2022年七年级数学培优提高讲义相交线与平行线(一)

1、优秀学习资料欢迎下载一、学问要点：七年级数学竞赛讲座：相交线与平行线1. 平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行；2. 两条不同的直线，如它们只有一个公共点，就说它们相交；即，两条直线相交有且只有一个交点；3. 垂直是相交的特别情形；有关两直线垂直，有两个重要的结论：（ 1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（ 2）直线外一点与直线上全部点的连线中，垂线段最短；4两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，假如两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做 ；假如两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关

2、系的一对角叫做；假如两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做 .5. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线 .推论：假如两条直线都与第三条直线平行，那么 .6. 平行线的判定：两条直线被第三条直线所截，假如同位角相等，那么这两条直线平行.简洁说成：. 两条直线被第三条直线所截，假如内错角相等，那么这两条直线平行 .简洁说成：. 两条直线被第三条直线所截，假如同旁内角互补，那么这两条直线平行.简洁说成：.7. 在同一平面内，假如两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线 .8. 平行线的性质：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简洁说成：

3、.两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简洁说成： .两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简洁说成：；.方法指导： 平行线中要懂得平行公理，能娴熟地找出 “三线八角” 图形中的同位角、 内错角、同旁内角， 并会运用与“三线八角” 有关的平行线的判定定理和性质定理，利用平行公理及 其推论证明或求解；二、例题精讲3a例 1如图 1 ，直线 a 与 b 平行， 1 3x+70 °, 2=5x+22 °,l求 3 的度数；4例 2已知：如图 2 ， ab ef cd ，eg 平分 bef， b+2bbed+ d =192°，abgefcd b- d=24 &#

4、176;，求 gef 的度数；解： ab ef cd b= bef， def= d （两直线平行，内错角相等） b+ bed+ d =192 °（已知） 即 b+ bef+ def+ d=192 ° 2（ b+ d ） =192°（等量代换）就 b+ d=96 °（等式性质） b- d=24 °（已知）图2 b=60 °（等式性质） 即 bef=60 °（等量代换） eg 平分 bef（已知） gef=1 bef=30 °（角平分线定义）2例 3 如图（ 3），已知 ab cd ，且 b=40 °， d=

5、70 °，求 deb 的度数；解：过 e 作 ef abab cd （已知）cdef cd （平行公理） bef= b=40 ° def= d=70 °（两直线平行，内错角相等）ab deb= def- bef deb = d- b=30 °ef评注：证明或解有关直线平行的问题时，假如不构成“三线八角”，就应添出帮助线；图（ 3）例 4 已知锐角三角形 abc 的三边长为 a， b， c，而 ha，hb，hc 分别为对应边上的高线长， 说明： ha+hb+hc a+b+c分析：对应边上的高看作垂线段，而邻边看作斜线段证明：由垂线段最短知，ha c ， h

6、b a，hc b以上三式相加得 ha+hb +hc a+b+c讨论垂直关系应把握好垂线的性质；1. 以过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；bc ha2. 垂线段最短；例 5 如图（ 4），直线 ab 与 cd 相交于 o， efab 于 f，ghcd 于ah，求证 ef 与 gh 必相交；分析：欲证 ef 与 gh 相交，直接证很困难，可考虑用反证eg法；ad证明：假设 ef 与 gh 不相交；fhef、gh 是两条不同的直线ocbef ghefabghab又因 ghcd故 ab cd 垂直于同始终线的两直线平行图（ 4） 这与已知 ab 和 cd 相交冲突；所以 ef 与 gh 不平行，即

7、 ef 与 gh 必相交评注：此题应用结论：(1) 垂直于同一条直线的两直线平行；(2) 两条平行线中的一条直线垂直于第三条直线，那么另一条直线也平行于第三条直线；例 6 平面上 n 条直线两两相交且无3 条或 3 条以上直线共点，有多少个不同交点？ 解： 2 条直线产生1 个交点，第 3 条直线与前面 2 条均相交，增加 2 个交点，这时平面上3 条直线共有 1+2=3 个交点；第 4 条直线与前面 3 条均相交，增加 3 个交点，这时平面上4 条直线共有 1+2+3=6 个交点；就n 条直线共有交点个数：1+2+3+ + n-1=1nn-12评注：此题是平面上n 条直线交点个数最多的情形，

8、需要认真观看，由简及繁，深化摸索， 从中发觉规律；例 7 6 个不同的点，其中只有3 点在同一条直线上， 2 点确定一条直线，问能确定多少条直线？解： 6 条不同的直线最多确定：5+4+3+2+1=15 条直线，除去共线的3 点中重合多算的2 条直线，即能确定的直线为15-2=13 条；另法： 3 点所在的直线外的3 点间最多能确定 3 条直线，这 3 点与直线上的3 点最多有 3×3=9 条直线，加上 3 点所在的直线共有： 3+9+1=13 条评注：一般地，平面上n 个点最多可确定直线的条数为：1+2+3+ +n-1=1nn-12例 8 10 条直线两两相交，最多将平面分成多少块

