x212x96ME=1-m=,DP=BM=m=.又易知DPKEMK,=,=+1=.P为MO的中点,=.y=.y关于x的函数解析式为y=(0 xS2+S3 B.AOMDMNC.MBN=45 D.MN=AM+CN110答案答案

49、 A如图,作MPAO交ON于点P,当AM=MD时,SMNO=MPAD,(OA+DN)=MP,此时SMNO=S梯形ONDA,S1=S2+S3,不一定有S1S2+S3,即A不一定成立.MN是O的切线,OMMN,又四边形ABCD为正方形,A=D=90,AMO+DMN=90,AMO+AOM=90,AOM=DMN,在AOM和DMN中,AOMDMN.故B成立.121212,ADAOMDMN 111如图,作BPMN于点P,MN,BC是O的切线,PMB=MOB,CBM=MOB,PMB=CBM,ADBC,CBM=AMB,AMB=PMB,在RtMAB和RtMPB中,RtMAB RtMPB(AAS).1212,BP

50、MBAMPMBAMBBMBM 112AM=MP,ABM=PBM,BP=AB=BC,在RtBPN和RtBCN中,RtBPN RtBCN(HL),PN=CN,PBN=CBN,MBN=MBP+PBN=ABM+NBC=ABC=45,MN=MP+PN=AM+CN.故C,D成立.综上所述,A不一定成立.,BNBNBPBC12评析评析 本题主要考查了圆的切线及全等三角形的判定和性质,关键是通过作出辅助线证明三角形全等.1133.(2018四川成都,20,10分)如图,在RtABC中,C=90,AD平分BAC交BC于点D,O为AB上一点,经过点A,D的O分别交AB,AC于点E,F,连接OF交AD于点G.(1)

51、求证:BC是O的切线;(2)设AB=x,AF=y,试用含x,y的代数式表示线段AD的长;(3)若BE=8,sin B=,求DG的长. 513114解析解析(1)如图,连接OD.AD为BAC的平分线,BAD=CAD,OA=OD,ODA=OAD,ODA=CAD,ODAC.又C=90,ODC=90,ODBC,BC是O的切线.(2)连接DF.由(1)可知,BC为O的切线.FDC=DAF,CDA=CFD,AFD=ADB,又BAD=DAF,ABDADF,=,AD2=ABAF,AD2=xy,AD=.(3)连接EF.在RtBOD中,sin B=,设圆的半径为r,=,r=5,AE=10,AB=18.AE是直径,

52、AFE=90,又C=90,EFBC,AEF=B,sinAEF=,ABADADAFxyODOB5138rr 513AFAE513115AF=AEsinAEF=10=,AFOD,=,DG=AD,AD=,DG=. 5135013AGDGAFOD5013510131323AB AF50181330 1313132330 131330 1323思路分析思路分析 (1)连接OD,由OD=OA,AD平分BAC,易得ODAC,所以ODBC,证得BC为圆O的切线;(2)连接DF,判定ABDADF,得AD2=ABAF=xy,即AD=;(3)连接EF,设圆的半径为r,由sin B的值,解直角ABC,直角AEF,根据

53、ODAF,表示出DG=AD,又AD=,进而可以求出DG的长.xy1323AB AF易错警示易错警示 本题属于圆的综合题,考查了切线的判定与性质,相似三角形的判定与性质及锐角三角函数.题中涉及直角三角形的条件间的转化较多,易造成代换或计算错误,加强对三角函数概念的理解,提高计算能力,是减少错误的关键.1164.(2017河北,23,9分)如图,AB=16,O是AB中点,点C在线段OB上(不与点O,B重合),将OC绕点O逆时针旋转270后得到扇形COD,AP,BQ分别切优弧于点P,Q,且点P,Q在AB异侧,连接OP.(1)求证:AP=BQ;(2)当BQ=4时,求优弧的长(结果保留);(3)若APO

54、的外心在扇形COD的内部,求OC的取值范围. CD3QD117解析解析(1)证明:连接OQ.(1分)AP,BQ分别与优弧相切,OPAP,OQBQ,即APO=Q=90.又OA=OB,OP=OQ,RtAPO RtBQO.(3分)AP=BQ.(4分)(2)BQ=4,OB=AB=8,Q=90,sinBOQ=.BOQ=60.(5分)OQ=8cos 60=4,优弧的长为=.(7分)(3)设点M为RtAPO的外心,则M为OA的中心,OM=4.当点M在扇形COD的内部时,OMOC,4OC8.(9分)CD31232QD(27060)4180143思路分析思路分析 (1)连接OQ.根据切线的性质得出APO=Q=9

