高三数学一轮复习精品导学案：第八章平面解析几何2

1、高三数学一轮复习精品导学案：第八章平面解析几何其次节直线与圆【高考目标定位】一、圆的方程（一）考纲点击1、把握确定圆的几何要素；2、把握确定圆的标准方程与一般方程；（二）热点提示1、能利用待定系数法求圆的标准方程和一般方程；2、直线和圆的位置关系是考查的热点；3、本部分在高考试题中多以挑选、填空的形式显现，属中低档题目；二、直线、圆的位置关系（一）考纲点击1、能依据给定直线、圆的方程判定直线与圆的位置关系；能依据给定两个圆的方程判定两圆的位置关系；2、能用直线和圆的方程解决一些简洁的问题；3、初步明白用代数方法处理几何问题的思想；（二）热点提示1、直线与圆，圆与圆的位置关系始终是高考考查的重点

2、和热点问题，主要考查：（1）方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判定；（2）利用相切或相交的条件确定参数的值或取值范畴；（3）利用相切或相交求圆的切线或弦长；2、本部分在高考试题中多为挑选、填空题，有时在解答题中考查直线与圆位置关系的综合问题；【考纲学问梳理】一、圆的方程1圆的定义（1）在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆；（2）确定一个圆的要素是圆心和半径；2圆的方程圆的标准方程圆的一般方程方程 xa 2 yb2r 2 r0x2y2dxeyf0圆 心 坐标（ a,b）d ,f22半径r1d 22e 24f注： 方程 x2y2dxeyf0 表示圆的充要条件是d 2e24 f03点与圆

3、的位置关系已知圆的方程为 xa 2 yb 2r 2 ，点 m x , y ；就：（1）点在圆上：00222xa ybr；00；（2）点在圆外：xa 2 yb2r（3）点在圆内：xa 2 yb2r200；2004确定圆的方程方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：（1）依据题意，挑选标准方程或一般方程；（2）依据条件列出关于a,b,r 或 d 、e、f 的方程组；（3）解出 a,b,r 或 d、e、f 代入标准方程或一般方程；注： 用待定系数法求圆的方程时，如何依据已知条件挑选圆的方程？（当条件中给出的是圆上几点坐标，较适合用一般方程，通过解三元方程组求相应系数；当条件中给出的是

4、圆心坐标或圆心在某条直线上、圆的切线方程、圆弦长等条件，适合用标准方程；对于有些题，设哪种形式都可以，这就要求依据条件详细问题详细分析；）二、直线、圆的位置关系1直线与圆的位置关系位置关系相离相切相交公共点个数几何特点（圆心到直线的距离0 个d ，半dr1 个dr2 个dr径 r ）代数特点（直线与圆的方程组成的方程组）无实数解有两组相同实数解有两组不同实数解注： 在求过肯定点的圆的切线方程时，应第一判定这点与圆的位置关系，如点在圆台上，就该点为切点，切线只有一条；如点在圆外，切线应有两条，谨防漏解；外离外切相交内切内含0drr1drr2rrdrr1drr0drr2圆与圆的位置关系位置关系公共

5、点个数 几何特点 （圆心距 d ，两圆半径 r ， r ， rr ）代数特点 （两无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解个 圆 的 方 程组 成 的 方 程组）【热点难点精析】一、圆的方程（一）圆的方程的求法相关链接1确定圆的方程的主要方法是待定系数法；假如挑选标准方程，即列出关于a、 b、r的方程组，求a、b、r 或直接求出圆心（a,b）和半径r.2假如已知条件中圆心的位置不能确定，就挑选圆的一般方程；圆的一般方程也含有 三个独立的参数，因此，必需具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采纳待定系数法；设所求圆的方程为：x2y2dxeyf0d 2e 24f0, 由三个条件得

6、到关于d 、e、f 的一个三元一次方程组，解方程组确定d 、e、f 的值；3以为直径的两端点的圆的方程为 xx1 xx2 yy1 yy2 0注： 在求圆的方程时，常用到圆的以下必修性质：（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上；（2）圆心在任一弦的中垂直上；（3）两圆心或外切时，切点与两圆圆心三点共线；例题解析例 求与 x 轴相切， 圆心在直线3x-y=0 上， 且被直线x-y=0 截得的弦长为27 的圆的方程；思路解析： 由条件可设圆的标准方程求解，也可设圆的一般方程，但运算较繁琐；解答：（方法一）设所求的圆的方程是xa2 yb2r 2 ，就圆心 a,b到直线 x-y=0 的距离为 | ab

