2022年七年级数学上册熟练运用旋转解决平面几何中的问题试题浙教版2

1、熟练运用旋转解决平面几何中的问题平面几何的证题方法多种多样利用旋转来解决平面几何问题，有时能收到事半功倍的效果例图 1 中以 abc的边 ab、ac为一边向外作正方形abde及正方形 acfg ，连结 bg 、ce求证： (1)bg=ce；(2)bgce 分析：一般的证法是证明abg 与 aec 全等，然后应用全等三角形的性质。而如果采用旋转，则可以如下证明：由已知可知，点 e绕点 a逆时针旋转90为点 b，点 c绕点 a逆时针旋转90为点 g，从而知线段ec绕点 a 逆时针旋转90为线段bg ，故有 bg=ce ，bg ce 本文将从最常见的两种旋转出发，谈谈旋转在平面几何中的应用。一、按旋

2、转的角度进行区分1、90角旋转例 1 如图 2， e、 f分别是边长为1 的正方形abcd 的 bc 、 cd 上的点，且 cef 的周长是2求 eaf的大小。解：将 abe绕点 a作逆时针旋转90，则 ab边与 ad边重合，设旋转后ee，由条件 cef 的周长为2，即 ce+ef+cf=2 ，又 be+ce+cf+ df=2， 且显然有be=de ，故 ce+ cf+fe =2从而必有 ef=fe ，又 ae= ae ，af=af ，故 aef aef， eaf=eaf ，又从作图知 eae =90，故 eaf=45 。例 2（北京东城2010 年上学期期末）如图，p为正方形abcd内一点，

3、若pa=a，pb=2a，pc=3a(a0) ，求:(1) apb的度数 ;(2) 正方形abcd的面积分析 :三条已知的线段pa、pb、pc具有一个共公顶点，且它们不能构成三角形 但是当把abp按顺时针方向旋转90后， 即会出现等腰直角三角形，于是pa旋转后的线段与pc构成了一个新的三角形解:(1) 将abp绕点b顺时针方向旋转90得cbq则abp cbq且pbqb于是pb=qb=2a，pq=22pbqb=22a在pqc中，pc2=9a2，pq2qc2=9a2精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 24 页 - - - - - -

4、 - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 24 页 - - - - - - - - -pc2=pq2qc2 pqc=90pbq是等腰直角三角形，bpq=bqp=45故apb=cqb=9045=135( 2)apq=apbbpq=13545=180，三点a、p、q在同一直线上在rtaqc中，ac2=aq2qc2=(a 22a)2a2=(1042)a2故s正方形 abcd =12ac2=(522)a2思考例 2 中， 如果把cbp绕点b逆时针方向旋转90得abm， 怎样解以上问题?( 答: (1) pbm是等腰直角三角形，且

5、由勾股定理的逆定理得apm=90;(2) 过点b作bnap，垂足为n则pn=bn=2a，于是在abn中可求出边长ab的平方，即得正方形的面积 ) 2、60角旋转 例 1 如图 3，分别以 abc的边 ab 、ac为一边向外作等边三角形 abd及等边三角形ace 。连结 be 、cd 。设 m 、n分别是 be 、cd的中点。求证：amn 是等边三角形。证明：由条件可知，adc绕点 a逆时针旋转60为 abe 。即线段 cd绕点 a逆时针旋转60得 be中点 m ，故 an=am ， nam 二 60，即 amn 是等边三角形。例 2 如图 4，p 是等边三角形abc内一点，且pa=3 ，pb=

6、4，pc=5 求 apb的大小。解：将 apc绕点 a顺时针旋转60，由 abc为等边三角形知，此时所得新三角形边与ab重合。设p旋转后为p，则 app 的边长为3 的等边三角形， pb=pc=5， 又 pb=4 ， 故 pp2+pb2=pb2 从而 ppb 是以 ppb为直角的直角三角形，从而apb= app + ppb=60 +90 =150。例 3 如图，在凸四边形abcd中，abc=30，adc=60，ad=dc证明 :bd2=ab2bc2精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 24 页 - - - - - - - - -

