信号分析与处理第4章2b

1、1 1 1第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析 4.1 4.1 连续时间信号的时域抽样连续时间信号的时域抽样 4.2 4.2 离散时间信号的离散时间信号的z z域分析域分析 4.3 4.3 离散信号的傅里叶分析离散信号的傅里叶分析 第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析信号分析与处理信号分析与处理2 2 24.3 4.3 离散信号的傅里叶分析离散信号的傅里叶分析4.3.1 离散信号的离散信号的z变换与傅里叶变换的关系变换与傅里叶变换的关系一、一、s平面与平面与z平面的映射关系平面的映射关系sstze（即（即 ( )( )|stssz exsx z1ln( )( )|sss

2、ztx zxs或或 第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析sj()ssssstjttj tjzeeeerestrest 2sst其中其中，。重复频率为。重复频率为1推导推导） 3 3 32结论：结论：由此可得由此可得sz平面有如下的映射关系：平面有如下的映射关系：1）、）、s平面的整个虚轴（平面的整个虚轴（ ） 映射到映射到z平面的是单位圆；平面的是单位圆；s平面的平面的右半平面（右半平面（ ）映射到）映射到z平面是单位圆的圆外；平面是单位圆的圆外；s平面的左半平面平面的左半平面（ ）映射到）映射到z平面是单位圆的圆内。平面是单位圆的圆内。 4.3.1 离散信号的离散信号的z变换与傅

3、里叶变换的关系变换与傅里叶变换的关系4.3 4.3 离散信号的傅里叶分析离散信号的傅里叶分析0002）s平面的整个实轴映射到平面的整个实轴映射到z平面的是正实轴；平面的是正实轴；s平面平行于实轴平面平行于实轴（=0是常数）的直线映射到是常数）的直线映射到z平面是始于原点的辐射线，当平面是始于原点的辐射线，当 ), 3, 1(20kks时，平行于实轴的直线映射到时，平行于实轴的直线映射到z平面的是负实轴。平面的是负实轴。 je3）2ssts平面和平面和z平面的映射关系不是单值的（多对平面的映射关系不是单值的（多对1）。）。 由于由于 是以是以2为周期的周期函数，为周期的周期函数， s平面与平面与

4、z平面的映射关系相平面的映射关系相当于把当于把s平面分割成无穷多条宽度为平面分割成无穷多条宽度为 的水平带面，这些的水平带面，这些水平带面都互相重叠地映射到整个水平带面都互相重叠地映射到整个z平面上平面上4 4 4二、二、z变换与傅里叶变换的关系变换与傅里叶变换的关系 1）连续信号虚轴上的拉普拉斯变换对应于傅立叶变换，离散时间信）连续信号虚轴上的拉普拉斯变换对应于傅立叶变换，离散时间信号单位圆上的号单位圆上的z变换对应于离散时间信号的傅里叶变换。变换对应于离散时间信号的傅里叶变换。2）因此，若一个离散时间信号的傅里叶变换存在，它在）因此，若一个离散时间信号的傅里叶变换存在，它在z平面的收平面的

5、收敛域应包含单位圆。敛域应包含单位圆。 4.3.1 离散信号的离散信号的z变换与傅里叶变换的关系变换与傅里叶变换的关系4.3 4.3 离散信号的傅里叶分析离散信号的傅里叶分析一、离散时间傅里叶变换的定义一、离散时间傅里叶变换的定义 nnnxnxxz)()(z)dzz(z)j21)(1 ncxnx当当z在单位圆上取值在单位圆上取值 ，即，即jez可得到可得到 离散时间序列离散时间序列x(n)的傅里叶变换（的傅里叶变换（dtft）和傅里叶反变换（）和傅里叶反变换（idtft）。）。 nnnxxjje)()(e4.3.2 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换(dtft) xnxnde)(e21)(j

6、j 1推导推导5 5 51）x(ej)又可以写成又可以写成)(| )(|)(jjjeexexx(ej)表示序列表示序列x(n)的频域特性，又称为的频域特性，又称为x(n)的频谱。其中，的频谱。其中，|x(ej)|称为幅度频谱，称为幅度频谱，()称为相位频谱，二者都是称为相位频谱，二者都是的连续函数。的连续函数。 2）由于由于ej是变量是变量以以2为周期的周期性函数，因此为周期的周期性函数，因此x(ej)也是以也是以2为周期的周期性函数，即为周期的周期性函数，即x(n)的频谱都是随的频谱都是随周期变化的。周期变化的。 4.3.2 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换(dtft) 4.3 4.3

7、离散信号的傅里叶分析离散信号的傅里叶分析2特点特点一、离散时间傅里叶变换的定义一、离散时间傅里叶变换的定义 6 6 6( )( )nx nan3举例举例：例：例4-10 求求的离散时间的离散时间傅里叶傅里叶变换，其中变换，其中|a|1。解解 离散时间单边指数信号的傅里叶变换为离散时间单边指数信号的傅里叶变换为 j0j0je11)e(e)(aaaexnnnnnj显然，要使上式成立，必须有显然，要使上式成立，必须有|a|1。 图图4-16(a)和和(b)给出了给出了a=0.8时时x(ej)的幅度频谱和相位频谱。由于频的幅度频谱和相位频谱。由于频谱的周期性，一般只需要给出谱的周期性，一般只需要给出0

