全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)

1、.2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. （5分）复数二”的共腕复数是（）1 - 2iA 上 b 一 C. - i D. i515 12. （5分）下列函数中，既是偶函数又在（0, +8）上单调递增的函数是（A. y=2x3 B, y=| x|+1 C, y= x2+4D. y=2 |x|3. （5分）执行如图的程序框图，如果输入的 N是6,那么输出的p是（A. 120 B, 720 C, 1440D. 50404. （5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个

2、兴趣小组的概率为 （）A.B.C.5. （5分）已知角8的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x 上，贝U cos2 0 4）a. - 4 B - CD. 45555b. （5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）（正视图）（俯视图）7. （5分）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A, B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）A.二 B.三 C 2 D. 38. （5分）&f"2式-工）5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项 XX为（）A. - 40 B. - 20

3、 C. 20 D. 409. （5分）由曲线y=7x,直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为（）A B. 4 C.D. 63310. （5分）已知；与芯均为单位向量，其夹角为 9,有下列四个命题 Pi： |a+b|>1?院0, 罕）；巳：|京讶>1?钱（等，句；P3： |:一可>1?院0,P4： | a- b| >1?长（A,句；其中的真命题是（）A. P1,P4B.P1,P3C.P2,P3D.P2,P411. （5分）设函数f （x） =sin （叶小）+cos （叶小）（S>0, | lg）的最小正周期为砥且f （ - x） =f （x）,则（）A. f （

4、x）在（0, g）单调递减B. f （x）在（J,三户）单调递减C. f （x）在（0,子）单调递增D. f （x）在（?，等）单调递增fadJJ12. （5分）函数y="一的图象与函数y=2sin冗&- 2<x<4）的图象所有交点的 1 - x横坐标之和等于（）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13. （5分）若变量x, y满足约束条件（六&+亭9则z=x+2y的最小值为.14. （5分）在平面直角坐标系xOy,椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x轴上， 离心率为返.过Fi的直线交于A, B两点，且AAB

5、E的周长为16,那么C的方 2程为一.15. （5分）已知矩形ABCD勺顶点者B在半径为4的球。的球面上，且AB=6, BC=灰, 则棱锥O- ABCD的体积为.16. （5 分）在 4ABC 中，B=60°, AC=/5,则 AB+2BC 的最大值为.三、解答题（共8小题，满分70分）17. （12分）等比数列an的各项均为正数，且 2a1+3m=1, a32=9&a6,（I ）求数列an的通项公式；（H）设 bn=log3a1+log3O2+. +log3an,求数列口一的前 n 项和.18. （12分）如图，四棱锥P- ABCD中，底面ABCD为平行四边形，/ DAB=

6、60 ,AB=2AD, PDL底面 ABCD（I ）证明：PAI BD;（H）若PD=AD,求二面角A - PB- C的余弦值.19. （12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越 好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了 100件这种产品，并测量了每件产品的质量 指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表,指标值分90, 94）94, 98）98, 102） 102, 106） 106, 110组频数82042228B配方的频数分布表指标值分组90, 94)94, 98)98, 102)102, 106

7、)106, 110频数412423210(I)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；(n)已知用B配方生成的一件产品的利润y (单位：元)与其质量指标值t的'-2, t<94关系式为y2, 94<t<1024, t>102X从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为 X (单位：元)，求X的分布列 及数学期望.(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指 标值落入相应组的概率)20. (12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A (0, -1), B点在直线y=-3 上，M点满足而/示，血靛=而?嬴,M点的轨迹为曲线 C.(I )求C的方程

8、；(n) p为C上的动点，1为C在p点处的切线，求。点到1距离的最小值.21. (12分)已知函数f (x)包型也，曲线y=f (x)在点(1, f (1)处的切线方程为x+2y- 3=0.(I )求a、b的值；(n)如果当x>0,且xw1时，f (x) >-+,求k的取值范围.I - 1 x22. (10分)如图，D, E分别为 ABC的边AB, AC上的点，且不与 ABC的顶 点重合.已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于x的方程x2- 14x+mn=0 的两个根.(I )证明：C, B, D, E四点共圆；(H)若/ A=90°,且m=4, n=6,求

9、C, B, D, E所在圆的半径.(a为参数)23. 在直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程为 了2c8口ly=2+2sinaCi上的动点，P点满足而=2不I, P点的轨迹为曲线C2(I )求C2的方程；(H)在以。为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线8匹与G的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB| .24. 设函数 f (x) =| x- a|+ 3x,其中 a>0.(I )当a=1时，求不等式f (x) >3x+2的解集(n)若不等式f (x) &0的解集为x|x& - 1,求a的化，.2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标

