新分解质因数

1、分解质因数1.【知识要点和基本方法】一质因数和分解质因数（1）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数（2）把一个合数用质因数相乘表示，叫做分解质因数，如把12分解质因数得122×2×322×3，这时并称2和3是12的质因数。（3）质数与互质的区别：质数是指约数只有1和它本身的自然数；而两个数的公约数只有1时，这样两个数的关系称为互质。（4）分解质因数的方法主要是短除法，（在小学阶段）：譬如分解675这个合数，试除时一般从最小质数开始所以，67533×52二、合数的约数个数与合数的约数和以前的例子为例可知：（1）675的约数有1、2、

2、5、9、15、27、45、75、135、225、675共12个，而675的质因数分解式为：67533×52其中指数3时质因数3的个数，指数2时质因数5的个数，那么675的约数的个数12，恰好时各个质因数指数加1的和的乘积：（3+1）×（2+1）12（2）675的12个约数之和：1+3+5+9+15+25+27+45+75+135+225+6751240但由于675的质因数分解式为67533×52，那么675的所有约数之和与675的质因数3和5的方幂恰好有如下关系：1240（1+3+32+33）×（1+5+52）40×311240我们再举一个例子

3、，比如1800024×32×53，不妨我们自己验证一下：（1） 合数18000的所有约数的个数为：（4+1）×（2+1）×（3+1）60个（2） 合数18000的所有约数和为：（1+2+22+23+24）×（1+3+32）×（1+5+52+53）31×13×15662868当然，这不是偶然的，我们可以总结出求一个合数的所有约数的个数和所有约数和有如下结论。定理 若自然数N分解质因数的结果是： N=p1r1 .p1r2 .pnrn其中质数p1 . p2 . pN为互补相同的质数， r1，r2 。，rn 为正整数，分别

4、是p1,，p2 。，pn 的指数，那么（1） N的约数个数是：（r1+1）×（r2+1）×.×（rn+1）（2） N的所有约数的和是：（1+p1 +p12 +p13 +.+ p1r1 ）×（1+p2+p22 +p23 +.+ p2r2 ）×.×（1+pn +pn2 +pn3 +.+ pnrn ）特别地，当N只有一个或若干个相同的质因数（即N=pr ，p 为质数，r为自然数）时，N的约数有r+1个，所有约数的和为：1+p +p2 +p3 +.+ pr三、定理：如果一个数是某一质数的平方，那么这个数只有3个约数，反过来，如果一个数只有3个

5、约数，那么这个数一定是某个质数的平方。举例说明如下：9（即32）的约数有3个分别是1，9和3；25（即52）的约数为3个分别是1，25和5；49（即72）的约数为3个分别是1，49和7等等四、定理 （1）如果一个数为一个完全平方数，那么这个数的约数个数一定是奇数；反之，如果一个数的约数个数是奇数，那么这个数一定是一个完全平方数（2）如果一个数不是完全平方数，那么这个数的约数个数一定是偶数；反过来，如果一个数的约数个数是偶数，那么这个数一定不是完全平方数。举例说明如下：完全平方数366222×32，所以36的约数个数为（2+1）×（2+1）9，是奇数。非完全平方数502

6、15;252×52，所以50的约数个数为（1+1）×（2+1）6，是偶数。例1 学区举行团体操表演，有1430名学生参加，分成人数相等的若干队，要求每队人数在100至200之间，共有几种分法？ 分析与解：按题意，每队人数×队数=1430，每队人数在100至200之间，所以问题相当于求1430有多少个在100至200之间的约数。为此，先把1430分解质因数，得14302×5×11×13。从这四个质数中选若干个，使其乘积在100到200之间，这是每队人数，其余的质因数之积便是队数。2×5×11=110，13； 2

7、15;5×13=130，11； 11×13=143，2×5=10。所以共有三种分法，即分成13队，每队110人；分成11队，每队130人；分成10队，每队143人。例2. 有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？解 我们先把5040分解质因数得：504024×32×5×7再把这些质数凑成四个连续的自然数的乘积：24×32×5×77×8×9×10答 这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁、10岁例3 下面算式中，不同的

8、字母代表不同的数字，求这个算式abc×d1995分析：先将1995分解质因数得：19953×5×7×19再将质因数适当搭配，使之转化成一个三位数与一个一位数相乘的形式，且三位数的三个数字各不相同即可。解：因为19953×5×7×193×6655×3997×285，显然只有7×285符合要求。答：所求算式是285×71995，例4 求72有多少个不同的约数。 分析与解：将72分解质因数得到72=23×32。根据72的约数含有2和3的个数，可将72的约数列表如下： 上表

9、中，第三、四行的数字分别是第二行对应数字乘以3和32，第三、四、五列的数字分别是第二列对应数字乘以2，22和23。对比72=23×32，72的任何一个约数至多有两个不同质因数：2和3。因为72有3个质因数2，所以在某一个约数的质因数中，2可能不出现或出现1次、出现2次、出现3次，这就有4种情况；同理，因为72有两个质因数3，所以3可能不出现或出现1次、出现2次，共有3种情况。根据乘法原理，72的不同约数共有4×3=12（个）。从例4可以归纳出求自然数N的所有不同约数的个数的方法：一个大于1的自然数N的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加1的连乘积。例如，235

