高三毕业班数学课本知识点整理归纳之十四

1、高三毕业班数学课本学问点整理归纳之十四第十四章极限与导数一、基础学问1极限定义： （ 1）如数列 u n 满意，对任意给定的正数 ，总存在正数m，当 n>m且 n n时，恒有 |u n-a|< 成立（ a 为常数），就称 a 为数列 un 当 n 趋向于无穷大时的极限，记为limf x, limf x ，另外 limf x =a 表示 x 大于 x0 且趋向于x0 时 fx极限为 a，称右xxxx0极限；类似地limf x 表示 x 小于 x 0 且趋向于x 0 时 fx的左极限；xx02 极限的四就运算：假如limfx=a,limgx=b，那么limfx± gx=a&#

2、177; b,xx0xx 0xx 0limfx.gx=ab,limf xa b0.xx0xx 0g xb3. 连续：假如函数fx在 x=x 0 处有定义，且limfx存在，并且limfx=fx0 ，就称fx在 x=x 0 处连续；xx0xx04最大值最小值定理：假如fx是闭区间 a,b上的连续函数，那么fx 在a,b 上有最大值和最小值；5导数： 如函数 fx 在 x0 邻近有定义， 当自变量x 在 x 0 处取得一个增量 x 时（ x 充分y小），因变量y 也随之取得增量 y y=fx 0+ x-fx0.如lim存在，就称fx在x0x0 处可导，此极限值称为fx在点x0 处的导数（或变化率）

3、 ，记作xf ' x 0 或y' xx0 或dy，即f ' x0 limf xf x0 ；由定义知fx在点 x0 连续是 fx在 x 0 可导的必dx x0xx0xx0要条件；如fx在区间 i 上有定义，且在每一点可导，就称它在此敬意上可导；导数的几何意义是： fx在点 x0 处导数f ' x 0 等于曲线y=fx在点 px 0,fx0 处切线的斜率；6几个常用函数的导数： （ 1） c' =0（ c 为常数）；（ 2） xa 'ax a1（ a 为任意常数） ；（ 3）sinx'cos x;4cos x'sin x;5a x &

4、#39;a x ln a;6ex 'ex;（ 7 ）log a x'1 log xx ；（ 8） lnx'1 .xa7导数的运算法就：如ux,vx在 x 处可导，且ux 0, 就（ 1 ）u xv x'u' xv' x；（ 2 ） u xv x'u' xv xu xv' x；（ 3 ） cu x'c u ' x（c为常数） ； （4）1'u xu ' x u 2 x； （5） u x'u x v' xu ' xvx；u xu 2 x8复合函数求导法：设函数y=fu,u

5、=x ，已知x 在 x 处可导， fu在对应的点uu=x处 可 导 ， 就 复 合 函 数y=fx在 点x处 可 导 ， 且（fx' =f ' x' x .9. 导数与函数的性质： （1）如 fx在区间 i 上可导，就fx在 i 上连续；（2）如对一切xa,b有f ' x0 ，就 fx在a,b单调递增；（ 3）如对一切x a,b有f ' x0 ，就 fx在a,b单调递减；10极值的必要条件：如函数fx在 x 0 处可导，且在x 0 处取得极值，就f ' x0 0.11. 极值的第一充分条件：设fx在 x0 处连续，在x0 邻域 x 0- ,x 0

6、+ 内可导，（ 1）如当x x- ,x 0 时f ' x0 ，当 x x 0,x 0+ 时f ' x0 ，就 fx在 x0 处取得微小值；（2）如当 x x 0- ， x 0 时f ' x0 ，当 x x 0,x 0+ 时f ' x0 ，就 fx在 x 0 处取得极大值；12极值的其次充分条件：设fx在 x0 的某领域 x 0- ,x 0+ 内一阶可导，在x=x0 处二阶可导， 且f ' x0 0, f '' x0 0 ；（ 1）如f ' 'x0 0 ，就 fx在 x 0 处取得微小值； （ 2）如 f ''