10、）参考答案与试题解析、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. （5分）（2011?新课标）复数华”的共腕复数是（）1 - 21A b c. - i D. i5 15 1【分析】复数的分子、分母同乘分母的共腕复数，复数化简为a+bi （a, bCR）的形式，然后求出共腕复数，即可.【解答】解：复数:，一；二W它的共腕复数为:i.故选C2. （5分）（2011?新课标）下列函数中，既是偶函数又在（0, +8）上单调递增 的函数是（）A. y=2x （5分）（2011?新课标）执行如图的程序框图，如果输入的 N是6,那么输出 的p是（ B, y=| x|+1 C, y= x2+4D. y=

11、2 |x|【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可得到既是偶函数又在（0, +00）上单调递增的函数.【解答】解：对于A. y=2x3,由f （-x） =-2x3= - f （x）,为奇函数，故排除A; 对于 B. y=| x|+ 1,由 f （ - x） =| -x|+ 1=f （x）,为偶函数，当 x>0 时，y=x+1, 是增函数，故B正确；对于C. y=-x2+4,有f （ - x） =f （x）,是偶函数，但x>0时为减函数，故排除 C;对于D. y=2lxl,有f （ - x） =f （x）,是偶函数，当x>0时，y=2 x,为减函数，

12、 故排除D.故选B.A. 120 B. 720 C. 1440 D. 5040【分析】执行程序框图，写出每次循环p, k的值，当k< N不成立时输出p的值 即可.【解答】解：执行程序框图，有N=6, k=1, p=1P=1, k< N 成立，有 k=2P=2, k< N 成立，有 k=3P=6, k< N 成立，有 k=4P=24, k<N 成立，有 k=5P=120, k< N 成立，有 k=6P=720, k< N不成立，输出p的值为720.故选：B.4. （5分）（2011?新课标）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个 小组，每位同学参

13、加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A 1 o 1 P 2 n 3A'B二 C ：； » :【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是 3X3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有 3种结果，根据古典概型概率公式 得到结果.【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3 X 3=9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到P=1J-,9 3故选A.5. （5分）（2011痢课标）已知角8的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线

14、y=2x上，贝U cos2 8二（A.-1B. -C.D.二【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tan 8的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cos 8的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把 cos 8的平方代入即可求出值.【解答】解：根据题意可知：tan 8= 2所以 cos2 0 = = =7=",sec2 日 tan2 9 +1。贝U cos2 9 =2c（2s0- 1=2X- 1 =色.55故选：B.6. （5分）（2011?新课标）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为（）【分析】由俯视图和正

15、视图可以得到几何体是一个简单的组合体， 是由一个三棱 锥和被轴截面截开的半个圆锥组成， 根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视 图.【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体， 是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，侧视图是一个中间有分界线的三角形，故选D.7. （5分）（2011?新课标）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称 轴垂直，1与C交于A, B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）A.二 B.三 C. 2 D. 3232【分析】不妨设双曲线C:三-21,焦点F（-c, 0）,由题设知 J a ba产土坎,由此能够推导出C的离心率. a【

16、解答】解:22不妨设双曲线C=十- a2 bZ焦点F ( - c0）,对称轴y=0,2由题设知aJ?产士 一，a . i,ab2=2a2,c2- a2=2a2,c2=3a2,故选B.8.（5分）（2011渐课标）（4）-45的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为（）A. - 40 B. - 20 C. 20 D. 40【分析】给x赋值1求出各项系数和，列出方程求出 a；将问题转化为二项式的 系数和；利用二项展开式的通项公式求出通项，求出特定项的系数.【解答】解：令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和为1+a.1+a=2a=155二一-L =二一一 ,:X工X工=：,2- I ? ：

17、",X XX151展开式中常数项为（Zx-工）的工与勺系数和X X-L展开式的通项为 Tr+1= (-1) r25rC5rX52r令 5 2r=1 得 r=2;令 5 2r= 1 得 r=3展开式中常数项为8c52-4C53=40故选D9. （5分）（2011?新课标）由曲线y=Vx,直线y=x- 2及y轴所围成的图形的面 积为（）A B. 4 C.D. 633【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线 yf&,直线y=x- 2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关 系完成本题的求解.【解答】解：联立方程3 z得到两曲线的交点（4, 2）

