晶体弹性常数矩阵的推导

1、晶体的弹性性质»应力.应变张量，虎克定律»弾性常数与对称性步從性波在晶体中传播压电铁电品体是电介质，它具有介电性 质；同时压电铁电晶体又是弹性介质，它 又具有弹性性质，而压电效应就是反映了 它的介电性质和弹性性质之间的搞合作用 不同晶体结构的压电铁电鼎体，各向异性 程度不一样，或者说独立的弹性常数的数 目与晶体的对称性有关.1#£ 形变 deformation在外力作用下，物体的大小和形状都要 发生变化，通常称为形变.当讨论物体 的转动和移动时，形变对运动物体的影 响很小，是次要问題，一般可以忽略不 计。当讨论振动的传播或压电效应等问 题时，形变就成了重要问題，需

2、要进行 深入的讨论和研究。塑性和弹性Plastic and Elastic如果外力撇消后，物体不能恢复原状，这种性质 就称为物依的塑性；如果外力撤消后，物体能恢 复原状这种性质就称为物体的弹性。自然界不存在完全的弹性体，也不存在完仝的塑 性体；只存在既有弹性又有塑性的物体.当外力 较小吋，形变也小,外力撤消后,形变消失.物 体恢复原状；当外力校大时，外力撤消后，物体 不能恢复原状可见物体的弹性有一定的限度， 超过这个限度就成为塑性。与压电有关的问题， 都属于弹性范围内的问題，#应力.应变应变张量：strain tensor当品体形变时，晶体内任意两点间的距离#晶体中任一点的位置可以用所选定的坐

3、标系的 位置矢董来描述，它的三个分量为X】.xr xr 当晶体发生形变时，其中每一点的位置均会发 生改变。设形变前的某一点的位査矢量为 形变后为F （其分董为X、x；）,由于形 变这一点的位移可以用位置矢衣菜表示：都会发生变化，设最近邻的两点形变前的 巨离为dl （分量为dx，形变后的巨离为 dr （分董为dx：）,囱为dxdXj+dg而2#于是:利用以下关系:3d® *+ "2 + "3CXjCX2cXj(dTF£(dXk +(lb)2 (dx J +2dx】d® +(dx J + 2dx 心 + (<uj + (dxj +2dx3d+

4、(dt)2-(dl)2 + 2dx2® + (dy + 2dx2d + (<U J + ：dx3d + (d)2#F于是冇：（dl*）2-（dl）2+2dx（字dx严字g +各ij 儈+字dx, +字dx J +ICX«J IRy1叫鬻並燈dx： +詈讣（為並+雪dx罐也” 叫參g+gdx：+詈<k»（鬻g+老见+詁）一mQ最后可得到形变前后距离的变化为:（“）、（+ dbk）：-（莎 + 2j>»dX|dXkkd41其中张量由下式给出："丄（生+理+£玉鱼）#该式给出了在物体形变时，它的长度单 元的改变.例如（d/

5、dxj ,当2k 时，代表伸缩应变（纵向应变），而当 i=k时，代表切应变（横向应变）。一 般称为应变张量元从上式直接可以 看出eik -ekP即应变张量是对称的.在大多数情况下，应变是很小的所以上式 右方的第三项可以略去，于是应变张量元为:4应变张量元的矩阵形式ell e12e12 e22<e13e23如杲用x. y、z代表位遗.矢董T的三个分 量；u. v、v代表位移矢量g的三个分量; 那么这六个张董元可写成为：e33>二级对称的张量，有六个独立元素2 s 1 t t C M" et.z du亍報竺仇 如加生ax.fk氐 孟 ” iax* -2 1-2 体积元的休积改

6、变量：aV-AV = (1 - . XI - e“ )(1 - j)V 7V = (e w e)V由形变引起的体积相对增量称为体膨胀为：AV-AV5#由于切变 AtA' , BtB' , CtC', D->D图中u. v代表A点位移的分量, 令AD=A,D,=Ax> AB=A,B=Ay> 则：tan©)- tan(e2)- » ©2AxAy所以 (创/Qx+6u/6y) /2(0*0.) /2znoOHdu gj,cnIS6由于应变张量是个对称的二阶张量，只有六个 独立的元素，因此常被写成一个纵列矩阵，用代表张量元.用一个

7、新的足标入2 6莱代替原来的足标，其对应关系如下：SS：S,2s<-2.2J2J应力张量stress tensor在没有形变的固体中，分子的排列是处于 热平衡状态，作用在固体中任意一部分的 合力都等于零如呆固体有形变，那么它 就不再处于斥来的平衡态，而会受到力的 作用，该力会使物体具有恢复到平衡的越 向.7#19这种在固体形变时，作用在固体中单位面 积上的力称为应力.应力是一个二圾张 童，其各个分量为q八o於巧广 b巧、O巧、b" Gue为此義们屯把 应力称为应力张量.张量元的前一个足标 代表应力的方向，后一个足标代表应力所 作用面的法钱方向.例如，作用在垂直于X轴的单位而积上

8、沿X 方向的血力是O”这类应力是垂直于表面 的，代表张力或压力；作用在垂直于X轴的 单位面积上沿y方向的应力是0霍，这类应 力是沿着表面的，即平行于表面的切向， 代表切应力.内应力作用在物体上的总力矩等于零，因 此，存在如下关系：8单、双脚标之间的对应关系角标XXyyZZyzzxxy双脚标112233233112单角标123456TxL£EJ%J%a«y应力张董也是对称的二级张量，它只有六个独 立的张量元素。所以对于骷体，也常常把应力张量写成一个纵列矩阵.以Tx (X=k 26)来表示，其对应关系为：应力张量和应变张量的情况有一点不同，当 X=4. 5、6时，T广0订，而S