7、| ，2即 2r 2ab 214由于所求的圆与x 轴相切，r 2b2又由于所求圆心在直线3x-y=0 上，3a-b=02222联立，解得a=1,b=3, r 2 =9 或 a=-1,b=-3,r 2 =9.故所求的圆的方程是：x1 y39或x1 y39（ 方 法 二 ） 设 所 求 的 圆 的 方 程 是=0 ， 圆 心 为，半径为令 y=0 ，得=0，由圆与 x 轴相切，得=0，即又圆心到直线 x-y=0 的距离为由已知，得即又圆心在直线 3x-y=0 上， 3d-e=0联立，解得d=-1 ， e=-6， f=1 或 d=2 ， e=6 ，f=1 ；故所求圆的方程是=0 或（二）与圆有关的最

8、值问题相关链接1求与圆有关的最值问题多采纳几何法，就是利用一些代数式的几何意义进行转化；如（ 1）形如m=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；（ 2）形如t=ax+by的 最 值 问 题 ， 可 转 化 为 直 线 在y轴 上 的 截 距 的 最 值 问 题 ；（ 3 ） 形 如m=的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题；2特殊要记住下面两个代数式的几何意义：表示点 x,y 与原点（ 0， 0）连线的直线斜率，表示点（ x,y ）与原点的距离；例题解析例 已知实数x 、 y 满意方程x2y24x10 ；（1）求 yx的最大值和最小值；（2）求 y - x 的最大值和最小值；（3）

9、求 x2y2 的最大值和最小值；思路解析： 化 x ， y 满意的关系为 x何意义依据几何意义分别求之；22y23懂得 y ， y - x ， x2xy2 的几解答：（ 1）原方程可化为x22y 23 ，表示以（ 2，0）为圆心，3 为半径的圆，y 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y xx= k ，即 ykx ；当直线ykx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时| 2kk 20 |3 ，解得 k =±3 ；1所以 y x的最大值为3 ，最小值为3（2） y - x可看作是直线y=x+b 在 y 轴上的截距，当直线y=x+b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，

10、此时| 20b |23 ，解得 b26 ；所以 y - x 的最大值为26 ，最小值为26 ；（ 3） x2y2 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何学问知，在原点与圆心连 线 与 圆 的 两 个 交 点 处 取 得 最 大 值 和 最 小 值 ； 又 圆 心 到 原 点 的 距 离 为20 200 22 ，所以 x2y2 的最大值是232743 ， x2y2 的最小值是 23 2743 ；（三）与圆有关的轨迹问题相关链接1解决轨迹问题，应留意以下几点：（ 1）求方程前必需建立平面直角坐标系（如题目中有点的坐标，就无需建系），否就曲线就不行转化为方程；（2）一般地，设点时，将动点坐标设为

11、（x,y ），其他与此相关的点设为 x0 , y0 等；（3）求轨迹与求轨迹方程是不同的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后仍要指出方程的曲线是什么图形；2求轨迹方程的一般步骤：（1）建系：设动点坐标为（x,y ）；（2）列出几何等式；（3）用坐标表示得到方程；（4）化简方程；（5）除去不合题意的点，作答；例题解析例 设定点 m （ -3，4），动点 n 在圆 x2y24 上运动，以om 、on 为两边作平行四边形monp ，求点 p 的轨迹；思路解析： 先设出 p 点、 n 点坐标，依据平行四边形对角线相互平分，用p 点坐标表示 n 点坐标，代入圆的方程可求；解答： 如下列图，设

12、p（ x,y ）， n x, y ，就线段op 的中点坐标为 x ,y ，线段mn的中点坐标为0022x03y04 ,22；因为平行四边形的对角线互相平分，故xx03 , yy04 ,从而x0x32；n（ x+3,y-4 ）在圆上， 故 x3 y44 ；22222因此所求轨迹为圆： x32y0y y4244 ，担应除去两点：9 12,和2128, （点 p在 om 所在的直线上时的情形）；（四）有关圆的实际应用5555例 有一种大型商品，a 、b 两地都有出售，有价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：a 地每公里的运费是b 地每公里运费的3 倍；已知 a 、b 两地距离为10 公

13、里，顾客挑选a 地或 b 地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低；求p 地居民挑选a 地或 b 地购物总费用相等时，点p 所在曲线的外形，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何挑选购物地点？思路解析： 依据条件，建立适当坐标系，求出点p 的轨迹方程，进而解决相关问题；解答： 如图，以 a 、b 所在的直线为x 轴，线段ab 的中点为原点建立直角坐标系，|ab =10，a（ -5 ，0），b（ 5， 0）；设 p（ x,y ）,p 到 a、b 两地购物的运费分别是3a、a（元 / 公里）；当由 p 地到 a、b 两地购物总费用相等时，有：价格+a 地运费 =价格 +b 地运费，3a

