等比数列知识点总结与典型例题+答案

1、等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：anq q0n2, 且 nN *， q 称为公比an 12、通项公式：an a1 qn 1a1 qnA Bna1q0,A B0 ，首项： a1 ；公比： qq推广： anam qn mqnmanq nmanamam3、等比中项：（1）如果 a, A, b 成等比数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项，即： A2ab 或 Aab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（2）数列 an 是等比数列a2aan 1nn 14、等比数列的前 n 项和 Sn 公式：（1）当 q1时， Snna1（2）当 q1时， Sna1 1qna1a

2、n q1q1qa1a1qnA A BnA ' BnA' （ A,B, A',B ' 为常数）1 q1 q5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的 n ，都有 an 1an 1an 0) an 为等比数qan 或为常数，q(qan列（2）等比中项： an2an 1an1 (an 1 an 10) an 为等比数列（3）通项公式： anA BnA B0 an 为等比数列6、等比数列的证明方法：依据定义：若 anqq 0n 2, 且 nN *或 an1qan an 为等比数列an17、等比数列的性质：1（ 2）对任何 m, nN * ，在等比数列 an 中，有

3、anam qn m 。（ 3）若 m n st( m,n, s,t N * ) ，则 anam asat 。特别的，当 m n 2k 时，得an am ak2注： a1 an a2 an 1a3an 2等差和等比数列比较：等差数列等比数列定义an 1anda n 1q(q0)a n递推公ana n 1d ； ana m nmda nan 1q ； anam q n m式通项公ana1(n 1)dana1 qn 1 （ a1 , q0 ）式a n ka n k（ n, k N * , n f k fGan k an k (an k an k f 0) （ n, k N * , n f k f 0

4、中项A0 ）2）Snn (a1an )na1 (q 1)前 n 项和2S na1 1 q na1an qn( n 1) d(q2)Snna11 q1 q2重要amana paqa m ana p aq性质(m, n, p, qN * , mnpq)( m, n, p, q N * , mnpq)经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例 1等比数列 an 中， a1 a964,a3 a7 20 , 求 a11 .思路点拨： 由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于a1 和 q 的二元方程组，解出a1 和 q ，可得 a11 ；或注意到下标 1937 ，可以利用性质可求出a3 、 a7 ，再求

5、 a11 .2总结升华：列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式 1】 a n 为等比数列， a1=3，a9=768，求 a6。【变式 2】 a n 为等比数列， an 0，且 a1a89=16，求 a44a45a46 的值。【变式 3】已知等比数列 an ，若 a1a2a37 ， a1a2a38 ，求 an 。类型二：等比数列的前n 项和公式例 2设等比数列 a n 的前 n 项和为 Sn，若 S3+S6=2S9，求数列的公比 q.举一反三：1 1【变式

6、 1】求等比数列 1,L 的前 6 项和。【变式 2】已知： a n 为等比数列， a1a2a3=27， S3=13，求 S5.3【变式 3】在等比数列 an 中， a1an66 ， a2 an 1128， Sn126 ，求 n 和 q 。类型三：等比数列的性质例 3.等比数列 an 中，若 a5 a69 , 求 log3 a1log 3 a2.log3 a10 .举一反三：【变式 1】正项等比数列 an 中，若 a1·a100=100;则lga 1+lga 2+lga 100=_.【变式 2】在 8 和 27 之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积32为 _。类

7、型四：等比数列前n 项和公式的性质例 4在等比数列 an 中，已知 Sn48 ， S2n60 ，求 S3 n 。思路点拨： 等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前 k 项和，第 2 个 k 项和，第 3 个 k 项和， ，第 n 个 k 项和仍然成等比数列。举一反三：【变式 1】等比数列 an 中，公比 q=2, S 4=1, 则 S8=_.【变式 2】已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 S10=10, S 20=40, 求： S30=？4【变式 3】等比数列 an 的项都是正数，若Sn=80,S2n=6560，前 n 项中最大的一项为54，求 n