7、精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 24 页 - - - - - - - - -分析 :所证结论即是三条线段bd、ab、bc能构成一个直角三角形因此需利用图形变换把它们集中到一个三角形中证: 连接acad=dc，adc=60，adc是等边三角形故将dcb绕点c顺时针方向旋转60时可得ace连接be于是dcbace且cb=ce，bce=60bce是等边三角形，bc=be，cbe=60abc=30，abe=90故ab2bc2=ab2be2=ae2=bd2练习已知： 如图，m是等边 abc内的一个点， 且 ma=2cm ，mb=2

8、3cm，mc=4cm ，求： abc的边 ab的长度。3、旋转到特殊位置例 1 如图，在abc中，acb=90，a=25，以点c为旋转中心将abc旋转 角到a1b1c的位置，使b点恰好落在a1b1上求旋转角 的度数分析 :将abc旋转到点b落在a1b1上的特殊位置时，即确定了旋转角 的大小于是a1bb1是平角，它是解题的切入点，通过平角可列方程求出角 解: abca1b1c( 旋转前后的图形全等) a=a1且cb=cb1adc=a1db， a1bd= 在abc中，abc=9025=65bcb1= ( 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角) cbb1=12(180 ) 点a1、b、b1在同一

9、直线上，6512(180)=180 解之得 =50思考例 1 中，若a=，那么 与 有何数量关系 ?( 答: =2) 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 24 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 24 页 - - - - - - - - -二、按计算要求进行区分1、求角度例 1（青岛）、如图1，p 是正三角形abc内的一点，且pa=6 ，pb=8，pc=10 ，求 apb的度数。分析：由题中已知条件中的6、8、10 这组勾

10、股数联想到直角三角形，于是设法将pa 、pb 、pc 集中到一个三角形中，可以将apc 绕着 a点逆时针旋转60得到 afb ，图 1 图 2 从而可得 apb= apf+ bpf ，然后设法求出apf 、 bpf的度数即可。解：将 apc绕点 a逆时针旋转60后，得 afb ，连接 fp （如图 2） ， 则 fb=pc=10 ，fa=pa=6 ，fap=60。 fap是正三角形，fp=pa=6 ， 在 pbf中， pb2+pf2=82+62=102=bf2， bpf=90 ，apb= apf+ fpb=60 +90=150。例 2、如图所示，abc中， acb=120 ，将该图形绕点c按顺

11、时针旋转30后，得到abc，则 abc 的度数是。分析：根据旋转的性质可以知道bcb 是旋转角，它的度数应该是 30， ab c可以看成是acb和 bcb 的和，所以 ab c=120 30=150。答： ab c的度数是150。2、求线段间的关系或长度例 1（旅顺）操作：如图3， abc是正三角形， bdc是顶角bdc=120 的等腰三角形，以d为顶点作一个60角，角的两边分别交ab 、 ac边于 m 、n两点，连mn 。探究：线段bm 、mn 、nc之间的关系，并加以证明。分析：本题要探究的三条线段不在同一个三角形之中，必须设法将它们集中到一个三角形中。易知dba= dca=90 ， bd

12、=cd ，于是将 dbm 绕 d点顺时针旋转120到 dcp的位置，则 bm=cp ，dm=dp ，再证 mn=nc+cp即可得证。解： abc为正三角形， abc= acb=60 ，又 bdc=120 ， db=dc ， dbc= dcb=30 。aafppbbccbacba图 3 admnpbc精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 24 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 24 页 - - - - - - - - -aa

13、bhcccddeeffggh dbm= dcn=90 。于是将 dbm 绕 d点顺时针旋转 120到 dcp 位置，则 bm=cp 、dm=dp 、 mdp=120 ，又 mdn=60 ， pdn=60 ， pdn= mdn ，dn=dn ， mdn pdn ， mn=np=nc+cp，bm+nc=mn。答： ab c的度数是150。例 2、如图 4 所示，边长为3 的正方形abcd绕点 c按顺时针方向旋转30后得到正方形 efgh ，ef交 ad于点 h，那么 dh的长是。分析：由旋转的性质可以知道bfc= dcg=30 ，所以 fcd=60 ，可以连结线段hc （如图 4 所示） ，由已知

