上海浦东高二数学补课圆锥曲线方程知识点总结

1、1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要垂视.“括号”内的限制条件:椭圆中，与两个定点f】，f?的距离的和等于常数2。, 此常数2°定要大于岡f?|,当常数等于|许笃|时,轨迹是线段f,f2,当常数小于|耳笃|时，无轨迹；双曲线中，少两定点ff?的距离的差的绝对值等于常数2d,且此常数2a定要 小于|f,f2|,定义中的“绝对值”与2qv|f】f2|不可忽视。若2a=if1f2ff则轨迹是以ff?为端点的两条射线，若2 >|fjf2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如知定点片（-3,0）,佗（3,0）,在满足下列条件的平面上动点p的轨迹中是椭鬪

2、的是a.和 + |“2丨=4 b. pf + pf2= 6c. ipfj + lpflo d pf2 + pf22 =12（答：c）；（2）方程j（兀-6）2 + b-j（x + 6）2 + y2 =8表示的曲线是 （答：双illi线的左支）（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，11 “点点距为分子、点线距 为分母”，其商即是离心率£。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离 与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如（08宣武一模）已知p为抛物线y = -x2±.的动点，点p在x轴上的射影为m,点a的处17标是（6弓,

3、贝ij|pa| + |pm|fl<j最小值是 192圆锥曲线的标准方程（标准方程是指屮心（顶点）亦原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）:椭風焦点在兀轴上时$+*"（小>0）,2 2焦点在y轴上时厶 +二=1 （a >（）oa b方程ax2 + by2 =1表示椭圆 （a, b,同正，ahb）。79如（1）已知方程丄+=1表示椭圆，则£的取值范围为3 + k 2-k（答：（一3,-*）u（-斗,2）；（理科班）（2）若x,yerf且3x2+2/=6,则兀+ y的最人值是，扌+严的最小值是 （答：v5,2 ）2 2（2）双曲线：焦点在兀轴上：一 j =1,

4、a2 b22 2（3）焦点在y轴上：厶一亠=1 （ a > 0,b > 0 ）。"a b（4）方程 ax2 + by2 = 1 表示双illi线 v （a, b 异号）。（5）如（1）双曲线的离心率等于且与椭圆-4- = 1有公共焦点，则该双曲2 94r2线的方程（答：-v2=l）:4 （2）设中心在坐标原点0,焦点许、竹在坐标轴上，离心率£ =厲 的双曲线c过点p（4,j0）,则c的方程为 （答：%2-/=6）（3）抛物线：开口向右时y2 =2px（p >0）,开口向左时y2 =-2px（p>0）,开口向上时/ =2py（p > 0）,开口向

5、下时兀$ =-2py（p >0） o3.1员i锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）（如:y = 2x2焦点0,- i 8丿(1) 椭圆：由x 2而25如(1)若椭圆+ = 1的离心率£ =竺,则加的值是_ (答：3或)；5 m53, y 2分母的人小决定，焦点在分母人的处标轴上。如已知方程丄=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是(答： m - 12-m3(2) 双|11|线：由x2,y 2项系数的正负决定，焦点在系数为止的坐标轴上；(3) 抛物线：焦点在一次项的处标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提醒：(1)在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置

6、，焦点f2的 位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两 个参数确定椭圆、双illi线的形状和人小，是椭圆、双illi线的定形条件；在求解抛物 线问题时，首先要判断开口方向；(2) 在椭圆中,a最大,a2 =b2 4-c2,在双曲线中,c最大，c? = a2 +z?2。(3) 不要思维定势认为圆锥曲线方程都是标准方程4圆锥|ll|线的儿何性质：2 2(1) 椭圆(以二+与=1 (a>b>0)为例)：a2 b2 范围：-a<x< a,-b < y <b ； 焦点：两个焦点(±c,0)； 对称性：两条对称轴x = q

7、,y = q , 一个对称中心(0,0),四个顶点(±a,0),(0,±b)，其中长轴长为2a ,短轴长为2b ； 准线：两条准线x = ±；c 离心率：e = -f椭圆oovwvl,幺越小，椭圆越圆；幺越大，椭圆越扁。a（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的血积最大值为1时，则椭圆长轴的最 小值为_ （答：22 ）（2）双曲线（以兰一尤=1 （。0">0）为例）：a2 b2 范围：x < -a x > a, y e r ； 焦点：两个焦点（土c,0）； 对称性：两条对称轴x = 0,= 0 , 一个对称屮心（0,0）,两个顶点

8、（±。,0）,其中实轴长为2d,虚轴长为2b,特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线,其方程可设为x2-y2=k,k0； 准线：两条准线x = ±； c 离心率：e = -,双illi线0 2 1,等轴双|11|线o £ =血,丘越小，开口越a小，越大，开口越人； 两条渐近线：y = ±°x。a 双曲线焦点到渐近线的距离是b ,垂足恰好在准线上如（1）双illi线的渐近线方程是3x±2y=0,则该双illi线的离心率等于（2）双111线ax2 -by2 = 1的离心率为亦，则a*= （答：4或丄）;4x（3）设双曲线=ay2=