55、0,由HL得出RtAPO RtBQO,即可得AP=BQ;(2)由BQ=4,OB=8,确定出BOQ的度数及OQ的长,进而根据弧长公式求出优弧的长;(3)APO的外心是OA的中点,OA=8,从而可由APO的外心在扇形COD的内部求出OC的取值范围.3QD1185.(2016天津,21,10分)在O中,AB为直径,C为O上一点.(1)如图,过点C作O的切线,与AB的延长线相交于点P,若CAB=27,求P的大小;(2)如图,D为上一点,且OD经过AC的中点E,连接DC并延长,与AB的延长线相交于点P,若CAB=10,求P的大小. AC119解析解析(1)如图,连接OC.O与PC相切于点C,OCPC,即

56、OCP=90.CAB=27,COB=2CAB=54.在RtOPC中,P+COP=90,P=90-COP=36.(2)E为AC的中点,ODAC,即AEO=90.120在RtAOE中,由EAO=10,得AOE=90-EAO=80.ACD=AOD=40.ACD是ACP的一个外角,P=ACD-CAP=30.121216.(2015温州,21,10分)如图,AB是半圆O的直径,CDAB于点C,交半圆于点E,DF切半圆于点F.已知AEF=135.(1)求证:DFAB;(2)若OC=CE,BF=2,求DE的长. 2122解析解析(1)证明:连接OF,DF切半圆O于点F,DFOF.AEF=135,四边形ABF

57、E为圆内接四边形,B=45.OB=OF,OFB=B=45,FOA=90,ABOF,DFAB.(2)连接OE,BF=2,FOB=90,OB=OF=2.2123OC=CE,CEAB,OE=OF=2,CE=.DCOF,DFAB,四边形OCDF是平行四边形,DC=OF=2.DE=DC-CE=2-.227.(2015湖州,20,8分)如图,已知BC是O的直径,AC切O于点C,AB交O于点D,E为AC的中点,连接DE.(1)若AD=DB,OC=5,求AC的长;(2)求证:ED是O的切线. 124解析解析(1)连接CD.BC是O的直径,BDC=90,即CDAB,AD=DB,AC=BC=2OC=10.(2)证

58、明:如图,连接OD,ADC=90,E为AC的中点,DE=EC=AC.1=2,OD=OC,3=4,AC切O于点C,ACOC.1+3=2+4=90,即DEOD,DE是O的切线.121258.(2016衢州,21,8分)如图,AB为O的直径,弦CDAB,垂足为点P,直线BF与AD的延长线交于点F,且AFB=ABC.(1)求证:直线BF是O的切线;(2)若CD=2,OP=1,求线段BF的长. 3126解析解析(1)证明:AFB=ABC,ABC=ADC,AFB=ADC,CDBF,CDAB,ABBF,直线BF是O的切线.(2)连接OD,CDAB,PD=CD=,又OP=1,OD=2,AP=3,AB=4.PA

59、D=BAF,APD=ABF=90,APDABF,=,=,BF=.123APABPDBF343BF4 331279.(2014丽水、衢州,22,10分)如图,已知等边ABC,AB=12,以AB为直径的半圆与BC边交于点D,过点D作DFAC,垂足为F,过点F作FGAB,垂足为G,连接GD.(1)求证:DF是O的切线;(2)求FG的长;(3)求tanFGD的值. 128解析解析(1)证明:连接OD,以等边ABC的AB边为直径的半圆与BC边交于点D,B=C=ODB=60,ODAC,CFD=ODF,DFAC,CFD=ODF=90,即ODDF.DF是O的切线.(2)易知OD是ABC的中位线,CF=CDco

60、s 60=CD=CB=AB=3,AF=9,FGAB,FGA=90,AFG=30.FG=AF=.121414329 32129(3)作DEFG,垂足为E,由(2)可得,DFE=60,DF=3,EF=,DE=,GE=GF-EF=-=3,tanFGD=.33 32929 323 323DEEG923 33213010.(2015温州,24,14分)如图,点A和动点P在直线l上,点P关于点A的对称点为Q,以AQ为边作RtABQ,使BAQ=90,AQ AB=3 4,作ABQ的外接圆O.点C在点P右侧,PC=4,过点C作直线ml,过点O作ODm于点D,交AB右侧的圆弧于点E.在射线CD上取点F,使DF=C