14、可知f=d=90， fc=dc ，hc是 rtfhc和 rtdhc公共的斜边，根据 hl公理可以判断rtfhc rtdhc ，所以 fhc= dhc=30 ，所以 hc=2dh ，根据勾股定理可得222dhdchc，即222dhdcdc，因为 dc=3 ，所以 dh=3。答： dh的长是3。3、求面积例 1、如图 4，abc是等腰直角三角形，d 为ab的中点， ab=2 ，扇形 adg 和 bdh分别是以 ad 、bd为半径的圆的41，求阴影部分面积。图 4 图 5 分析：从表面上看图形异常繁杂，若想直接求阴影部分面积则不可能，若将扇形bdh 和 bdc 绕 d点顺时针旋转180，问题就迎刃而

15、解了。解：将扇形bdh和 bdc绕 d点顺时针旋转180变成图5。s阴=s半圆saef=21122112=21（1） 。hgdcbafe图 4 hgdcbafe图 5 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 24 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 24 页 - - - - - - - - -例 2、如图所示，aob中， oa=3cm ，ob=1cm ，将 aob绕点 o按逆时针方向旋转90到 aob ，那么ab扫过的区域的面

16、积是。分析： ab 扫过的区域是一个不规则的图形，要想计算它的面积，可以将它分割为和两部分（如图2 所示） ，根据旋转可以知道区域和区域的面积是相等的，所以可以将转化为，而区域的面积=扇形 oaa 的面积扇形odd 的面积， 又因为od=od=1 ，oa=3 ，所以区域的面积=214oa214od=22 cm。答： ab扫过的区域的面积是22 cm。4、进行图形分割例 4（厦门）如图 6，在四边形 abcd 中， a=90， abc与 adc互补。（1）求 c 的度数；（2）若 bc cd且 ab=ad ，请在图上画一条线段，把四边abcd分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明

17、理由。析解：本题设计新颖，巧妙把直观感知、操作确认和逻辑推理结合起来，第（ 1）问可根据四边形内角和直接求解；第（ 2）问则 abc+ adc=180 ，以及要把四边形分成两部分，使得这两部分能够图 6 图 7 拼成一个正方形，则新图必须有四个直角，由c=90，又ab=ad ，因此猜想过点a 作 aebc于 e，又得一个直角。把abe绕点 a逆时针旋转 90，这时ab与 ad重合，则被分成两部分拼成一个正方形。5、构造平行四边形例 5（天津）如图8，已知四边形纸片abcd ，现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片。如果限定裁剪线最多有两条，能否做到：（用“能”或“不能”填空） 。若

18、填“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由。baoba图 1 dbaodba图 2 aabbccddef精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 24 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 24 页 - - - - - - - - -分析：本题旨在通过操作与几何说理，拓展学生思考与探索空间，主要考四边形的分割和平行四边形的判定知识，其中包含着深刻的图形变换思想，需要丰富观察能力、抽象思维能力、动手操

19、作能力和解决实际问图8 图 9 图 10 题能力。本题通过连接四边形对边中点，构造线段相等并利用四边形内角和为360，借助旋转、平移变换，可达到剪拼的目的。解：能。如图9、图 10，取四边形abcd各边的中点e、g、f、h，连接 ef、gh ，则 ef、 gh为裁剪线， ef、gh将四边形分成1、2、3、4 四个部分，拼接时，图中的1 不动，将2、4分别绕点h、f 各旋转 180， 3 平移，拼成的四边形满足条件。三、按旋转类型进行区分1、正三角形类型在正 abc中， p为abc内一点，将 abp绕 a点按逆时针方向旋转600，使得 ab与ac重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a ）中的