7、; x0 0 ，就 fx在 x 0 处取得极大值；13罗尔中值定理：如函数fx在a,b上连续，在 a,b上可导，且fa=fb，就存在 a,b，使f ' 0. 证明 如当 x a,b，fx fa，就对任意x a,b，f ' x0 . 如当 x a,b时，fx fa，由于 fx在a,b上连续， 所以 fx在a,b上有最大值和最小值，必有一个不等于 fa，不妨设最大值m>fa 且 fc=m ， 就 c a,b，且 fc为最大值，故f ' c0 ，综上得证；14 lagrange 中值定理：如fx在a,b上连续，在 a,b上可导，就存在 a,b，使f ' f bb

8、f a . a 证明 令 fx=fx-f bbf a x aa , 就 fx 在a,b上连续，在 a,b上可导，且fa=fb，所以由13 知存在 a,b使f ' =0，即f ' f b bf a . a15曲线凸性的充分条件：设函数fx在开区间i 内具有二阶导数， （ 1）假如对任意x i,f' ' x0 , 就曲线 y=fx在 i 内是下凸的；（ 2）假如对任意x i,f ' ' x0 , 就 y=fx在 i 内是上凸的；通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数；+16琴生不等式：设 1, 2, n r ， 1+ 2+ n=1；（ 1）如数，就

9、 x 1,x 2,x n a,b二、方法与例题有 fa1x 1+a2x2+anx n a1fx 1+a 2fx 2+1极限的求法；fx是 a,b上的凸函+an fx n.例1求以下极限：（ 1 ）lim12nn 2n 2n2；（ 2 ）nlimna n a1a n0 ；（ 3 ）limn1n 211n 221n 2n；（ 4） limnn n1n .12 解 （ 1） lim22nnna nn= limn 2n1nn12 n 2121lim；n22n21（2）当 a>1 时，limnn1aa nlimnn1alim a nn1.1lim11na0当 0<a<1 时，limn1

10、ann0.1lim a n10n当 a=1 时，limnna1a nlim11 .n112（3）由于n n2而 limnnlim1n 2111n 221, lim11n2nlim1n.n211,1nn2nn1nnn 21n11n211所以 limn22n1n211.2nn（4） limnn n1n limnnn1nlim11 .n12112nn例 2求以下极限： （1）lim 1+x1+x 21+nx 2 1+ x 2|x|<1 ；3（2） lim31；（ 3） limx21；x11x1xx13x1x 解（1）limn1+x1+x21+x2 2 1+ x 2n = lim 1nx1x11

11、x 2 x1x 2 nlimn1x21n1.1x1x3（2） lim31lim31xx23lim1x1x232x11x1xx 11xx11x1= limx 2x3lim2x1.x11xx 1 1xx（3） limx 21lim x 213x1x x13x1xx 1 3x1x3x1x= lim x1 x13x1x lim x13x1x x121xx1222.2连续性的争论；例 3设 fx在 - ,+ 内有定义，且恒满意fx+1=2fx，又当x 0,1时，2fx=x1-x，试争论fx在 x=2 处的连续性；2 解当 x 0,1时，有fx=x1-x，在 fx+1=2fx中令 x+1=t ，就 x=t

12、-1 ，当 x21,2时，利用fx+1=2fx有 ft=2ft-1，由于t-1 0,1,再 由 fx=x1-x22得 ft-1=t-12-t, 从而 t 1,2时, 有 ft=2t-1.2-t；同理，当 x 1,2时，令x+1=t，就当t2,3时，有ft=2ft-1=4t-23-t2.从而fx=2x1 2x2 , x21,2 ;所以4x23x, x2,3 .limf xlim 2x1 2x20, limf xlim4x23x 20，所以x2x2x2x2li fmx=limfx=f2=0，所以 fx在 x=2 处连续；x2x23利用导数的几何意义求曲线的切线方程； 解 由于点 2,0不在曲线上，