8、.【变式 4】等比数列 an 中，若 a1+a2=324, a 3+a4=36, 则 a5+a6=_.【变式 5】等比数列 an 中，若 a1+a2+a3=7,a 4+a5+a6=56, 求 a7+a8+a9 的值。类型五：等差等比数列的综合应用例 5已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去 32，则成等差数列 . 若再将此等差数列的第二项减去 4，则又成等比数列 . 求原来的三个数 .思路点拨： 恰当地设元是顺利解方程组的前提 . 考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式 .总结升华： 选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数5为 a-d, a

9、, a+d；若三数成等比数列，可设此三数为x ，x, xy 。但还要就问题而言，这里解y法二中采用首项a，公比 q 来解决问题反而简便。举一反三：【变式 1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上 4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上 32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列 .【变式 2】已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。【变式 3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和为 12，求这四个数 .类型六：等比数列的判断与证明例 6已知数列 a n

10、 的前 n 项和 Sn 满足： log 5(S n+1)=n(nN+), 求出数列 a n 的通项公式，并判断 a n 是何种数列？思路点拨： 由数列 a n 的前 n 项和 Sn 可求数列的通项公式，通过通项公式判断a n 类型 .举一反三：【变式 1】已知数列 Cn ，其中 Cn=2n+3n，且数列 Cn+1-pCn 为等比数列，求常数 p。【答案】 p=2 或 p=3；6【证明】 设数列 a n 、b n 的公比分别为 p, q ，且 pq【变式 3】判断正误：(1)a n 为等比数列a7=a3a4；(2) 若 b2=ac，则 a，b，c 为等比数列；(3)a n ，b n 均为等比数列

11、，则 a nbn 为等比数列；(4)a n 是公比为 q 的等比数列，则 an2 、1仍为等比数列；an(5) 若 a，b，c 成等比，则 log ma，log mb， log mc 成等差 .类型七： Sn 与 an 的关系例 7已知正项数列 a n ，其前 n 项和 Sn 满足 10Snan25an6 ，且 a1，a3，a15 成等比数列，求数列 a n 的通项 an.总结升华： 等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是ana1(n1) ，SnSn 1 ( n2)尤其注意首项与其他各项的关系.举一反三：【变式】命题 1：若数列 a n 的前 n 项和 Sn=an+b(a1) ，则数列

12、 a n 是等比数列；命题2：若数列 a n 的前 n 项和 Sn=na-n，则数列 a n 既是等差数列，又是等比数列。上述两个命题中，真命题为个.7经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例 1 等比数列 an 中， a1a964 ,a3 a720, 求 a11 .思路点拨： 由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于a1 和 q 的二元方程组，解出a1 和 q ，可得 a11 ；或注意到下标 1 937 ，可以利用性质可求出a3 、 a7 ，再求 a11 .解析：法一： 设此数列公比为a1a9a1 a1q864(1)q ，则a1q2a1q6a3a720(2)由 (2) 得： a1q2 (

13、1 q4 )20.(3) a1 0 .由 (1) 得： (a q4 ) 264 , a q48 .(4)11(3) ÷(4)得： 1 q4205 ，q282 2q45q22 0 , 解得 q22 或 q21当 q2a1 q1022 时， a12 ， a1164 ；当 q21 时， a132 ， a11a1 q101 .2法二： a1a9a3a764 ,又 a3a720 , a3 、 a7 为方程x220x64 0的两实数根，a316或a34a7a74162a2 a3 a11 a7 , a1171或 a1164 .a3总结升华：列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少

14、计算量；解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零） .举一反三：【变式 1】 a n 为等比数列， a1 =3， a9=768，求 a6。【答案】 ±96法一： 设公比为 q，则 768=a1q8，q8=256， q=±2，a6=±96 ；法二： a5 2=a1a9a5=±48q=±2，a6 =±96。【变式 2】 a n 为等比数列， an 0，且 a1a89=16，求 a44a45a46 的值。8【答案】 64； a1a89a45216 ，又 an 0，a45=4 a aaa3