20、pa 、pb 、pc三条线段集中于图（1-1-b ）中的一个 pcp中，此时 pap也为正三角形。abcp?abcpp图（ 1-1-a ）图（ 1-1-b ）例 1. 如图：（1-1 ） ：设 p是等边 abc内的一点， pa=3 ， pb=4，pc=5 ，则apb的度数是 _. abcp345?abcpp34533图（ 1-1 ）图（ 1-2 ）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 24 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共

21、 24 页 - - - - - - - - -简解： 在abc的外侧，作bap=cap ，且 ap=ap=3，连结pb。则bapcap 。易证 app为正三角形， pbp为 rtapb=app+ppb=60+90=15002、正方形类型在正方形abcd 中， p为正方形abcd 内一点，将 abp绕 b点按顺时针方向旋转900，使得 ba与 bc重合。经过旋转变化，将图（2-1-a ）中的 pa 、pb 、pc三条线段集中于图（2-1-b ）中的 cpp中，此时 bpp为等腰直角三角形。dcbap?dcbapp图（ 2-1-a ）图（ 2-1-b ）例2 . 如图（ 2-1） ：p是正方形ab

22、cd 内一点，点p到正方形的三个顶点a 、b、c的距离分别为 pa=1 ，pb=2，pc=3 。求此正方形abcd 面积。abcdp?abcdefp图（ 2-1 ）图（ 2-2 ）简解： 作aed使dae=bap ，ae=ap连结 ep ，则 ade abp （sas ）同样方法，作 dfc且有 dfc bpc 。易证 eap为等腰直角三角形，又ap=1 pe=2同理， pf=32eda=pba ，fdc=pbc 又pba+pbc=900edf=eda+fdc+adc= 900+900=1800精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，

23、共 24 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 24 页 - - - - - - - - -点 e、d、 f在一条直线上。ef=ed+df=2+2=4 ，在epf中， ef=4 ， ep=2， fp=32由勾股定理的逆定理，可知epf为 rts正方形 abcd =srtepf+srtepa+srtpfc=3+12+92=8 例 3 .如图 （3-1 ） 正方形 abcd 中, 边长 ab=3， 点 e、 f 分别在 bc 、 cd上, 且bae=300, daf=150。求 aef的面积。

24、( 第十一届希望杯邀请赛试题) abcdeff图（ 3-1 ）简解 ： 延长 cb至f使得 bf=df，连结 af，则 rt abf rtadf （sas ） 。fae =300 +150=450，fae=900 -300 -150=450易证 fae fae(sas) fea =fea=600，fec=600, 在 rtabe中, ab=3，bae=300 be=1, ce=3-1, fe=2ce=2(3-1), ef=ef=2(3-1) 所以 ,saef= safe=12ab ef=1232(3-1)=3-33、等腰直角三角形类型在等腰直角三角形abc中，c=rt, p 为 abc内一点，

25、将 apc绕 c点按逆时针方向旋转900，使得 ac与 bc重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b ）中的一个 pcp为等腰直角三角形。abcp?abcpp图（ 3-1-a ）图（ 3-1-b ）例 4如图（ 4-1 ） ，在 abc中，acb =900，bc=ac ，p为abc内一点，且pa=3 ，pb=1，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 24 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 24 页 - - - - - -

26、- - -pc=2 。求bpc的度数。123abcp?cabpp12323图（ 4-1）图（ 4-2 ）简解： 在 rtabc的外侧，作bcp=acp ，且 cp=cp=2 ，连结pp。则bcpacp 。易证 rt cpp为等腰直角三角形，在 pbp中， bp=3，bp=1 ，pp=22，由勾股定理的逆定理可知，ppb为 rt为 rt ，ppb=900bpc=cpp+ppb=450+90=1350 例 5. 如图 （5-1 ） ，在abc中，bac =900，ab=ac ，abc内一点 o ，ao=2cm, 如果把 abo绕 a点按逆时针方向转动900，使 ab与 ac重合，则 o点经过的路径