14、· x5 2y2 =a· x5 2y2 .化简整理，得 x25 2y215 2442515（1）当 p 点在以（ -费用相等；，0）为圆心、4为半径的圆上时，居民到a 地或 b 地购物总4（2）当 p 点在上述圆内时， x252y2152 ,449 x5 29 y2 x52y2 8x252y215 23x52y2 x52y2 . 044故此时到 a地购物合算 .当 p 点在上述圆外时， x25 2215 2y ,449 x5 29 y2 x52y 2 8 x252y215 23x52y2 x52y2 . 044故此时到 b地购物合算 .注： 在解决实际问题时，关键要明确题意

15、，把握建立数学基本模型的方法将实际问题转化为数学问题解决；二、直线、圆的位置关系（一）直线和圆的位置关系相关链接直线和圆的位置关系的判定有两种方法（1）第一种方法是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立组成方程组，转化为一元二次方程，再利用判别式来争论位置关系，即>0 直线与圆相交 ;=0 直线与圆相切 ;<0 直线与圆相离 .（2）其次种方法是几何的观点，即将圆心到直线的距离 d 与半径 r 比较来判定，即d<r 直线与圆相交； d>r 直线与圆相切； d=r 直线与圆相离；例题解析例 已知圆 x2y26mx2m1y10m22m240mr.（1）求证：不论m 为何值

16、，圆心在同始终线上；（2）与 l 平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；（3）求证：任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等；思路解析： 用配方法将圆的一般方程配成标准方程，求出圆心坐标，消去m 就得关于圆心的坐标间的关系，就是圆心的轨迹方程；判定直线与圆相交、相切、相离，只需比较圆心到直线的距离d 与圆半径的大小即可；证明弦长相等时，可用几何法运算弦长；22x3m解答：（ 1）配方得：x3m ym125, 设圆心为 x,y ，就，ym1消去 m 得 l : x3 y30, 就圆心恒在直线l : x3 y30, ；（2）设与 l 平行的直线是：x3 yb0 ，当5103b510

17、3时，直线与圆相交；b5 103时，直线与圆相切；b5 103或b5 103时，直线与圆相离 .（3）对于任一条平行于l 且与圆相交的直线l1 ： x3 yb0 ，由于圆心到直线l1 的距离| 3b |22d（与 m 无关）；弦长 = 210rd 且r 和d均为常量 .任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等；（二）圆与圆的位置关系相关链接1判定两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系， 一般不采纳代数法；2如两圆相交，就两圆公式弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2, y2 项即可得到；3两圆公切线的条数（如下图）oo 1o21oo1o 2o1o2

18、o1o22（1）两圆内含时，公切线条数为0；（2）两圆内切时，公切线条数为1；（3）两圆相交时，公切线条数为2；（4）两圆外切时，公切线条数为3；（5）两圆相离时，公切线条数为4；因此求两圆的公切线条数主要是判定两圆的位置关系，反过来知道两圆公切线的条数，也可以判定出两圆的位置关系；例题解析例 求经过两圆x32y213 和 x2 y3237 的交点，且圆心在直线x y4=0 上的圆的方程思路解析： 依据已知，可通过解方程组 x32x2 yy23213得圆上两点，由圆心在直线37xy 4=0 上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；也可依据已知，设所求圆的方程为 x32y213 x2y323

19、70，再由圆心在直线x y 4=0 上，定出参数 ，得圆方程解答 ：由于所求的圆经过两圆（x+3） 2+y2=13 和 x2+（ y+3） 2=37 的交点，所以设所求圆的方程为x32y213 x2y323703232428912 绽开、配方、整理，得x1+ y=+2111圆心为 3,311 ，代入方程x y 4=0，得 = 7故所求圆的方程为x1 2 y7 289222注： 圆 c1： x2 +y2+d 1x+e1y+f 1=0，圆 c2： x2+y2+d2x+e2y+f 2=0 ，如圆 c1、c2 相交，那么过两圆公共点的圆系方程为（x2+y2+d 1x+e1y+f1）+（ x2+y2+d