10、2=24×3×72，因为2352的质因数分解式中有4个2，1个3，2个7，所以2352的不同约数有（4+1）×（1+1）×（2+1）=30（个）；又如，9450=2×33×52×7，所以9450的不同的约数有（1+1）×（3+1）×（2+1）×（1+1）=48（个）。例5 将下列八个数：15，18，21，22，42，44，50，60分为个数相等的两组，使这两组数的乘积相等，应怎样分法？分析：将所给的每一个数分解质因数，并分为个数相等的两组使各组所含相同质因数的个数一样多解 153×5，

11、182×32，213×7，222×11，422×3×7，4422×11，502×52，6022×3×5这八个数乘积是：28×36×54×72×112因此，每组数的乘积应为：24×33×52×7×11所以，这两组数应为：15，44，21，60及18，22，42，50，或者为15，22，42，60，及18，44，21，50每一组数的积的质因数分解式均为（1）例6.小明家的电话号码是七位数，它恰好是几个连续质数的乘积，这个积的末四位

12、数是前三位数的10倍，请问小明家的电话号码是多少？分析：由题意可设小明家的电话号码是abcabc0解 设电话号码为abcabc0abcabc0abc×1001×102×5×7×11×13×abc因为电话号码是连续七个质数的乘积，而abc是三位数，故abc3×17×19969，故小明家电话号码是9699690例7.有一个自然数，它的个位数是零，它共有8个约数，这个数最小是多少？分析 因为87+1（1+1）×（3+1）（1+1）×（1+1）×（1+1），另外，此题要求这个自然数的

13、个位是零，它必须含有质因数2和5，不能只有一个指数为7的质因数，所以这个约数的个数8只能写成：（1+1）×（3+1）或（1+1）×（1+1）×（1+1）可求解如下： 解 因为87+1（1+1）×（3+1）（1+1）×（1+1）×（1+1），又因为这个自然数必含2，5这两个不同的质因数，又要求最小，所以这个自然数应为2×3×530答：个位是零又有8个约数的最小自然数是30在这一讲中，我们研究了一个数的约数个数，这些约数的和的求法，同时我们还研究了n个不同质数相乘的积约数个数为2n，并且知道质数的平方的约数只有三个，完

14、全平方数的约数个数是奇数，非完全平方数的约数个数是偶数，应用这些知识，我们可以解决许多问题。练习题 1.一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209分米2，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少立方分米？ 2.爷孙两人今年的年龄的乘积是693，4年前他们的年龄都是质数。爷孙两人今年的年龄各是多少岁？ 3.某车间有216个零件，如果平均分成若干份，分的份数在5至20之间，那么有多少种分法？ 4.小英参加小学数学竞赛，她说：“我得的成绩和我的岁数以及我得的名次乘起来是3916，满分是100分。”能否知道小英的年龄、考试成绩及名次？5.举例回答下面各问题：（1）两个质数的和仍是质数吗

15、？（2）两个质数的积能是质数吗？（3）两个合数的和仍是合数吗？（4）两个合数的差（大数减小数）仍是合数吗？（5）一个质数与一个合数的和是质数还是合数？6.求不大于100的约数最多的自然数。7.同学们去射箭，规定每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶）或者是不超过10的自然数。甲、乙两同学各射5箭，每人得到的总环数之积刚好都是1764，但是甲的总环数比乙少4环。求甲、乙各自的总环数。8.用质数a除2033，商是一个两位数，余数是35.那么质数a是多少？商是多少？9.不计算，求48×925×38×435积的末几位是连续的0？ 10.李老师带领一班同学去植树，学生恰被分成

16、4个小组，总共种树667棵。如果师生每人种的棵树一样多，问这个班共有学生多少人？ 11.a是质数，且a+6，a+8，a+12,a+14都是质数，试求出满足要求的最小质数。12.把17分成几个自然数的和，再求出这几个自然数的乘积，要使得到的乘积尽可能大？这个乘积是多少？如何分法？智力趣题41名运动员所穿的运动衣号码是1,2,3，41，这41个自然数，问：（1） 能否使这41个运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？（2）能否使这41个运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？如能办到，请举一例：若不能办到，请说明理由.练习111.374分米3-提示：长方体正面和上面

17、的面积和是：长×高+长×宽=长×（高+宽）=209=11×19=11×（2+7），所求体积为11×2×17=374（分米3）。2.9岁，77岁。提示：693=32×7×11，因为爷孙的岁数都大于4岁，693分解成两个大于4的约数的乘积，有693=7×99=9×77=11×63=21×33，相乘的两个约数减4都是质数的有9×77和21×33，但爷孙的年龄不可能是21岁和33岁，所以是9岁和77岁。3.5种。提示：216=23×33，216

18、的介于5与20之间的约数有6，8，9，12和18五个。4.11岁，87分，第四名。提示：3916=22×11×89，小英的年龄应在712岁。5.（1）不一定；（2）不能；（3）不一定；（4）不一定；（5）不一定。6.72，60，84，90。提示：只有一个质因数时，约数最多的是26=64，有7个约数；有两个质因数时，约数最多的是23×32=72，有12个约数；有三个质因数时，约数最多的是22×3×5=60，22×3×7=84，2×32×5=90，各有12个约数。7.甲24环，乙28环。解：因为环数之积都是1764，说明他们的环数中没有0环和10环，环数都是1764的大于0小于10的约数。1764=2×2×3×3×7×7。五箭的环数可能的情况有：（1）1，2×2，3×3，7，7即1，4，9，7，7环，和是28；（2）1，2×3，2×3，