27、长为_。abcoo图（ 5-1 ）例 6 如图（ 6-1） ，五边形abcde 中，abc=aed=900，ab=cd=ae=bc+de=1，则这个五边形 abcde 的面积等于 _。 （2003 年宁波市至诚杯竞赛题）abcde?abcdec图（ 6-1）图（ 6-2 ）简解 ：延长 de至c使得 ec=bc ，连结 ac，则 aecabc （sas ）ab=cd=ae=bc+de=1， cd =cd cad cad（sss ）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 24 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可

28、选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 24 页 - - - - - - - - -sabcde=2 scda=2（1211）=1 4、 三角形与圆混合类型将cad绕 a点按顺时针方向旋转600到bad，经过旋转变化，将图（3-1-a ）中的 dc与 bd组合在一条直线上，见图（3-1-b ）此时dbd是个平角， add为正三角形。abcdo?abcdod图（ 3-1-a ）图（ 3-1-b ）例 7 如图（ 7-1） ，正三角形abc内接于 o ，p 是劣弧bc上任意一点，pa=2 ，则四边形abpc 的面积为 _。abcpo?abcpop图

29、（ 7-1）图（ 7-2 ）简解 ：延长 pb至p使得pb=pc ，连结 ap，则 apb apc （sas ）ap=ap，pab=pac ， 又 bac=600pap为正三角形s四边形 abpc = sap p =3四、与旋转有关的探索型题目1、条件探索型条件探索型的特征是给出了结论，要求探索使该结论成立所具备的条件. 解题时，一般需要从结论出发，逆向思维解( 即执果索因 ). 例 1:（遂宁） 如图 1, 把正方形 acfg 与 rt acb按如图 ( 甲) 所示重叠在一起, 其中 ac=2, bac=600, 若把 rt acb 绕直角顶点c按顺时针方向旋转, 使斜边 ab恰好经过正方形

30、acfg的顶点 f,得 abc， a b 分别与 a c,ab相交于d、e,如图 ( 乙) 所示 . 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 24 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 24 页 - - - - - - - - -. acb至少旋转多少度才能得到a bc?说明理由 . . 求 acb与 abc的重叠部分(即四边形cdef)的面积 ( 若取近似值 ,则精确到0.1) 解： acgf 是正方形， a b 经过点f

31、， a c=cf 又 a=60, acf是等边三角形 . 又acf=60 aca =90一 60=30, abc至少旋转30才能得到acb . (2) aca =30 ,bac=60 , ade=90 . 又 ac=2 ，可求得 cd=3. ad=2一3. 在 rtade中 , de=adtan60=(2 一_3) 3=23一 3 ade的面积为：12adde=12(2 一3) (23一 3) = 7362. 又 ab =4， a f= 2, f是 ab的中点 acf的面积 =12abc的面积 , 而 bc=a ctan60 =23, sabc=1222 3=23， sacf =3四边形 dc

32、fe的面积为：3一(7362)=3一732+6=6 一523( 若取近似值，则结果应约为1 7) 2、探索结论型结论探索型是指在一定的条件下无结论或结论不明确，需要探索发现与之相应的结论的题目；解结论探索型题的方法是由因导果. 例 2: （衡阳市） 已知，如图2，平行四边形abcd中， ab cd ，ab=1 ，bc=5，对角线ac 、bd交于 o点，将直线ac绕点 o顺时针旋转，分别交bc 、ad于点 e、f. _g_b_f_c_a(甲)_e_d_g_ b_f_c_a(乙)图 1 ba精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 2

33、4 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 24 页 - - - - - - - - -证明：当旋转角为090时，四边形是平行四边形；试说明在旋转过程中，线段af与 ec总保持相等；在旋转过程中，四边形bedf可能是菱形吗？如果不能，请说明理由：如果能，说明理由并求出此时ac绕点 o顺时针旋转的度数. 解: 证明 : 当 aof=090时, ab ef,又 afbe, 四边形abef为平行四边形 . ao=co, fao= eco, aof= coe. aof coe. af=ec. 四边形

34、bedf可是是菱形 . 理由 : 如图 2, 连接 bf、de. 由(2) 知 aof coe. 得 oe=of, ef与 bd互相平分 . 当 efbd时 , 四边形 bedf为菱形 . 在 rtabc中,ac=215, oa=1=ab . 又 ab ac aob=045， aof=045. ac绕点 o顺时针旋转045时, 四边形 bedf 为菱形 . 3、存在性探索型存在型探索题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目.解存在性探索题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论. 例 1.（河北） 如图 11，一等腰直角