9、1（a>0,b>0）中，离心率eev2,2,m两条渐近线夹it 7t 角。的取值范i韦i是（答：,j）；3 2（3）抛物线（以/= 2/7x（/? >0）为例）： 范围：co”心焦点：一个焦点（彳,0）,其中p的几何意义是：焦点到准线的距离； 对称性：一条对称轴y=0,没有对称中心，只有一个顶点（0,0）； 准线：一条准线x =；2 离心率：e =,抛物线ow = l。如设，则抛物线y = 4ax（答：（如,1）； （2）直线y-kx-1=0与椭圆+ = 有公共点，则m的取值范围是（答: m1, 5) u (5, +2 )；2 2（3）过双曲线厂才】的右焦点直线交双曲线于a、

10、b两点，若iabu4,则这样的直线有条（答：3）（2）相切：a = 0<=>直线与椭圆相切；4 = 00直线与双曲线相切；4 = 00直线与 抛物线相切；（3）相离：a<0o总线与椭圆相离；avoo直线与双曲线相离；avoo直 线与抛物线相离。的焦点坐a标为 （答：（0,丄）;16av2 ,25、点pu0,y0）和椭ki + = 1（ab>0）的关系：点p（x0,儿）在椭圆外o>1;cr b(1)（2）点p（兀（）,y（）在椭圆 liu* +冷=1； a b2 2(3) 点 p(兀°, '0)在椭圆内 o t +< 1a" b6.

11、 直线与鬪锥曲线的位置关系：相交：a0o总线与椭圆相交；图像法如（1）若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是特别提醒：(1) 直线与双illi线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。 如果直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；如果直线与抛物 线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点；2 2(2) 过双曲线二-与=1外一点poo，)b)的直线与双曲线只冇一个公共点的情况cr b如下：®p点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的总线 和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；

12、 p点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的肓线 和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条； p在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一 条是切线； p为原点时不存在这样的直线；(3) 过抛物线外一点总有三条在线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条 平行于对称轴的直线。如(1)过点(2,4)作直线与抛物线/=8x只有一个公共点，这样的直线有(答:2)；(2)过点(0,2)与双曲线- = 1w且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为916(3) 过双曲线x2- = l的右焦点作直线/交双曲线于a、b两点，若|a国=4,则满足条件的直线/有条(答

13、：3)；(4) 对于抛物线c： y2 = 4x ,我们称满足y02 < 4x0的点在抛物线的内部，若点 woo)在抛物线的内部，则直线y)y = 2(x + x)与抛物线c的位置关系是 (答:相离)；(5) 过抛物线y2=4x的焦点f作一直线交抛物线于p、q两点，若线段pf与fq的长分别是p、q,则丄+丄= (答：1):p q79设双曲线詁1的右焦点为f,右准线为人设某直纟如交其左支、右支和右准线分别于pqr,则上pfr和zqf/?的大小关系为（填人于、小于或换、)13等于）（答：等于）；（7）求椭圆7x2+4/=28±的点到直线3x-2y-16 = 0的最短距离（答:（8）直

14、线=处+1与双曲线3x2-/=1交于a、b两点。当d为何值吋，a、b分 别在双曲线的两支上？当q为何值时，以ab为直径的関过坐标原点？（答： （-巧,希）；®a = ±1 ）；7、焦半径（圆锥illi线上的点p到焦点f的距离）的计算方法：利用圆锥iii线的第二定义, 转化到相应准线的距离，即焦半径厂=，其中d表示p到与f所对应的准线的距离。2 2如（1）已知椭圆+ = 1±一点p到椭圆左焦点的距离为3,则点p到右准线的距离 251635为 （答：）；3（2）已知抛物线方程为若抛物线上一点到y轴的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距离等于；（3）若该抛物线上的点m到焦

15、点的原离是4,则点m的坐标为（答：7，（2,±4）；2 2（4）点p在椭圆+ - = 1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点p的259横坐标为（答：）； 12（5）抛物线）"=2工上的两点a、b到焦点的距离和是5,则线段ab的小点到歹轴的距离为 （答:2）；2 2（6）椭圆y + y = 1内有一点p（l,-1） ,f为右焦点，在椭圆上有一点m,使mp + 2|a/f| 8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定 义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点戶（儿）到两焦点片，耳的距离分别之值最小，则点m的坐标为2 2为焦点