8、 2或或-区间的频谱，如图区间的频谱，如图4.16(c)和和(d)所示。所示。 例例4-11 求序列求序列x(n)=(n)的的傅里叶傅里叶变换。变换。 解解 由定义式得由定义式得 jj()( )e( )e1jnnnx enn4.3.2 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换(dtft) 4.3 4.3 离散信号的傅里叶分析离散信号的傅里叶分析一、离散时间傅里叶变换的定义一、离散时间傅里叶变换的定义 7 7 7例例4-13 若若5( )( )( )(5)x nr nnn求其傅里叶变换求其傅里叶变换x(ej)。 解：由定义式得解：由定义式得 4.3.2 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换(dtft

9、) 4.3 4.3 离散信号的傅里叶分析离散信号的傅里叶分析5555422211102222()1()()15sin()2 |()|sin()2jjjjjj njjjjnjjjeeeex eeeeeeex ee 其中，幅频特性为其中，幅频特性为 5sin()2|()| |sin()2jx e相频特性为相频特性为 5sin()2()2argsin()2j 8 8 81. 线性线性2. 时移与频移时移与频移 设设x(n)x(ej) ，时移性质为时移性质为设设x1(n)x1(ej)， x2(n)x2(ej)ax1(n) + bx2(n) ax1(ej)+ bx2(ej)0jj0( -)e(e)nx

10、n nx二、离散时间傅里叶变换二、离散时间傅里叶变换dtft的基本性质的基本性质 4.3.2 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换(dtft) 4.3 4.3 离散信号的傅里叶分析离散信号的傅里叶分析频移性质为频移性质为00jj()e( )e nx nx9 9 94. 反转与反转与 dtft的对称性的对称性3. 时域信号的线性加权时域信号的线性加权 设设x(n)x(ej) ， 那么那么线性加权线性加权性质为性质为jd( )j(e)dnx nx则二、离散时间傅里叶变换二、离散时间傅里叶变换dtft的基本性质的基本性质 4.3.2 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换(dtft) 4.3 4.3

11、离散信号的傅里叶分析离散信号的傅里叶分析反转性：设反转性：设x(n)x(ej)则则x (-n) = x(e-j)对称性：设对称性：设even,odd分别为分别为x(n)的偶序列和奇序列，则的偶序列和奇序列，则j( )re(e)even x nxj( )im(e)odd x njxx(n)为实偶对称函数为实偶对称函数，则，则x(ej)为实偶对称函数为实偶对称函数x(n)为实函数为实函数，则则x(ej)的模为偶对称函数，相位为奇对称函数的模为偶对称函数，相位为奇对称函数101010时域卷积定理时域卷积定理 设设 y(n)=x(n)*h(n), 则则 y(ej)=x(ej)h(ej)5. 卷积定理卷

12、积定理设设 y(n)=x(n)h(n) 则则 d)(e)(e21)(e)(e21)(e)j(jjjj hxxhy频域卷积定理频域卷积定理4.3.2 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换(dtft) 4.3 4.3 离散信号的傅里叶分析离散信号的傅里叶分析二、离散时间傅里叶变换二、离散时间傅里叶变换dtft的基本性质的基本性质 111111 6. 帕斯维尔帕斯维尔(parseval)定理定理xnxnd| )(e|21| )(|2j2 4.3.2 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换(dtft) 4.3 4.3 离散信号的傅里叶分析离散信号的傅里叶分析二、离散时间傅里叶变换二、离散时间傅里叶变换d

13、tft的基本性质的基本性质 该定理说明，离散时间信号的总能量等于其该定理说明，离散时间信号的总能量等于其傅里叶傅里叶变换模平方在一变换模平方在一个周期内积分取平均，即时域总能量等于频域一周期内的总能量。个周期内积分取平均，即时域总能量等于频域一周期内的总能量。 1212124.3.3 离散周期信号的傅里叶级数离散周期信号的傅里叶级数dfs 周期序列周期序列x(n)不满足绝对可和的条件，不满足绝对可和的条件， 其其ft不存在。它的频不存在。它的频域分析可以采用两种方法，一种是采用离散傅立叶级数域分析可以采用两种方法，一种是采用离散傅立叶级数dfs(discrete fourier series)

14、 ，另一种是引入奇异函数，用奇异函数，另一种是引入奇异函数，用奇异函数表示它的傅立叶变换。表示它的傅立叶变换。4.3 4.3 离散信号的傅里叶分析离散信号的傅里叶分析knnnnnxnxkx2j10e)()(dfs)( 一一 定义定义dfs(离散傅立叶级数离散傅立叶级数)的正变换的正变换 k，knnnkkxnkxnx2j10e)(1)(idfs)( 即即dfs的反变换。的反变换。 n131313)(2)2kxnk次谐波的幅度为次谐波的幅度为knnnnnxnxkx2j10e)()(dfs)( knkk 2)1 次次谐谐波波的的频频率率为为3)离散离散傅立叶傅立叶级数所有谐波成分中只有级数所有谐波成分中只有n个是独立的（以个是独立的（以n为周为周期）期），这是与连续，这是与连续傅傅氏级数的不同之处氏级数的不同之处二二 特点特点4.3.3 离散周期信号的傅里叶级数离散周期信号的傅里叶级数dfs 4.3 4.3 离散信号的傅里叶分析离散信号