35、三角尺gef的两条直角边与正方形abcd的两条边分别重合在一起现正方形abcd保持不动， 将三角尺gef绕斜边ef的中点o（点o也是bd中点）按顺时针方向旋转（1）如图 12，当ef与ab相交于点m，gf与bd相交于点n时，通过观察或测量bm，fn的长度，猜想bm，fn满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺gef旋转到如图13 所示的位置时， 线段fe的延长线与ab的延长线相交于点m，线段bd的延长线与gf的延长线相交于点n，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由o f e d c b a 图 2 图 12 eabd gfomnc 图 13abdgefomn

36、c图 11a( g ) b( e ) co d( f ) 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 24 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 24 页 - - - - - - - - -分析：本题主要考查旋转图形的性质，解答时应着眼于图形的旋转不变性来探索线段之间的变化规律 . 对于（1）问，经测量后可知bm=fn 然后利用三角形全等证明即可；对于（ 2）问，要明确，在继续旋转的过程中，虽然obm和ofn都发生了变化，但二者

37、之间全等的关系没变 .故结论成立 . 解： （1）bm=fn证明：gef是等腰直角三角形，四边形abcd是正方形， abd=f=45，ob = of又bom=fon obmofn bm=fn（2）bm=fn仍然成立证明：gef是等腰直角三角形，四边形abcd是正方形，dba=gfe=45，ob=ofmbo=nfo=135又mob=nof， obmofn bm=fn评注： 本题利用图形旋转的不变性，探索图形在旋转过程中的有关规律，让同学们体验图形旋转变换的性质，同时也考查了同学们空间想象、规律探索、推理能力以及分析问题、解决问题的能力，是一道不可多得的优秀题目. 例 2. （黑龙江鸡西）已知 a

38、ob=900，在 aob的平分线om 上有一点 c，将一个三角板的直角顶点与c重合， 它的两条直角边分别与oa 、ob(或它们的反向延长线) 相交于点d、e当三角板绕点c旋转到 cd与 oa垂直时 ( 如图 1)，易证： od+oe=2oc 当三角板绕点c旋转到 cd与 oa不垂直时，在图2、图 3 这两种情况下，上述结论是否还成立 ?若成立，请给予证明；若不成立，线段od 、oe 、oc之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明图 2-1 图 2-2 图 2-3 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 24 页 - -

39、- - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 24 页 - - - - - - - - -分析：由于在旋转的过程中，虽然点o的位置发生了变化，但aoc 和coe的大小不变，都是45，因此可过c分别作 oa 、ob的垂线，从而转化为等腰直角三角形（图1）来处理 . 对于图 3 可仿图 2 处理 . 解：图 2 结论： od+oe=2oc. 证明：过c分别作 oa 、ob的垂线，垂足分别为p、qcpd cqe ， dp=eq. op=od+dp，dq=oe-eq. 又 op+0q= 20c，即 od+dp+oe-

40、eq=20c. od+oe= 20c图 3 结论： oe-od= 2oc. 评注：从以上两例可以看出，解决这类问题的关键是要把握以下两点：1. 在解题时，认真观察图形，不放过一个细节，看清旋转的角度和方向，找准旋转前后的相关的角与边，在旋转的过程中，弄清变与不变的量；2. 再解决这类问题时，我们通常将其转换成全等形求解，根据旋转变换的特征，找到对应的全等形，通过线段、角的转换达到求解的目的. 练习部分一、选择题1、 （ 2009 年泸州）如图1，p是正 abc内的一点，若将pbc绕点 b 旋转到 pba ，则pbp 的度数是（） a45 b60 c90 d120 xy12430-1-2-312