20、2x +e2y+f2）=0（ r 且 1） 它表示除圆c2 以外的全部经过两圆c1、c2 公共点的圆（三）圆的切线及弦长问题相关链接1求圆的切线的方法（1）求圆的切线方程一般有两种方法：代数法：设切线方程为与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式=0 进而求得k ；几何法：设切线方程为利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d=r ，进而求出k；两种方法，一般来说几何法较为简洁，可作为首选；注：在利用点斜式求切线方程时，不要漏掉垂直于x 轴的切线，即斜率不存在时的情况；（2）如点m x, y 在圆 x2y2r 2 上，就 m 点的圆的切线方程为x xy yr

21、 2 ；00002圆的弦长的求法（1）几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l ，就；（ 2 ） 代 数 法 ： 设 直 线 与 圆 相 交 于a x1 , y1, b x2 , y2 两 点 ， 解 方 程 组ykxb22消 y 后得关于x 的一元二次方程，从而求得x1x2 , x1 , x2 , 就弦 xx yy r200长为| ab |1k 2 xx 24 x x k为直线斜率 ；121 2（四）直线、圆位置关系的综合应用例 如图，矩形abcd 的两条对角线相交于点m 2，0， ab 边所在直线的方程为x3 y60 , 点 t 1，1 在 ad 边所在直线上（i ）求 ad 边所在直

22、线的方程；（ii ）求矩形abcd 外接圆的方程；（iii ）如动圆 p 过点n 2，0 ，且与矩形abcd 的外接圆外切，求动圆p 的圆心的方程解答：（ i ）由于 ab 边所在直线的方程为x 3y60 ，且 ad 与 ab 垂直，所以直线ad 的斜率为3 又由于点 t 1，1 在直线 ad 上，所以 ad 边所在直线的方程为y 13 x1 3 xy20 -3分x（ii ）由3y60，解得点a 的坐标为 0，2 ，-4分3xy2 = 0由于矩形abcd 两条对角线的交点为m 2，0 所以 m 为矩形 abcd 外接圆的圆心-6分2又 am20 202 222 2从而矩形abcd 外接圆的方程

23、为 x2y8 -9分（iii ）由于动圆p 过点 n ，所以 pn 是该圆的半径，又由于动圆p 与圆 m 外切，所以 pmpn22 ，即pmpn22 -11分故点 p 的轨迹是以m ， n 为焦点，实轴长为22 的双曲线的左支2由于实半轴长a2 ，半焦距 c2 2所以虚半轴长bca2 2从而动圆 p 的圆心的轨迹方程为xy1x 2 -14分222【感悟高考真题】1（ 2021 江西理数）8. 直线ykx23 与圆x32y24 相交于m,n 两点，如mn23 ，就 k 的取值范畴是3 ，0a.4b.3，0，4c.3 ， 333d.2 ，03【答案】 a【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离

24、公式，重点考察数形结合的运用.解法 1：圆心的坐标为 （3. ，2），且圆与 y 轴相切 . 当 | mn |23时，3由点到直线距离公式，解得,0 ；4解法 2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可，不取，排除 b，考虑区间不对称，排除c，利用斜率估值，选a2（ 2021 安徽理数） 9、动点a x, y在圆 x2y21上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12 秒旋转一周；已知时间t0 时，点 a 的坐标是 1 ,3 22，就当 0t12 时，动点 a 的纵坐标 y 关于 t （单位：秒）的函数的单调递增区间是a、 0,1b、 1,7c、 7,12d 、 0,1 和 7,129.d【解

25、析】画出图形，设动点a 与 x轴正方向夹角为，就 t370 时，每秒钟旋转，36在 t0,1上, ，在7,12 上32, ，动点 a 的纵坐标y 关于 t 都是单调23递增的；【方法技巧】 由动点2a x, y在圆 x2y1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，可知与三角函数的定义类似，由 12 秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度，画出单位圆， 很简洁看出，当 t在 0,12 变化时，点a 的纵坐标y 关于 t （单位：秒）的函数的单调性的变化，从而得单调递增区间.3（ 2021 全国卷 2 文数）（ 16）已知球 o 的半径为4，圆 m 与圆 n为该球的两个小圆，ab 为圆 m 与圆 n 的公共弦，

26、abo4 ，如mebomon3 ，就两圆圆心的距离mn；na【解析】 3：此题考查球、直线与圆的基础学问 on=3，球半径为4，小圆n 的半径为7 ，小圆n 中弦长ab=4，作 ne垂直于 ab， ne=3 ，同理可得 me3 ，在直角三角形one中， ne=3 ，on=3，eon6 ，mon3 ， mn=34（ 2021 ·江苏卷 18）设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数fxx22 xb xr 的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为c求：（）求实数b 的取值范畴；（）求圆c 的方程；（）问圆c 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论【解析】本小题主要考查