9、不同的区域？解： 2 条直线最多将平面分成2+2=4 个不同区域；3 条直线中的第 3 条直线与另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成3 段， 每一段将它所在的区域一分为二，就区域增加3 个，即最多分成 2+2+3=7 个不同区域；同理： 4 条直线最多分成 2+2+3+4=11 个不同区域；10 条直线最多分成 2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56个不同区域推广： n 条直线两两相交，最多将平面分成2+2+3+4+ +n=1+1nn+1=212n +n+2 块不同2的区域摸索：平面内n 个圆两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？例 9 平面上 n 条直线两两相交，求

10、证所成得的角中至少有一个角不大于0180n证明：平面上n 条直线两两相交最多得对顶角n n21 × 2 nn-1 对，即 2nn-1 个角平面上任取一点 o，将这 n 条直线均平行移动过点 o， 成为交于一点 o 的 n 条直线，这 n 条直线将以 o 为顶点的圆周角分为 2n 个（共 n 对） 互不重叠的角： 1、 2、 3、 2n由平行线的性质知，这 2n 个角中每一个都和原先 n 条直线中的某两条直线的交角中的一个角相等，即这 2n 个角均是原 2nn-1 个角中的角；180 0l 3l2ol n180 0如这 2n 个角均大于，就1+ 2 +3+ 2n 2n×n=3

11、60° ,n而1+2+3+ + 2n =360° , 产生冲突故1、 2、 3、 2n 中至少有一个小于180 0，n即原先的 2nn-1中至少有一个角不小于180 0n评注：通过平移，可以把原先分散的直线集中交于同一点，从而解决问题；例 10（ a）请你在平面上画出6 条直线（没有三条共点） ，使得它们中的每条直线都恰与另3 条直线相交，并简洁说明画法；（ b）能否在平面上画出7 条直线（任意 3 条都不共点） ，使得它们中的每条直线都恰与另 3 条直线相交，假如能请画出一例，假如不能请简述理由；解：（ a）在平面上任取一点a ；过 a 作两直线 m1 与 n1；在 n1

12、 上取两点 b， c，在m1 上取两点 d，g；过 b 作 m2 m1，过 c 作 m3 m1，过d 作 n2 n1，过 g 作 n3 n1，这时 m2、m3、n2、n3 交得 e、f、h、i 四点，如下列图；由于彼此平行的直线不相交，所以，图中每条直线都恰与另3 条直线相交；（b）在平面上不能画出没有3 线共点的 7 条直线，使得其中每条直线都恰与另外3 条直线相交；理由如下：adgm1behm2 cfim3nn12n3假设平面上可以画出7 条直线， 其中每一条都恰与其它3 条相交， 因两直线相交只有一个交点，又没有 3 条直线共点，所以每条直线上恰有与另3 条直线交得的 3 个不同的交点；

13、依据直线去计数这些交点，共有3× 721 个交点，但每个交点分属两条直线，被重复计数一次，所以这7 条直线交点总数为21 10.5 个，由于交点个数应为整数，冲突；2所以，满意题设条件的7 条直线是画不出来的；三、巩固练习1平面上有 5 个点，其中 仅有 3 点在同始终线上，过每2 点作一条直线，一共可以作直线（）条a 6b 7c 8d 9 2平面上三条直线相互间的交点个数是（）a 3b 1 或 3c 1 或 2 或 3d 不肯定是 1， 2， 33. 平面上 6 条直线两两相交，其中仅有3 条直线过一点，就截得不重叠线段共有（）a 36 条b 33 条c 24 条d 21 条4.

14、已知平面中有 n 个点a, b, c 三个点在一条直线上，a, d, f , e 四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n个点作一条直线，那么一共可以画出38 条不同的直线，这时 n等于（）（ a） 9（ b） 10（ c）11（ d） 125. 如平行直线 ab 、cd 与相交直线 ef、gh 相交成如图示的图形， 就共得同旁内角 （）a 4 对b 8 对c12 对d 16 对6如图，已知 fd be，就 1+ 2- 3=a 90°b 135°c 150°d 180°aeg3a1eab1cfgcdbcd22fdh第 5 题fb第

15、6题e第 7 题7. 如图，已知 ab cd ， 1= 2，就 e 与 f 的大小关系；8. 平面上有 5 个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5 点之外这些直线最多仍有交点9. 平面上 3 条直线最多可分平面为个部分；a10. 如图， 已知 ab cd ef，ps gh 于 p， frg=110 °， 就 psq；ce11. 已知 a 、b 是直线 l 外的两点，就线段ab 的垂直平分线与直线的交点个数是；gpbqdslfr第10题h12. 平面内有 4 条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过个；13. 已知：如图，decb ，求证： aed= a+ b14. 已知：如图

16、，ab cd ，求证： b+ d+ f=e+ gabaefdegcdcb第 13 题第 14 题15. 如图，已知 cbab ， ce 平分 bcd ，de 平分 cda ， edc+ ecd =90 °，求证： daab 16平面上两个圆三条直线，最多有多少不同的交点？17. 平面上 5 个圆两两相交， 最多有多少个不同的交点？最多将平面分成多少块区域？18. 始终线上 5 点与直线外 3 点， 每两点确定一条直线， 最多确定多少条不同直线？a deb c第 15 题19. 平面上有 8 条直线两两相交，试证明在全部的交角中至少有一个角小于23°；20. 平面上有 10

