高三理科数学一轮总复习第四章平面向量

1、第四章平面对量高考导航考试要求重难点击命题展望1. 平面对量的实际背景及基本概念(1) 明白向量的实际背景；(2) 懂得平面对量的概念，懂得两个向量相等的本章重点：1. 向量的各种运含义；(3) 懂得向量的几何表示 .2. 向量的线性运算(1) 把握向量加法、减法的运算，并懂得其几何意义；(2) 把握向量数乘的运算及其几何意义，懂得两个向量共线的含义；(3) 明白向量线性运算的性质及其几何意义.3. 平面对量的基本定理及其坐标表示(1) 明白平面对量的基本定理及其意义；(2) 把握平面对量的正交分解及其坐标表示；(3) 会用坐标表示平面对量的加法、减法与数乘运算；(4) 懂得用坐标表示的平面对

2、量共线的条件.4. 平面对量的数量积(1) 懂得平面对量数量积的含义及其物理意义；(2) 明白平面对量的数量积与向量投影的关系；(3) 把握数量积的坐标表达式，会进行平面对量数量积的运算；(4) 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数算；2. 向量的坐标运算 及 数 形 结 合 的 思想；3. 向量的数量积在 证 明 有 关 向 量 相等、两向量垂直、投 影、夹角等问题中的 应用 .本章难点：1. 向量的直角坐标运算在证明向量垂直和平行问题中的应用；2. 向量的夹角公式和距离公式在求解平面上两条直线的夹角和两点间距离中的应用 .向量是近代数学中重要和 基本的数学概念之一，它是沟 通代数、几何与

3、三角函数的一 种工具，有着极其丰富的实际 背景，同时又是数形结合思想 运用的典范，正是由于向量既 具有几何形式又具有代数形式的“双重身份”， 所以它成为中学数学学问的一个交汇点.在高考中，不仅留意考查向量本身的基础学问和方法，而且常与解析几何、三角函数、数列等一起进行综合考查 .在考试要求的层次上更加突出向量的实际背景、几何意义、运算功能和应用价值 .量积判定两个平面对量的垂直关系.5. 向量的应用(1) 会用向量方法解决某些简洁的平面几何问题；(2) 会用向量方法解决某些简洁的力学问题及其他一些实际问题.学问网络4.1平面对量的概念及线性运算典例精析题型一向量的有关概念【例 1】 以下命题：

4、向量 ab 的长度与ba 的长度相等；向量 a 与向量 b 平行，就a 与 b 的方向相同或相反；两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；向量 ab 与向量 cd 是共线向量，就a、b、c、d 必在同始终线上.其中真命题的序号是.【解析】对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故错；明显错；ab 与 cd是共线向量，就a、b、c、d 可在同始终线上，也可共面但不在同始终线上，故错.故是真命题的只有 .【点拨】正确懂得向量的有关概念是解决此题的关键，留意到特殊情形，否定某个命题只要举出一个反例即可 .【变式训练1 】以下各式： |a| aa ； abc abc ； oa ob ba

5、；在任意四边形abcd 中， m 为 ad 的中点， n 为 bc 的中点，就ab dc 2 mn ； acos， sin， bcos， sin，且 a 与 b 不共线，就 a bab .其中正确的个数为a.1b.2c.3d.4【解析】选d.| a| aa 正确； abc abc ；oa ob ba 正确；如下图所示，mn = md + dc + cn 且 mn = ma + ab + bn ，两式相加可得2 mn ab dc ，即命题正确；由于 a， b 不共线，且 |a| |b| 1，所以 ab， ab 为菱形的两条对角线， 即得 aba b.所以命题正确.题型二与向量线性运算有关的问题【

6、例 2】如图， abcd 是平行四边形，ac 、bd 交于点 o，点 m 在线1段 do 上，且 dm =do31，点 n 在线段 oc 上,且 on =oc , 设 ab =a,ad =b, 试用 a、b 表示 am ，3an ， mn .【解析】在 .abcd 中， ac ， bd 交于点 o，1所以 do 2db 11 ab ad 22a b，1ao oc 2ac 1 ab ad 21a b.21又 dm31do ，on 3oc ，1所 以 am ad dm bdo31 b3115× a bab，2661an ao on oc oc34oc 3412× ab 323a

7、 b.所以 mn an am21ab a36511b a b. 626【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面对量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，常常需要进行这样的变形.【变式训练2】o 是平面 上一点， a、b、c 是平面 上不共线的三点， 平面 内的动点p 满意 op oa ab ac ，如 1时，就 pa pb pc 的值为.2【解析】由已知得op oa ab ac ，即 ap ab ac ，当 1时，得 ap 21 ab ac ，2所以 2 ap ab ac ，即 ap ab ac ap ， 所以 bp pc ，所以 pb