18、,因此曲线y=A,直线y=x- 2及y轴所围成的图形的面积为：S= J ：- x+2)dx=停工”一j+2«) I q=At-.故选 C.10. （5分）（2011?新课标）已知彳与均为单位向量，其夹角为 9,有下列四个命题 Pi： |a+b| >1?钱0,罕）；P2： |a+b| >1?泥（罕，耳；P3： |a-百>1?筱0,工）；P4： |；-讶>1?长（匹，句；其中的真命题是（）33A.P1,P4B.P1,P3C.P2,P3D.P2,P4【分析】利用向量长度与向量数量积之间的关系进行转化求解是解决本题的关键，要列出关于夹角的不等式，通过求解不等式得出向量

19、夹角的范围.【解答】解：由得出2 - 2cos 9> 1,即COS0<1,又此0,讥2故可以得出钱（,可，故P3错误，P4正确. 3由1.|>1,得出.cosA 1,即Cose>-1又ee【。，九故可以得出e 0,空），故P2错误，P1正确.故选A.11. . （5分）（2011?新课标）设函数f （x） =sin （叶小）+cos （叶小）| |<g）的最小正周期为冗，且f （-x） =f （x）,则（）A. f （x）在（0,单调递减B. f （x）在（1，3；）单调递减C. f （x）在（0,手）单调递增D. f （x）在（,耳）单调递增mJ7*【分析】利用

20、辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与的关系确定出的值，根据函数的偶函数性质确定出小的值，再对各个选项进行考查筛选.【解答】解：由于 f （x） =sin （CD?） +cos （CD?） =&Kn3+e吃）,由于该函数的最小正周期为T曲，得出二2又根据f （-x） =f （x）,得小+工二工+k兀（kCZ）,以及|小|<三，得出 4 224Htt, f （x） =/2sin（2x+-5-）=V2cos2x,若xe （0, JL）,则2xC （0,冗），从而f （x）在（o, JL）单调递减，22若xC （季号），则2xC （半罟），该区间不为余弦函数的单调区间，故 B, C

21、, D都错，A正确.故选A.12. （5分）（2011?新课标）函数y的图象与函数y=2sin冗&- 2<x<4）的 1 - x图象所有交点的横坐标之和等于（）A. 2 B. 4C. 6 D. 8【分析】工的图象由奇函数产二工的图象向右平移1个单位而得，所以它1 1 - xx的图象关于点（1,0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sin ttx 的图象的一个对称中心也是点（1, 0）,故交点个数为偶数，且每一对对称点的 横坐标之和为2.由此不难得到正确答案.【解答】解：函数门=，y2=2sin九的图象有公共的对称中心（1, 0）,作出1 1 - X两个函

22、数的图象如图当 1<x04 时，y1<0而函数V2在（1,4）上出现1.5个周期的图象，函数y1在（1, 4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H 相应地，y1在（-2, 1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D且：xa+xh=xb+xgXc+Xf=XD+Xe=2,故所求的横坐标之和为 8故选D、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13. （5分）（2011?新课标）若变量x, y满足约束条件、r3<2x+y<9贝 U z=x+2y 的最小值为 -6 .【分析】在坐标系中画出约束条件的可行域， 得到的图形是一个平行四边形，把 目

23、标函数z=x+2y变化为y=-x+1,当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增 大，当直线过A点时，z取到最小值，求出两条直线的交点坐标，代入目标函数 得到最小值.【解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数z=x+2y,变化为y=- yX+y,当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，由y=x- 9与2x+y=3的交点得到A （4, -5）z=42 （ - 5） = - 6故答案为：-6.14. （5分）（2011?新课标）在平面直角坐标系xOy,椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x轴上，离心率为夸.过F的直线交于A, B两点，

24、且AABF的周长为2216,那么C的方程为"二丁=1 .【分析】根据题意， ABE的周长为16,即BE+A£+BF1+AF1=16,结合椭圆的定义，有4a=16,即可得a的值；又由椭圆的离心率，可得 c的值，进而可得b的 值；由椭圆的焦点在x轴上，可得椭圆的方程.【解答】解：根据题意， AB5的周长为16,即B5+A5+BF1+AF1=16;根据椭圆的性质，有4a=16,即a=4；椭圆的离心率为 坐，即£=_,则a%,2 a 2将 a=6c,代入可得，c=2d2 则 b2=a2-c2=8;22则椭圆的方程为'+-' =1；22故答案为：一 =1.1

25、5. （5分）（2011?新课标）已知矩形 ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面 上，且AB=6, BC=2/3,则棱锥O- ABCD的体积为 8用 .【分析】由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满 足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积.【解答】解：矩形的对角线的长为： 正西示二砥，所以球心到矩形的距离为：-T=2,所以才8锥O-ABCD的体积为：1 X6X2«X2=8-故答案为：8二16. （5 分）（2011渐课标）在 ABC 中，B=60°, AC=/3 ,则 AB+2BC 的最大值 为 2b_.【分析】设AB=c AC=b BC=a