27、二次函数图象与性质、圆的方程的求法（）令 x 0，得抛物线与y 轴交点是（ 0， b）；2令 fxx22xb0 ，由题意 b0 且 0，解得 b 1 且 b 0（）设所求圆的一般方程为x2ydxeyf0令 y 0 得 x2dxf0 这与x22xb 0 是同一个方程，故d2， f b 令 x 0 得 y2ey 0，此方程有一个根为b，代入得出e b 1所以圆 c 的方程为x2y22xb1 yb0 .（）圆c 必过定点（ 0， 1）和（ 2，1）证明如下：将（0，1）代入圆 c 的方程，得左边0 2 1 2 2× 0（ b 1） b 0，右边0，所以圆 c 必过定点（ 0， 1）同理可证

28、圆c 必过定点（2， 1）【考点精题精练】一、挑选题21直线axy21 0 与圆x1y1 相切，就 a 的值为（a）a. 0b.1c.2d.12已知圆c 与圆 x 12 y21 关于直线y x 对称，就圆c 的方程为（ c） a.x 12 y2 1b.x2y2 1c.x2 y 12 1d.x2y 12 13（上海市奉贤区2021 年 4 月高三质量调研理科）已知圆x 2y 21与 x 轴的两个交点为a 、 b ，如圆内的动点p 使 | pa | 、 | po| 、 | pb| 成等比数列，就pa pb 的取值范畴为-（b）（a）0, 12（ b）1 ,021（c） ,02（ d） 1,04（上

29、海市徐汇区2021 年 4 月高三其次次模拟理科）已知ac, bd 为圆o : x2y24 的两条相互垂直的弦，ac , bd 交于点 m1,2，就四边形abcd 面积的最大值为-（ b）a 4b 5c 6d 7225直线 x+y+1=0 与圆x1y2 的位置关系是（c）a. 相交b.相离c.相切d.不能确定101答案： c 提示：圆心1,0 , d2r ，2x32cosx3cos6两圆与的位置关系是（b）y42siny3sina 内切b 外切c相离d 内含7已知点 p（ x，y）是直线 kx + y + 4 = 0（ k > 0 ）上一动点， pa、pb 是圆 c：x2y22y0的两条

30、切线，a、b 是切点，如四边形pacb 的最小面积是2，就 k 的值为（d）21a 3b 2c 22d 2答案： d8经过圆c : x12 y224 的圆心且斜率为1 的直线方程为（a ）a xy30b xy30c. xy10d xy309已知圆的方程为x2y26x8 y0 ，设圆中过点 2,5 的最长弦与最短弦分别为ab 、cd ，就直线 ab 与 cd 的斜率之和为（b）a1b0c1d210已知圆的半径为2，圆心在 x 轴的正半轴上，且与直线3x4 y40 相切，就圆的方程是（a）a x2y 24x0b x 2y 24x0c x2y 22 x30d x 2y 22x3011如直线y kx1

31、 与圆 x2 y2 1 相交于 p、q 两点，且 poq 120°其中 o 为原点 ，就 k 的值为（ a ）a133、±b、 ±22c、±3d 、± 32212如图，点p3， 4为圆 xy25 上的一点，点e，f 为 y 轴上的两点，pef 是以点 p 为顶点的等腰三角形，直线pe，pf 交圆于 d，c 两点，直线cd 交 y 轴于点 a，就 sindao 的值为 a 2343a bcd5554二、填空题x13圆 c:y1 cos, sin.（为参数） 的圆心坐标是1,0；如直线axy10 与圆 c 相切，就 a 的值为0.14如图，点a 、

32、b、c 是圆 o 上的点，且ab=4 ，acb30o ，就圆 o 的面积等于 1615（ 上海市奉贤区2021 年 4 月高三质量调研理科）已知实数a, b, c 成等差数列， 点 p 1,0在直线 axbyc0 上的射影是q，就 q的轨迹方程是 x2 y122 ；16 上 海 市 松 江 区2021年4月 高 考 模 拟 文 科 已 知 直 线l : axbyc0 与 圆o : x 2y 2三、解答题1 相交于 a 、 b 两点，| ab |13 ，就 oa · ob =217已知 a 是圆x 2y 24 上任一点， ab 垂直于 x 轴，交 x 轴于点 b以 a 为圆心、 ab 为半径作圆交已知圆于c、 d，连结 cd交 ab于点 p.(1) 求点 p的轨迹方程 ;(2) 如1 所求得的点p 的轨迹为m , 过点 q3 ,0