15、64 。44454645【变式3】已知等比数列 an ，若 a1a2a37， a1a2 a38 ，求 an 。【答案】 an2n1 或 an23n ；法一： a1a3a22 ， a1a2 a3a238 ， a22从而a1a35, 解之得 a11， a34 或 a14， a3 1a1a34当 a11时， q2 ；当 a14 时， q1 。2故 an2n 1 或 an23 n 。法二 ：由等比数列的定义知a2a1q ， a3a1q2aa qa q27代入已知得111a1a1q a1q28a1 (1qq2 )7,a1 (1qq2 )7, (1)a3q38a1 q2(2)1将 a12 代入（ 1）得

16、2q25q20，q解得 q2 或 q12a11a14由（ 2）得1，以下同方法一。q或q22类型二：等比数列的前n 项和公式例 2 设等比数列 a n 的前 n 项和为 Sn，若 S3+S6=2S9，求数列的公比q.解析： 若 q=1，则有 S3=3a1， S6=6a1， S9=9a1.因 a10，得 S3+S62S9，显然 q=1 与题设矛盾，故q1.由S3 S62S9 得， a1(1 q3 )a1(1 q6 )2a1 (1 q9 ) ，1 q1 q1 q整理得 q3(2q 6-q 3-1)=0 ，由 q0，得2q6-q 3-1=0 ，从而 (2q 3 +1)(q 3-1)=0，9因 q31

17、，故 q31 ，所以 q3 4 。22举一反三：【变式 1】求等比数列111, ,L364 ；39【答案】2431 ， n a1 1， q63的前 6 项和。16116 S63311364 。12324313【变式 2】已知： a n 为等比数列，a1a2a3=27，S3 =13，求 S5.121【答案】 121；3a (1q3 )1 a227 a2 3 ， 131q 3 q，则 a1=1 或 a1=91q31 S513591 3512113121S51.193【变式 3】在等比数列 an 中， a1 an66 ， a2 an 1128， Sn 126 ，求 n 和 q 。【答案】 q1 或

18、2， n6；2 a2an 1a1an ， a1an128解方程组a1 an128a164a12，得或a1an 66an2an64a164aa q1将代入 Sn1n，得 q，an1q22由 ana1qn 1 ，解得 n6 ；a12aa q将代入 Sn1n，得 q2，an1q64由 ana1qn 1 ，解得 n6 。10 q1 或 2， n 6 。2类型三：等比数列的性质例 3.等比数列 an 中，若 a5a69 , 求 log3 a1log3 a2.log 3 a10 .解析： an 是等比数列，a1 a10a2a9a3 a8a4 a7a5a69 log 3 a1 log3 a2 Llog 3

19、a10log3 (a1 a2a3 L a10 )log3 ( a5 a6 )5log 3 9510举一反三：【变式1】正项等比数列 an中，若 a ·a =100;则 lga1+lga +lga100=_.11002【答案】 100； lga 1+lga 2+lga 3+lga 100=lg(a 1·a2 ·a3· ·a100)而 a1· a100=a2· a99=a3· a98=a50· a51原式 =lg(a1· a100)50=50lg(a 1· a100)=50 ×

20、lg100=100 。【变式 2】在 8 和 27 之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_。32【答案】 216；法一： 设这个等比数列为 an ，其公比为 q ， a18 ， a527a1q48 q4 ， q481 ， q2 93231648393 aaaa q a q2a q3a3 q663216 。234111134法二： 设这个等比数列为 an ，公比为 q ，则 a18 ， a527 ，32加入的三项分别为a2 ， a3 ， a4 ，由题意 a1 ， a3， a5 也成等比数列，a3282736，故 a3 6 ，32 a2a3a4a32 a3a33216 。类

21、型四：等比数列前n 项和公式的性质例 4 在等比数列 an 中，已知 Sn 48 ， S2n60，求 S3n 。思路点拨： 等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前k 项和，第 2 个 k 项和，第 3 个 k 项和，第 n 个 k 项和仍然成等比数列。解析：法一： 令 b1=Sn=48, b 2=S2n-S n=60-48=12 ， b3=S3n-S 2n 观察 b1=a1+a2+ +a n,b2=an+1+an+2+ +a 2n=qn(a 1+a2+ +a n) ， b3=a2n+1+a2n+2+ +a 3n=q2n(a 1+a2+ +a n )11易知 b