26、利用余弦定理和已知条件求得 a和c的关系，设 c+2a=m代入，利用判别大于等于0求得m的范围，则m的最大值可得.【解答】解：设AB=c AC=b BC=a由余弦定理2 a cosB=2所以 a2+c2 - ac=b2=3设 c+2a=m代入上式得7a2- 5am+m2 - 3=0 =84- 3m2>0 故 m02、/?当m=2行时，止匕时a= , c=4：符合题意 因此最大值为2 另解：因为 B=60°, A+B+C=180,所以 A+C=120, 由正弦定理，有ABBC AC 五八=2sinC sinA sinB sin60所以 AB=2sinC BC=2sinA所以 AB

27、+2BC=2sinG4sinA=2sin (120 - A) +4sinA=2 (sin120 cosA- cos120SinA) +4sinA=cosA+5sinA=2日sin (A+小),（其中sinCOs (b =-) 2V?所以AB+2BC的最大值为2币.故答案为：2亡三、解答题（共8小题，满分70分）17. （12分）（2011痢课标）等比数列an的各项均为正数，且2ai+3a2=1,a32=9&a6,（I ）求数列an的通项公式；（H）设 bn=log3a+log3a2+. +log3an,求数列:!一的前 n 项和.【分析】（I）设出等比数列的公比 q,由a32=9a2a

28、6,利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意 q 的值，然后再根据等比数列的通项公式化简 2a1+3a2=1,把求出的q的值代入即 可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比 q写出数列的通项公式即可；（H）把（I）求出数列an的通项公式代入设bn=log3a+log3a2+log3an,利用对数的运算性质及等差数列的前 n项和的公式化简后，即可得到bn的通项公式，求出倒数即为4的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列1-的前n项和.%【解答】解：（I）设数列an的公比为q,由央2=9a%得a32=9a42,所以q2

29、 .由条件可知各项均为正数，故q=1.由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1,所以 a1=1-.故数列an的通项式为an=. 3n(R ) bn= log1 +, , + log|Il=_ (1+2+, +n) =故；=-，K =-2bn n(n+l) n n+1贝u7k心+$=2 (1)+(4T)+ d士)二一粤, b b2bli22 3n n+1n+1 所以数列上的前n项和为-也口n+118. （12分）（2011?新课标）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，/ DAB=60, AB=2AD, PD，底面 ABCD（I ）证明：PAX BD;（H）若PD=AD,

30、求二面角A - PB- C的余弦值.【分析】（I）因为/ DAB=60, AB=2AD,由余弦定理得BD=/sAD,利用勾股定 理证明BD±AD,根据PDL底面ABCR易证BD± PD,根据线面垂直的判定定理 和性质定理，可证PA! BD;（n）建立空间直角坐标系，写出点A, B, C, P的坐标，求出向量靛，而，立, 和平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，求出这两个向量的夹角的余弦值即 可.【解答】（I）证明：因为/ DAB=60, AB=2AD,由余弦定理得BD=/5AD,从而 BD2+AD2=AB2,故 BD±AD又PDL底面ABCR可得BD±

31、 PD所以BDL平面PAD.故PA! BD（H）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系 D-xyz,则A （1, 0, 0）, B （0, 口, 0）, C（ - 1,g，0）, P （0, 0,1）.族=（1,打，0）,而=（0,夷，1）,前=（1, 0, 0）,r-* *设平面PAB的法向量为口= （x, y, z）,则二四一0LnpPB=O_ x+V3y=°，.m*cB=Of ,m* PB=O因此可取=(V5, i, Vs)设平面PBC的法向量为ir= (x, y, z),则、即:U-z=O可取产(0, 1, V3), cos</

32、 鉴> =故二面角A- PB- C的余弦值为：-型口719. (12分)(2011?新课标)某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值 越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新 配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了 100件这种产品，并测量 了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组90, 94)94, 98)98, 102)102, 106)106, 110频数82042228B配方的频数分布表指标值分组90, 94)94, 98)98, 102)102, 106)106, 110频数412423210(I)分别估

33、计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；(n)已知用B配方生成的一件产品的利润y (单位：元)与其质量指标值t的r - 2, t<94关系式为y=2, 94<t<1024, t>102从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X (单位：元)，求X的分布列及数学期望.(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指 标值落入相应组的概率)【分析】(I)根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到 用两种配方的产品的优质品率的估计值.(II)根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出 变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望