13、设切点坐标为x 0,y 0 ， 就 y01，切线的斜率为x0x'| x12 ，所以切线方程为y-y 0=1 xx ，即 y11 x220x0 ；又由于0x0x0x0x0此切线过点（2,0 ），所以1x01 2x20x0 ，所以x 0=1，所以所求的切线方程为y=-x-2，即 x+y-2=0.4导数的运算；例 5求以下函数的导数： （ 1）y=sin3x+1；（ 2） y5 x23 x xx ；（ 3）y=ecos2x；（ 4）yln xx21 ；（ 5）y=1-2xx>0 且 x1 ；x2 解（ 1） y'cos3 x13x1'3cos3x+1.2y'5

14、x23 xx' x5x 23x x2x x'10x31x2xx 251.2x35x 23xx（3） y'ecos2 xcos2x'ecos2x sin 2x2x'2ecos2 xsin 2x.（4） y'1 xxx211.ex21x21'x1x21x1x 21（5） y'12x x ' ex ln 12 x 'x ln 12 x x ln12x'12x xln12 x2 x.12x5用导数争论函数的单调性；x例 6设 a>0，求函数 fx=x -lnx+ax0,+ 的单调区间； 解f ' x1

15、22x1 x xa0 ，由于 x>0,a>0 ，所以f ' x02+2a-4x+a2>0；f ' x0x +2a-4x+a+<0.（1）当 a>1 时，对全部 x>0 ，有 x 2+2a-4x+a2>0，即 f ' x>0,fx在0,+ 上单调递增；22（2）当 a=1 时，对 x 1, 有 x +2a-4x+a>0，即f ' x0 ，所以 fx在（ 0，1）内单调递增，在（ 1， +）内递增，又fx在 x=1 处连续，因此fx在0,+ 内递增；（ 3）当0<a<1 时，令f ' x0 ，

16、即2，解得 x<2-a-21a 或 x>2-a+ 2 1a ，x+2a-4x+a>022因此， fx在0,2-a-21a 内单调递增，在2-a+ 21a ,+ 内也单调递增，而当2-a-2 1a <x<2-a+21a 时 ， x+2a-4x+a2<0 ， 即f ' x0 ， 所 以fx在2-a-21a ,2-a+2 1a 内单调递减；6利用导数证明不等式；例 7设 x0, ，求证： sinx+tanx>2x.22 证 明 设fx=sinx+tanx-2x， 就f ' x=cosx+secx-2， 当 x0, 时 ，2c o xs1c o

17、 2sx2c o xs1c o 2sx22c o xs2（因为0<cosx<1） ，所以f ' x=cosx+sec x-2=cosx+12cos 2 x0 . 又 fx在0,2上连续，所以 fx在0,2上单调递增，所以当x0,2时， fx>f0=0，即 sinx+tanx>2x.7. 利用导数争论极值；例 8设 fx=alnx+bx2+x 在 x1=1 和 x2=2 处都取得极值， 试求 a 与 b 的值，并指出这时fx在 x1 与 x 2 处是取得极大值仍是微小值； 解 由于fx在 0,+ 上连续，可导，又fx在 x 1=1， x2=2 处取得极值，所以f

18、' 1f ' 20 ，又f ' xa+2bx+1，所以xa2b10,a2 ,3a4b10, 解得12b6 .所以 f x2 ln x31 x 26x, f ' x21 x13x3 x1 2x.3 x所以当 x 0,1时，f ' x0 ，所以 fx在0,1上递减；当 x 1,2时，f ' x0 ，所以 fx在1 ， 2 上递增；当 x 2,+ 时，f ' x0 ，所以 fx在2 ，+）上递减；综上可知fx在 x 1=1 处取得微小值，在x2=2 处取得极大值；例 9设 x 0, ,y 0,1，试求函数fx,y=2y-1sinx+1-ysin