22、1,b2,b 3 成等比数列，b3b22122b13，48S3n=b3+S2n=3+60=63.法二： S2 n2Sn ， q1 ，a (1qn )1481q由已知得a1 (1 q2 n )601q÷得1 qn5 ，即 qn144a164，代入得1 q S3na1 (1 q3n )64(113 )63。1 q4法三： an 为等比数列，Sn ， S2 nSn ， S3nS2n 也成等比数列， ( S2 nSn )2Sn ( S3 n S2 n ) ， S3n( S2 nSn )2S2n(6048)2Sn4860 63。举一反三：【变式 1】等比数列 an 中，公比q=2, S 4=1

23、, 则 S8=_.【答案】 17；S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4(a 1+a2+a3+a4)=S4+q4S4=S4(1+q 4)=1 ×(1+2 4)=17【变式 2】已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn, 且 S10=10, S20=40,求： S30=？【答案】 130；法一： S10， S20-S 10， S30-S 20 构成等比数列， (S 20-S10) 2=S10·(S 30-S 20)即 302=10(S 30-40), S30=130.法二： 2S S ， q1,1020 S10a1(1q

24、10 )10 , S20a1 (1 q20 ),1q1q401q10110a, q3, 15q204q11a (1q30 )3 S1( 5)(13 )130 .301q【变式3】等比数列 an 的项都是正数，若Sn=80, S 2n=6560，前 n 项中最大的一项为54，求 n.【答案】 Sn80， q1( 否则Sn1)6560S2 n2S2n12 Sna1 (1qn ) =80 .(1)1qa1 (1q2 n )，S2 n1=6560.(2)q(2) ÷(1)得： 1+qn=82, qn=81.(3)该数列各项为正数，由(3) 知 q>1a n 为递增数列，a n 为最大项

25、54.an=a1qn-1 =54, a1qn=54q, 81a 1=54q.(4) a154 q2 q 代入 (1)得 2 q(1 81)80(1 q) ，8133 q=3, n=4.【变式 4】等比数列 an 中，若 a1+a2=324, a 3+a4=36,则 a5+a6=_.【答案】 4；令 b1=a1+a2=a1(1+q) ， b2=a3+a4=a1q2(1+q),b3=a5+a6=a1q4(1+q),易知： b1 , b 2 , b 3 成等比数列， b3= b22=362=4,即 a5+a6=4.b1324【变式 5】等比数列 an 中，若 a1+a2+a3=7,a 4+a5 +a

26、6=56,求 a7+a8+a9 的值。【答案】 448； a n 是等比数列， (a4+a5+a6)=(a 1+a2+a3)q3 ,q3=8,a7+a8+a9=(a 4+a5+a6)q 3=56×8=448.类型五：等差等比数列的综合应用例 5 已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等差数列 . 若再将此等差数列的第二项减去 4，则又成等比数列. 求原来的三个数 .思路点拨： 恰当地设元是顺利解方程组的前提. 考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式 .解析：法一： 设成等差数列的三数为 a-d, a,a+d.则 a-d, a, a+d+32成等比数

27、列， a-d, a-4, a+d成等比数列 .a 2( ad )(ad32). .(1)4) 2(ad )( ad ). .(2)( ad 216.(3)由 (2) 得 a=8由 (1) 得 32a=d2+32d .(4)(3) 代 (4)消 a，解得 d8 或 d=8.8 时 , a263当 d；当 d=8 时 ,a=1039原来三个数为2,26,338 或 2,10,50.9992，则 a, aq,aq2-32 成等差数列， a, aq-4, aq2-32 成等比数列法二： 设原来三个数为a, aq, aq132aqaaq 232.(1)4) 2a( aq 2( aq32).( 2)由 (