41、3ab精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 24 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 24 页 - - - - - - - - -2、(2009 年陕西省 ) 如图， aob 90， b30， aob 可以看作是由aob绕点o顺时针旋转 角度得到的，若点a在 ab上，则旋转角 的大小可以是（）a30b 45c 60d903、 （ 2009 年桂林市、百色市）如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将abo绕点o按顺时

42、针方向旋转90， 得a b o，则点a的坐标为（） a （3，1） b （3， 2） c （2，3） d （1， 3）4、 、 （2009 年甘肃白银）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）a等腰梯形b平行四边形c正三角形d矩形5、 （ 2009 年台州市）单词name 的四个字母中，是中心对称图形的是（） a n ba m de 6、 （ 2009 年广西钦州）某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、 菱形等四种方案，你认为符合条件的是（）a等腰三角形b正三角形c 等腰梯形d菱形7、如图，在rtabc中，

43、abac ，d、e是斜边bc上两点，且dae=45，将 adc 绕点a顺时针旋转90后，得到afb，连接ef，下列结论：aedaef；abe acd ； bedcde ；222bedcde其中正确的是（）a； b ； c；d8、 (2009年四川省内江市) 已知如图1 所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180o后得到图2，则旋转的牌是（）9、(2009 成都 ) 在平面直角坐标系xoy 中，已知点a(2，3) ，若将 oa绕原点 o逆时针旋转180得到 0a，则点a在平面直角坐标系中的位置是在（）(a) 第一象限 (b)第二象限 (c)第三象限 (d)第四象限图 1 图 2 abcdbcdefa

44、精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 24 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 24 页 - - - - - - - - -10、 （2009 年崇左）已知点a的坐标为()ab，o为坐标原点，连结oa，将线段oa绕点o按逆时针方向旋转90得1oa，则点1a的坐标为（） a()ab， b()ab， c()ba， d()ba，二、填空题1、 （ 2009 肇庆）在平面直角坐标系中，点(23)p，关于原点对称点p的坐标是2、

45、（ 2009 年衡阳市）点a的坐标为（2，0） ，把点 a绕着坐标原点顺时针旋转135o到点 b，那么点b的坐标是 _ 3、 （ 2009年 枣 庄 市 ） 如图，直线443yx与x轴、y轴分别交于a、b两点，把aob绕点a顺时针旋转90后得到ao b，则点b的坐标是4、(2009 年抚顺市 )如图所示，在平面直角坐标系中，oab三个顶点的坐标是(0 0)3 45 2oab，、 ( ，)、（ ， ） 将oab绕原点o按逆时针方向旋转90后得到11oab，则点1a的坐标是三、解答题1如图， p是正方形内一点，将abp绕点 b顺时针方向旋转能与cbp 重合，若bp=3 ，求 pp 2正方形abcd

46、 内一点 p，使得 pa：pb ：pc=1 ：2：3，证明 apb=135 3、如图 p是等边 abc内一点， pa=3 ，pb=4 ， pc=5 ，则 apb= 4、 （ 2009 年河南）如图，在rtabc中，acb=90, b =60，a b o xyobobab ya1 b1 x a b c p 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 24 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 24 页 - - - - - - -

47、- -bc=2点0是ac的中点，过点0的直线l从与ac重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交ab边于点d. 过点c作ceab交直线l于点e，设直线l的旋转角为 . (1) 当 =_度时，四边形edbc是等腰梯形，此时ad的长为 _；当 =_度时，四边形edbc是直角梯形，此时ad的长为 _；(2) 当=90时 , 判断四边形edbc是否为菱形，并说明理由5、如图， abc中， acb 90o，acbc 1，将 abc绕点 c逆时针旋转角 。(0 o90o) 得到 a1b1c1，连结 bb1. 设 cb1交 ab于 d，alb1分别交 ab 、 ac于 e、f. (1) 在图中不再添加其它任何线

48、段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明( abc与 a1b1c1全等除外 ) ；(2) 当 bb1d是等腰三角形时，求；(3) 当 60o 时，求 bd的长6、（13 分） 已知rtabc中，90acbccd，为ab边的中点，90edf ，edf绕d点旋转，它的两边分别交ac、cb（或它们的延长线）于e、f当edf绕d点旋转到deac于e时（如图1） ，易证12defcefabcsss当edf绕d点旋转到deac和不垂直时，在图2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，defs、cefs、abcs又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明a e c