8、pc pb bp 0，所以 pa pb pc pa0 0，故填 0.题型三向量共线问题【例 3】 设两个非零向量a 与 b 不共线 .1 如 ab ab，bc 2 a8 b，cd 3a b，求证： a， b， d 三点共线；2 试确定实数k，使 ka b 和 a kb 共线 .【解析】 1 证明：由于ab a b，bc 2 a 8b，cd 3 a b，所以 bd bc cd 2 a8 b 3 a b 5 ab 5 ab ，所以 ab ，bd 共线 . 又由于它们有公共点b， 所以 a， b， d 三点共线 .2 由于 ka b 和 a kb 共线，所以存在实数，使 kab akb，所以 ka

9、k 1 b.由于 a 与 b 是不共线的两个非零向量，所以 k k 1 0 ，所以 k2 1 0，所以 k±1.【点拨】 1 向量共线的充要条件中，要留意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要留意待定系数法的运用和方程思想.2 证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应留意向量共线与三点共线的区分与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.【变式训练3 】已知 o 是正三角形bac 内部一点，oa +2 ob +3 oc =0 ，就oac 的面积与 oab 的面积之比是（）32a. 2b. 31c.2d.3【解析】如图，在三角形abc 中，oa 2 o

10、b 3 oc 0 ，整理可得 oa oc 2 ob oc 0.令三角形 abc 中 ac 边的中点为e，bc 边的中点为f，就点 o 在点 f 与点 e 连线的1处，即 oe 2of.31设三角形abc 中 ab 边上的高为h，就 soac soae soec 2hoe 2h1 oe·h，22111soabab2hab ·h，242由于 ab 2 ef， oe 3ef，所以 ab 3oe ，1soacoe所以 2s1h2 .应选 b.oababh34总结提高1. 向量共线也称向量平行，它与直线平行有区分，直线平行不包括共线即重合 的情形，而向量平行就包括共线 即重合 的情形

11、 .2. 判定两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.3. 当向量 a 与 b 共线同向时，|a b| |a| |b|；当向量 a 与 b 共线反向时，|ab| |a| |b|；当向量 a 与 b 不共线时， |a b| |a|b|.4.2 平面对量的基本定理及其坐标表示典例精析题型一平面对量基本定理的应用【例 1】如图 .abcd 中,m,n 分别是 dc ，bc 中点 .已知 am =a, an =b, 试用 a，b 表示 ab ，ad 与 ac【解析】易知am ad dm1 ad 2ab ，1an ab bn ab 2ad ，ad1

12、 aba,即2ab1 adb.2所以 ab 22 b a ，ad 322ab.3所以 ac ab ad 2a b.3【点拨】 运用平面对量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得认真领会.【变式训练1】已知 d 为abc 的边 bc 上的中点， abc 所在平面内有一点p，满意 pa bp cp 0，就| pd | ad |等于 11a. b.c.1d.2 32【解析】由于d 为 bc 边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法就，易知pb pc 2 pd ，因此结合 pa bp cp 0 即得 pa 2 pd ，因此易得p，a，d 三点共线且d 是 pa 的

13、中点， 所以| pd | ad | 1，即选 c.题型二向量的坐标运算【例 2】 已知 a 1 ， 1 ， b x， 1 ，u a 2b， v 2a b.1 如 u 3v，求 x； 2 如 uv，求 x.【解析】由于a 1 ， 1 ， b x， 1 ，所以 u 1 ， 1 2 x， 1 1 ， 1 2 x， 2 2 x 1， 3 ，v 21 ，1 x， 1 2 x， 1.1 u 3 v. 2 x 1 ，3 32 x， 1. 2 x1， 3 6 3x， 3 ， 所以 2x 1 6 3 x，解得 x1.2 uv . 2 x 1，3 2 x，1.2x132x,. 2 x1 32 x 0. x 1.【

14、点拨】对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视.【变式训练2 】已知向量an cosn， sin7n nn *， |b|1. 就函数y |a1 b|2|a2 b|2|a3 b|27 |a141 b|2 的最大值为.【解析】设b cos， sin，所以y |a1b|2 |a2 b|2 |a3 b|2 |a141 b|2 a12b22cos，sin7cos， sin a141 2 b2 2cos7141 ， sin7141 cos， sin 282 2cos77 ，所以 y 的最大值为284.题型三平行 共线 向量的坐标运算【例 3】已知abc 的角 a，b，c

15、 所对的边分别是a，b，c，设向量 ma，b， n sin b， sin a， p b 2 ， a 2.1 如 mn，求证： abc 为等腰三角形；2 如 mp，边长 c2 ，角 c，求abc 的面积 .3【解析】 1 证明：由于mn，所以 asin a bsin b.由正弦定理，得a2 b2，即 ab.所以abc 为等腰三角形 .2 由于 mp，所以 m ·p0 ，即 ab 2 ba 2 0，所以 a b ab.由余弦定理，得4 a2 b2ab ab2 3ab，所以 ab2 3ab 4 0.所以 ab 4 或 ab 1 舍去 .所以 sabc1absin c 21×4&#