34、值.【解答】解：(I )由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为 组里+0.3 100.用A配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3.由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为 学察0.42100.用B配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42;(n)用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间90, 94), 94, 102), 102, 110的频率分别为 0.04, 0.54, 0.42,P (X=- 2) =0.04, P (X=2)=0.54, P (X=4) =0.42,即X的分布列为X-224P0.040.540.42. X 的数学期望值 EX=- 2 X

35、0.04+2 X 0.54+4 X 0.42=2.6820. (12分)(2011?新课标)在平面直角坐标系xOy中，已知点A (0, -1), B 点在直线y=-3上，M点满足而/廉，应港二而演,M点的轨迹为曲线C.(I)求C的方程；(n) p为C上的动点，l为C在p点处的切线，求。点到l距离的最小值.【分析】(I)设M (x, y),由已知得B (x, -3), A (0, -1)并代入而/币, 而,靛=而?嬴即可求得M点的轨迹C的方程；(R)设P (xo, y。)为C上的点，求导，写出C在P点处的切线方程，利用点 到直线的距离公式即可求得 。点到l距离，然后利用基本不等式求出其最小值.【

36、解答】解：(I )设M (x, y),由已知得B (x, - 3), A (0, - 1).所豕=(-x, - 1 - y),而=(0, - 3 - y),屈=(x, - 2).再由题意可知(而 +而)?AB=0,即(x, -4-2y) ? (x, -2) =0.所以曲线C的方程式为y息2.4(H)设P (xo, y。)为曲线C: y=J 2上一点，因为y争，所以l的斜率为工x。，2因此直线 l 的方程为 y - yo=xo (x - xo),即 xox- 2y+2yo - xo2=0. 乙|2yn - k02|11贝U。点至1 l的距离 d=,'-.又 yoxn2 - 2,- 1w

37、所以d一卷47"方)”2 V °V4+x0所以xo2=O时取等号，所以。点到l距离的最小值为2.21. (12分)(2011?新课标)已知函数f (x) 包牛+k,曲线y=f (x)在点(1, x+1 xf (1)处的切线方程为x+2y - 3=0.(I )求a、b的值；(n)如果当x>0,且xw1时，f (x)求k的取值范围.L 1 I【分析】(I)求出函数的导数；利用切线方程求出切线的斜率及切点；利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上，列出方程组，求出 a,b化(II)将不等式变形，构造新函数，求出新函数的导数，对参数k分类讨论，判断出导函数的符

38、号，得到函数的单调性，求出函数的最值，求出参数k的范围.【解答】解：由题意f （1） =1,即切点坐标是（1,1）(I) F («)=Inx)kbG+1)2，.由于直线x+2y- 3=0的斜率为-工且过点（1,1）,故， %b=la .1 解彳a a=1, b=1. b= - 22（R）由（i）知网工）二皿J,所以x+1 X£6) -(21nx4考虑函数 hG”2nJk7(J - 1)(x>0),则 x,f 、 (k - 1) ( J+i)+加h 二2.x(i)设 k< 0,由 h' 二 k'J+1)- Jl " 知,当 x*1 时，1

39、(X)<o 而h (1) =0,故当 xC (0, 1)时，h' (x) <0,可得h(x)>0;1 - x2当 xC (1, +oo)时，h' (x) <0,可得一h (x) >01- X2从而当x>0,且xW1时，f (x)( 皿虫)>0,即f (x) > 1吃电. I - 1 XI _ 1 X(ii)设 0<k<1 .由于当 x (1, -L-)时，(k 1) (x2+1) +2x>0,故 h' (x) 1 - k>0,而h (1) =0,故当 xC (1, 时，h (x) >0,可得

40、1 # (x) <0,与题 Lk1-J设矛盾.(iii)设 k>1.此时 h' (x) >0,而 h (1) =0,故当 x (1, +oo)时，h (x)>0,可得h (x) <0,与题设矛盾.1- z2综合得，k的取值范围为0.22. (10分)(2011?新课标)如图，D, E分别为 ABC的边AB, AC上的点，且 不与 ABC的顶点重合.已知AE的长为m, AC的长为n, AD, AB的长是关于x 的方程x2 - 14x+mn=0的两个根.(I )证明：C, B, D, E四点共圆；(H)若/ A=90°,且m=4, n=6,求C, B, D, E所在圆的半径.【分析】(I)做出辅助线，根据所给的AE的长为m, AC的长为n, AD, AB的长 是关于x的方程x2-14x+mn=0的两个根，得到比例式，根据比例式得到三角形 相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论.(II)根据所给的条件做出方程的两个根， 即得到两条线段的长度，取CE的中点 G, DB的中点F,分别过G, F作