49、 f b d 图 1 图 3 a d f e c b a d b c e 图 2 f 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 24 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 24 页 - - - - - - - - -7已知正方形abcd 和正方形aefg 有一个公共点a, 点 g、e分别在线段ad 、ab上 . (1) 如图 1, 连接 df 、bf,若将正方形aefg绕点 a按顺时针方向旋转, 判断命题 :“在旋转的过程中线

50、段df与 bf的长始终相等. ”是否正确 , 若正确请说明理由,若不正确请举反例说明; (2) 若将正方形aefg绕点 a按顺时针方向旋转, 连接 dg,在旋转的过程中, 你能否找到一条线段的长与线段dg的长始终相等. 并以图 2 为例说明理由 . 8、将两块含30角且大小相同的直角三角板如图1 摆放 . （1）将图 1 中 dec绕点 c顺时针旋转任意角度，则 acb1+bca1=_ （2） 、将图 1 中11a b c绕点 c顺时针旋转45得图 2，点11pa c是与 ab的交点。求出图中acp1的各个内角的度数；求证：112cpap2；（3） 、将图 2 中11a b c绕点 c顺时针旋

51、转30到22a b c（如图 3） ，点22pa c是与 ab的交点。求出图中cp1 p2的各个内角的度数；图1gfedcbad图2gfecba精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 24 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 24 页 - - - - - - - - -线段112cppp与之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由；（ 4） 、将图3 中线段1cp绕点 c 顺时针旋转60到3cp（如图 4）

52、，连结32pp，求证：32p pab. 9、把两个全等的直角三角板abc和 efg叠放在一起， 使三角板efg的直角顶点g与三角板abc的斜边中点o重合，其中 b f 30，斜边ab和 ef长均为 4(1) 当 egac于点 k，gf bc于点 h时（如图） ，求 gh ：gk的值(2) 现将三角板efg由图所示的位置绕o点沿逆时针方向旋转，旋转角满足条件： 0 30（如图） ，eg交 ac于点 k ，gf交 bc于点 h，gh ：gk的值是否改变？证明你发现的结论； (3) 在下， 连接 hk ，在上述旋转过程中，设 gh=x，gkh的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值

53、范围；10、 （ 海 口 实 验 区 ） 在 abc中， acb =90，ac=bc ，直线 mn经过点 c，且 ad mn 于 d，be mn于 e. （ 1） 、当直线mn绕点 c旋转到图 1 的位置时，求证： adc ceb ；de=ad be ；（ 2） 、当直线mn绕点 c旋转到图 2 的位置时，求证： de=ad-be ；(备用图 ) (图 ) (图 ) g(o)bachkfg(o)bacehkfg(o)bacea b c d e m n 图 2精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 24 页 - - - - - -

54、 - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 24 页 - - - - - - - - -（ 3） 、当直线mn绕点 c旋转到图 3 的位置时，试问 de 、ad 、 be具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明. 11 已知：将一副三角板(rtabc和rtdef) 如图摆放，点e、a、d、b在一条直线上，且d是ab的中点。 将rtdef绕点d顺时针方向旋转角 (0 90 ) ，在旋转过程中，直线de、ac相交于点m，直线df、bc相交于点n，分别过点m、n作直线ab的垂线，垂足为g、h。（1）当 30时 ( 如图 ) ，求证：ag=dh；（2）当 60时 ( 如图 ) ，(1) 中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；12已知：正方形abcd中，45man，man绕点a顺时针旋转，它的两边分别交cbdc，（或它们的延长线）于点mn，当man绕点a旋转到bmdn时（如图1） ，易证bmdnmn（1）当man绕点a旋转到bmdn时（如图 2） ，线段bmdn，和mn之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明（2）当man绕点a旋转到如图3 的位置时，线段bmdn，和mn之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想a c b e d n m 图 3a g d h m e f c