16、215;233.2【点拨】设m x1， y1 ， n x2， y2，就 mn. x1y2 x2y1； m n. x1x2 y1y2 0.【变式训练 3】已知 a，b，c 分别为abc 的三个内角 a，b，c 的对边，向量 m2cos c 1， 2 ， n cos c ， cos c 1. 如 mn，且 a b 10，就abc 周长的最小值为 a.10 53b.10 53c.10 23d.10 23【解析】由mn 得 2cos 2 c 3cosc 2 0 ，解得 cos c1或 cos c 2 舍去 ，所以 c2 a2 b22 2ab cos c a2 b2 ab a b2 ab 100 ab，

17、由 10 a b2ab. ab25 ，所以 c275，即 c53 ，所以 a b c10 53 ，当且仅当a b 5 时，等号成立.应选 b.总结提高1. 向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示后，即可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来.向量方法是几何方法与代数方法的结合体，许多几何问题可转化为熟知的向量运算 .2. 向量的运算中要特殊留意方程思想的运用.3. 向量的运算分为向量形式与坐标形式. 向量形式即平行四边形法就与三角形法就，坐标形式即代入向量的直角坐标.4.3 平面对量的数量积及向量的应用典例精析题型一利用平面对量数量积解决模、夹角问题【例 1】 已知

18、a， b 夹角为 120 °，且|a| 4， |b| 2 ，求： 1| a b|；2 a 2b ·a b；3 a 与a b 的夹角 .【解析】 1 a b2 a2 b22a·b1 16 4 2×4×2× 12 ，2所以 |a b| 23.2 a 2b ·a b a2 3a·b2b21 16 3×4×2 × 2×4 12.213 a·a b a2a·b 16 4 ×2 × 12.2a ab12所以 cos3，所以 .| a | ab|4

19、×2326【点拨】利用向量数量积的定义、性质、运算律可以解决向量的模、夹角等问题.【变式训练1 】已知向量a，b，c 满意：|a| 1，|b| 2 ，c a b，且 ca，就 a 与 b 的夹角大小是.【解析】 由 ca. c·a 0. a2a·b 0，1所以 cos，所以 120 °.2题型二利用数量积来解决垂直与平行的问题【例 2】 在 abc 中， ab 2 ， 3 ，ac 1 ， k，且abc 的一个内角为直角，求k 的值 .【解析】当 a 90 °时，有ab ·ac 0 ，2所以 2×1 3·k 0，所以

20、 k；3当b 90 °时，有ab ·bc 0，又 bc ac ab 1 2 ， k 3 1 ， k 3，11所以 2× 1 3×k 3 0 . k；3当c 90°时，有ac ·bc 0 ， 所以 1 k·k 3 0 ，所以 k2 3k1 0. k3 ±13.2所以 k 的取值为211，或333 ±13.2【点拨】 由于哪个角是直角尚未确定，故必需分类争论. 在三角形中运算两向量的数量积，应留意方向及两向量的夹角.【变式训练2 】abc 中， ab 4 ， bc 5， ac 6 ，求 ab ·bc

21、 bc ·ca ca ·ab .【解析】由于2 ab ·bc 2 bc ·ca 2 ca ·ab ab ·bc ca ·ab ca ·ab bc ·ca bc ·ca bc ·ab ab · bc ca ca · ab bc bc · ca ab ab ·ba ca ·ac bc ·cb 42 6 2 52 77.77所以 ab ·bc bc ·ca ca ·ab .2题型三平面对量的数量积的综合

22、问题【例 3】数轴 ox， oy 交于点 o，且xoy 3 ，构成一个平面斜坐标系，e1， e2 分别是与ox， oy 同向 的单位向量，设p 为坐标平面内一点，且op xe1 ye2 ，就点 p 的坐标为 x， y，已知 q1 ， 2.1 求| oq |的值及 oq 与 ox 的夹角；2 过点 q 的直线 loq ，求 l 的直线方程 在斜坐标系中 .1【解析】 1 依题意知， e1·e2 ，2且 oq e1 2e2，所以 oq 2 e12e22 1 4 4e1·e2 3.所以 | oq |3.1又 oq ·e1 e1 2e2 ·e1 e 2 2e 1e2 0.所以 oq e1，即 oq 与 ox 成 90 °角.2 设 l 上动点 px， y，即 op xe1 ye2， 又 oq l，故 oq qp ，即x 1 e1 y2 e2 ·e1 2 e20.1所以 x 1 x 1 y 2 · 2 y 2 0，2所以 y 2 ，即为所求直线l 的方程