19、1-yx的最小值； 解第一，当x0, ,y 0,1时，fx,y=2y-1sinx+1-ysin1-yx=1-y2xsin1 1y xy x2 y11y2sin x x=1-y2xsin1 1yxyxsin x xy 21y2sin x x，令 gx=sin x,xg ' xcos x xx2tan x x, 2当 x0,2时，由于cosx>0,tanx>x，所以g ' x0 ；当 x,2时，由于 cosx<0,tanx<0,x-tanx>0，所以g ' x0 ；又由于 gx 在0, 上连续，所以gx 在 0, 上单调递减；又由于 0<

20、1-yx<x< ，所以 g1-yx>gx，即sin1 1y xy xsin x0 ， x又由于y 21y2sin x x0 ，所以当x 0, ,y 0,1时， fx,y>0.其次，当x=0 时， fx,y=0；当 x= 时， fx,y=1-ysin1-y 0.当 y=1 时， fx,y=-sinx+sinx=0；当 y=1 时， fx,y=sinx 0.综上，当且仅当x=0 或 y=0 或 x= 且 y=1 时， fx,y取最小值0；三、基础训练题1 limn2 n 12 n3n 13nn 2= .12已知limnn1anb2 ，就 a-b= .13 limncos2n

21、1nlimn33x 23 x4 x1 .32 x 224 limx n 1n1 xn .2x1x15运算lim21 nlim x 21x21 .nnx6如 fx是定义在 - ,+ 上的偶函数，且f '0存在，就f ' 0 .7函数 fx在- ,+ 上可导， 且f ' 21，就 limf 2hf 2h .h02h8如曲线fx=x 4-x 在点 p 处的切线平行于直线3x-y=0 ，就点 p 坐标为 .9函数 fx=x-2sinx的单调递增区间是 .10函数f xln11x 2的导数为 .x 211如曲线y x 21ax 2在点 m 2, 14处的切线的斜率为1 ，求实数a

22、.4012. 求 sin29的近似值；13设 0<b<a<2, 求证：sin aasin bbtan a . tan b四、高考水平练习题1运算2运算lim 1n1limx2433 2x32x212 n 13n 1x22x1= . .3函数 fx=2xex-6x3e+7 的单调递增区间是 . ；2x4函数 yexe x的导数是 .5 函 数fx在x0邻 域 内 可 导 ， a,b为 实 常 数 ， 如f ' x0 c ， 就fl i mx0a xf x0b x .x0x1x6函数 fx=e sinx+cosx,x22x 0, 的值域为 .27过抛物线x =2py 上一

23、点 x 0,y 0 的切线方程为 .4358当 x>0 时，比较大小：lnx+1 x.9. 函数 fx=x-5x+5x+1,x -1,2的最大值为 ，最小值为 .10曲线 y=e-x x 0 在点 mt,e -t 处的切线 l 与 x 轴、 y 轴所围成的三角形面积为st ，就 st 的最大值为 .2211如 x>0，求证： x -1lnxx-1.12函数y=fx在区间 0,+ 内可导；导函数f ' x是减函数，且f ' x >0， x0 0,+ .y=kx+m是曲线y=fx在点 x 0,fx0处的切线方程，另设gx=kx+m ，（ 1 ）用x0,fx0,f

24、' x0 表示 m；（ 2）证明：当 x 0,+ 时， gx fx；（ 3）如关于 x 的不等2式 x +1 ax+b 足的关系；23 x 3 在0,+ 上恒成立，其中a,b 为实数，求b 的取值范畴及a,b 所满213. 设各项为正的无穷数列x n 满意 lnx n+1xn 11nn , 证明： xn 1n n+.五、联赛一试水平训练题1设 mn= （十进制） n 位纯小数0. a1 a2an | ai只取 0 或 1（ i=1,2,n-1 ）， an=1 ，tn 是 mn 中元素的个数，sn 是 mn 中全部元素的和，就lim sn .x 92如 1-2 绽开式的第3 项为 288，就lim1nxntn11x2xn .3设 fx,gx分别是定义在r 上的奇函数和偶函数，当x<0 时，f ' xg xf x