17、条直线， 无任何三条交于一点，欲使它们显现31 个交点，怎样支配才能办到？画出图形；答案1. 5 个点中任取 2 点，可以作 4+3+2+1 10 条直线，在始终线上的3 个点中任取 2 点，可作 2+1 3 条，共可作 10-3+1 8（条）应选 c2. 平面上 3 条直线可能平行或重合；应选d3. 对于 3 条共点的直线， 每条直线上有 4 个交点， 截得 3 条不重叠的线段， 3 条直线共有 9条不重叠的线段对于 3 条不共点的直线， 每条直线上有5 个交点， 截得 4 条不重叠的线段， 3 条直线共有12条不重叠的线段；故共有 21 条不重叠的线段；应选d4. 由 n 个点中每次选取两

18、个点连直线，可以画出nn21 条直线， 如a, b, c 三点不在一条直线上，可以画出3 条直线，如a, d, e, f四点不在一条直线上，可以画出6 条直线，nn1 236238.整理得 n 2n900, n10 n900. n+9 0 n10, 选 b；5. 直线 ef、gh 分别“截”平行直线ab 、cd ，各得 2 对同旁内角，共 4 对；直线 ab 、cd 分别“截”相交直线ef、gh ，各得 6 对同旁内角，共12 对；因此图中共有同旁内角4+6 16 对aeg3a1eab1fgcdccdbh第 5 题f2fdb第 6 题e26. fd be 2= agf agc= 1-3 1+

19、2-3= agc+ agf=180 ° 选 b7解： ab cd（已知） bad= cda （两直线平行，内错角相等） 1= 2（已知） bad+ 1= cda+ 2（等式性质） 即 ead= fdaae fd e f8. 解： 每两点可确定一条直线，这 5 点最多可组成 10 条直线， 又每两条直线只有一个交点，所以共有交点个数为9+8+7+6+5+4+3+2+1 45（个）又因平面上这 5 个点与其余4 个点均有 4 条连线，这四条直线共有3+2+1 6 个交点与平面上这一点重合应去掉，共应去掉5×6=30 个交点，所以有交点的个数应为 45-30 15 个9. 可分

20、7 个部分 10解 ab cd ef apq dqg= frg=110 °同理 psq= aps psq= apq- spq= dqg- spq=110°-90° =20 °11. 0 个、 1 个或很多个gapbcqdselfr第10题h1） 如线段 ab 的垂直平分线就是l ，就公共点的个数应是很多个；2） 如 abl ，但 l 不是 ab 的垂直平分线，就此时ab 的垂直平分线与l 是平行的关系， 所以它们没有公共点，即公共点个数为0 个；3） 如 ab 与 l 不垂直，那么 ab 的垂直平分线与直线l 肯定相交，所以此时公共点的个数为 1 个f1

21、2. 4 条直线两两相交最多有1+2+3 6 个交点a13. 证明：过 e 作 efba 2= a （两直线平行，内错角相等）de cb ，deef ba 1= b（两个角的两边分别平行，这两个角相等）cb 1+ 2=b+ a （等式性质）即 aed= a+ b14. 证明：分别过点e、f、g 作 ab 的平行线 eh 、pf、 gq，就 ab eh pf gq（平行公理）b ab ehehpfgqcdabe beh （两直线平行，内错角相等） 同理： hef efp pfg fgq qgd gdcabe+ efp+ pfg+ gdc beh+ hef+ fgq+ qgd（等式性质）即b+ d

22、+ efg= bef+ gfd15. 证明： de 平分 cdace 平分 bcd edc= aadeecd = bce角平分线定义 cda + bcd= edc+ ade+ ecd+ bce=2（ edc+ ecd） 180°eda cb又cbabdaabb16. 两个圆最多有两个交点，每条直线与两个圆最多有4 个交点，三条直线最多有 3 个不同的交点，即最多交点个数为：2+4 ×3+3=17dc第 15 题17（ 1） 2 个圆相交有交点 2×1 1 个，第 3 个圆与前两个圆相交最多增加2×2 4 个交点，这时共有交点2+2 × 26 个

23、第 4 个圆与前 3 个圆相交最多增加2×3 6 个交点，这时共有交点2+2 × 2+2× 3 12 个第 5 个圆与前 4 个圆相交最多增加2×4 8 个交点5 个圆两两相交最多交点个数为：2+2× 2+2× 3+2× 420（2） 2 个圆相交将平面分成2 个区域3 个圆相看作第 3 个圆与前 2 个圆相交，最多有 2× 24 个不同的交点，这 4 个点将第 3 个圆分成 4 段弧， 每一段弧将它所在的区域一分为二， 故增加 2×2 4 块区域， 这时平面共有区域： 2+2 × 2 6 块4 个圆相看作第 4 个圆与前 3