28、2) 得 a2，代入 (1) 解得 q=5 或 q=13q42.当 q=5 时 a=2；当 q=13 时 a9原来三个数为 2， 10， 50 或 2 ， 26,338.999总结升华： 选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为a-d, a, a+d ；若三数成等比数列，可设此三数为x ， x,xy 。但还要就问题而言，这里解法二中采用首项a，公比 q 来解y决问题反而简便。举一反三：【变式 1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.【答案】 为 2

29、，6，18 或 2 ,10,50；999设所求的等比数列为a， aq， aq2；则 2(aq+4)=a+aq2 ，且 (aq+4) 2=a(aq 2+32) ；解得 a=2， q=3 或 a2 ， q=-5 ；9故所求的等比数列为2，6，18 或 2,10,50.999【变式2】已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。【答案】 1、 3、 9 或 1、3、 9 或 9、 3、 1 或 9、 3、 1设这三个数分别为aa aq，, ,qaa aq27a3qa2 ( 12由已知得q2a2a22q2911) 91q2aq得 9q482q290 ，所以 q29或 q21

30、，19即 q3 或 q3故所求三个数为：1、 3、 9 或 1、 3、 9 或 9、 3、 1 或 9、 3、 1。【变式 3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和为 12，求这四个数 .【答案】 0， 4， 8， 16 或 15， 9， 3，1；设四个数分别是x,y,12-y,16-x142 yx 12y.(1)y) 2y(16x).( 2)(12由 (1) 得 x=3y-12 ，代入 (2) 得 144-24y+y 2=y(16-3y+12)144-24y+y 2=-3y 2+28y,4y 2-52y+144=0,

31、2或 9，y-13y+36=0, y=4 x=0 或 15，四个数为 0， 4， 8， 16 或 15， 9，3， 1.类型六：等比数列的判断与证明例 6 已知数列 a n 的前 n 项和 Sn 满足： log5(S n+1)=n(n N+), 求出数列 a n 的通项公式，并判断 a n是何种数列？思路点拨： 由数列 a n 的前 n 项和 Sn 可求数列的通项公式，通过通项公式判断a n 类型 .解析： log 5(S n+1)=n, Sn+1=5n, Sn=5n-1(n N+),a1=S1=51-1=4,当 n2时， an=Sn-S n-1 =(5 n-1)-(5 n-1 -1)=5 n

32、-5 n-1 =5n-1 (5-1)=4 ×5n-1n-11-1=4=a1,而 n=1 时， 4×5=4×5nN+ 时， an=4×5n-1由上述通项公式，可知 a n 为首项为 4，公比为 5 的等比数列 .举一反三：【变式 1】已知数列 C n ，其中 Cn=2n+3n，且数列 Cn+1-pCn 为等比数列，求常数p。【答案】 p=2 或 p=3； C n+1-pCn 是等比数列，对任意nN且 n2，有 (Cn+1-pCn) 2=(Cn+2-pC n+1)(C n-pC n-1 )C=2n+3n, (2 n+1+3n+1)-p(2 n+3n) 2=(

33、2 n+2+3n+2)-p(2 n+1+3n+1) ·(2 n+3n)-p(2 n-1 +3n-1 )n即 (2-p)·2n+(3-p) ·3n 2=(2-p)·2n+1+(3-p) ·3n+1 ·(2-p)·2n-1 +(3-p) ·3n-1 整理得： 1 (2p)(3p)2n3 n0 , 解得： p=2 或 p=3,6显然 Cn+1-pCn0，故 p=2 或 p=3 为所求 .【变式2】设 a n 、b n 是公比不相等的两个等比数列，Cn=an+bn, 证明数列 C n 不是等比数列 .【证明】 设数列 a n 、 b n 的公比分别为p, q ，且 pq为证 Cn 不是等比数列，只需证C1C3C22 . C22(a1 p b1q) 2a12 p2b12 q22a1b1 pq ,C1 C3(a1b1 )( a1 p2b1q2 ) a12 p2b12q2a1b1 ( p2q2 )C1 C3C22a1b1 ( p q) 2 ,又 pq,a 10, b 10,C1 C3C220即C1 C3C22数列 Cn 不是等比数列 .【变式3】判断正误：(1)