16、比严2的面积为s,则在椭圆二+= 1中，5=/?2tan- = cl yol,a2 b22当i儿1= b即p为短轴端点时，s“和的最大值为be； 对于双曲线r 一円=1的焦点三角形有：s = _sin6 = /?2cot0er tr22ill （1）短轴长为街，离心率e =-的椭闘的两焦点为仟、耳，过片作直线交椭圆于a、b两点，则abf.的周长为（答：6）；（2）设p是等轴双曲线*-2之20）右支上一点，片、f?是左右焦点，若pf2 ff2 = 0, |pf心6,则该双曲线的方程为 （答：兀2_）,2=4）:y2 v2一一（3）椭圆一+ 1的焦点为已、f2,点p为椭圆上的动点,当pf2pf &

17、lt;0 94时，点p的横处标的取值范围是（4）双曲线的虚轴长为血离心率*普， f2是它的左右焦点，若过f的直线与双曲线的左支交于a、b两点,且|4b|是山再 与|防2等差屮项，则 m = （答：82 ）:（5）已知双曲线的离心率为2,只、f2是左右焦点，p为双曲线上一点，且2 2zf,pf2 =60 s时卜、2 =1273.求该双曲线的标准方程（答：- = 1）:9、圆锥曲线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）抛物线以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；椭圆以过焦点的弦为直径的圆和 相应准线相离，双曲线以过焦点的弦为直径的圆和相应准线相交（2）设ab为焦点弦，m为与相应准线与x轴的交点，则

18、zamf=zbmf：（3）抛物线设ab为焦点弦，a、b在准线上的射影分别为ab,若p为的 中点，则pa丄pb；（4）抛物线（椭圆，双illi线）设ab为焦点弦若a0的延长线交准线于c,则bc平行于x轴，反之，若过b点平行于x轴的在线交准线于c点，则a, o, c三点共线。10、弦长公式：若直线y = kx + b与圆锥曲线相交于两点a、b,且壬,兀2分别为a、b的横坐标，贝iab=yh + kixi-x2,特别地，抛物线中焦点弦（过焦点的弦），利用 定义求解。如（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于a （xv出），b（x2, y?）两点， 若xi+x2=6,那么|ab|等于 （答：8）

19、；（2）过抛物线= 2x焦点的直线交抛物线于a、b两点，已知|ab|=10, o为坐 标原点，贝'j a abc重心的横坐标为 （答：3）:11、関锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。f v2h2x在椭圆+ j = 1中，以pg,%）为中点的弦所在直线的斜率 心一；在双曲线 cr bq-y。x2 v2b2x7-4 = 1屮，以pdodo）为中点的弦所在肓线的斜率k=:在抛物线xa 儿y2 = 2pr（ > 0）屮，以p（x0,儿）为中点的弦所在直线的斜率k= 2。 儿如如果椭圆話+弦被点a （4, 2）平分,那么这条弦所在的直线方程是（答：x+2y

20、8=0）；2 2（2）已知直线y=x+1与椭圆罕+ 27 = 1（°/?>0）相交于a、b两点，且线段（答:2crab的中点在直线l： x-2y=0 ±,贝u此椭i员【的离心率为2 2（3）试确定m的取值范围，使得椭圆匸+ 22 = 1上有不同的两点关于直线4 3y = 4x +加对称(答：_巫1,乂1)；i 1313 j特别提醒：在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验a>0!12. 你了解下列结论吗？2o29(1) 双曲线al_2l = i的渐近线方程为al_2l = o；a2b2a2b2122(2) 以y = ±x为渐近线(即与双曲线al-21

21、 = 1共渐近线)的双曲线方程为aa2b272=为参数，2工0)。如与双曲线- = 1有共同的渐近线，且过点(一3,2丿§)a2 b29 164y2的双曲线方程为(答:一丄=1)94(3) 中心在原点，处标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为mx2+ny2=l；(4) 抛物线的通径为2p ,焦准距为p；(5) 若oa、0b是过抛物线y2=2px(p>0)顶点0的两条互相垂直的弦，则直线ab恒经过定点(2/7,0)13. 动点轨迹方程：(1) 求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；(2) 求轨迹方程的常用方法： 直接法:直接利用条件建立兀,y之间的关系f(x,y)

22、 = 0；如已知动点p到定点f(1,0) 和岂线x = 3的距离之和等于4,求p的轨迹方程.(答：/=-12(x-4)(3<x<4)«g y2 = 4x(0 < x < 3)； 待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程一一先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。如抛物线顶点在原点，处标轴为对称轴，过(1,4)点， 抛物线方程为 (答：y2=6x,x2=-y): 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种己知曲线，再由dii线的定义肓接写出动点的 轨迹方程；如由动点p向圆兀2+),= 1作两条切线pa、pb,切点分别为a、b, zapb=60°,则 动点p的轨迹方程为 (答：x2 +)，=4)；(2)点m与点f(4,0)的距离比它到直线厶兀+5=()的距离小于1,则点m的轨迹方程是 (答：y2 =16x )；(3) 动圆与两圆0m： %2 + y2 = 1和on： x2