9、x=2Cjj ( i=j ) 9#作用在体积元上AxAyAz的力与应力张量元g s 之间的关系。如图所示，沿x方向力的分量有三个:G(x + 2x)-Qtt (x)AyAz = -AxjAyAz J (y+ Ay)- J (y)AxAz = $AyAxAz aM(z+Az)-aw (z)lyAx = -AzjAyAx所以作用在体积元AxAyAz上力的x分量为:于煤 + -AxAyAz2728#J0作用左单位体积上力的x董为： f 一刃“十刃“十&1 ax ay oz同理：f、警+誓+宴f壬+竺+竺泳 旳 虹以上公式在建立描述固体中弹性波传播的方 程时将会用到。£ 胡克定律 H

10、ook's law对于足够小的形变，应变与应力成正比，因 此应变分量是应力分量的线性函数，这一规 律称为胡克定律，写成矩阵形式为：10£弹性柔顺常数compliance弹性类顺常数的物理意淡:$十（闷/刃）叶 当其它应力分董丁丘（kHl）为常数（或耳0）时，由于沿x方 向的伸缩应力T的改变引起x方向仲缩应 变S的改变，与伸缩应力T的改变成正比 可见S只与x方向的伸缩应力人和伸缩应 变有关.S2=（6S】/6T2）m 当其它应力分量T （k#2）为常数 （或耳前）砧，由于沿y方向的伸缩应力T?的改变 引起x方向仲缩应变S的改变，与伸缩应力T、的改交 成正比或当其它应力分走Tk

11、（kl）为常敷（或Tk -0）时，由于沿x方向的仲缩应 力T】的改变引起y方向仲缩应变S*勺改变，与仲缩应 力T】的改变成正比.可见为乌y方向的伸缩应力 T?和x方向的伸缩应变S有义的弹性柔顺常数；或者 为与x方向的仲缩应力T和y方向的伸缩应变S?有关 的弹性柔顺常数.11#12#S广“S/arjTi当其它应力分量匚（k#4）为常數 （或T* -0 ）出 由于x而上的切应Tj的改变引起x方向伸缩应变S的改变与切应力的改变之比（x面 即yz平面）.或Sj广（於丿眄）w 当其它应力分董 T. （21）为常数（或1=0）时，由于x面上的伸缩 另T】的改变引起x而上M切应变Sj的改变与伸缩应力T的鼓变

12、之比.可见s】4为与x面上的切应力和x 方向的伸缩应变S】有头的弹性柔顺常数；或者为与 x方向的伸缩应力T和x面上的切应变S有关的弹性 柔顺常数s44-（as4/aT4）n当其它应力分量q（74）为 常数（或Tk »0）时，由于x面上的切应力Tj 的改变引起X面上切应变为的改变与切应力Tj 的改变之比.可见S収只与X面上的切应力Tj 和切应变有关的弹性柔顺常数。其它弹性常数所代表的意义与S|i、sir 和 Sg类似.#矩阵形式的胡克定律还可写为s討,1 - 123,456由于应力.应变都是二级张量，所以弹性柔 顺常数Sy共有36个，其中独立的弹性柔顺常 数共21个（如果应力应变都是9

13、个独立分 量，则弹性柔顺常数将为81个）.弹性柔顺 常数是一个四级张量。弹性刚度常数stiffness胡克定律也可表示为,i = 1234,6其中为弹性刚度常数，共有36个，独立的 弹性刚'度常数共21个，弹性刚度常数也是一 个四级张量。12矩阵形式:对于各向同性的多晶体，胡克定律的形式为13Tc.l5C|1C|4CIS%、L5C2255C»S2T；sCbJJ5SLCI4JJJJJS4£CIS5CMJc”c.S,rj055C“c%J 70丿S.爲1000T,)和000*11$11000T.J000s00r0000g0人S00000#37严2”有两个独立的弹性常写成分

14、量形式为S| -tn+tTj+sTj S、= SjT +S| T, +sI uT| +suT2 +t|Tj S4 - »44T4 * X«ll ->I2)T4 s$ =SWTS =2(stl -sJT, S. 人 3 2(su -»u)Tt从胡克定律看出.各向 同性物体的的应力T】、Tr T；只对仲缩形变有直 获.而与切应变无关； 切应力T“ T“ T&只对切 应变有吴献，而与伸缩 形变无关并且切应力 只对切应变»有贡献， 与切应tS5 . Se无关； T T况与此相同.实验上常釆用杨氏模董Y,泊松比q及切变模 量G来代替弹性柔顺常数ssi

15、r s*它们 之间的关系为：Yangs modulus Y = Shear modulussn0_ 1_1_ yPoission ratio a-2<i*c)40#T弹性常数与对称性用杨氏模量 Y,泊松比o及 切变模量表示 的各向同性介 质的虎克定律:S 严 $To(T：+TJ】 Sj$Ey(TlTJ S严割吨+ £) S,誌-琴2t s,专T,=¥1t, s.SR14#41#不同对称性晶类的独立弹性常数15#和介电带数一样，材料的弹性常数也与对称性 有关.描写各向同性弹性介虞的虺立弹性常数只有两 个；描写完全各向异性介廉弹性介质的独立弹性常 数共有21个；而介于各向

16、同性与完仝冬向异性之间的介质. 它们的独立弹性常数个数则介千221之间. 例如，厲于三斜晶系1点群的压电品体是完仝各 向异性的，独立的弹性常數共有21个.馬于立方 曲系的23点群和对点群的压电岛体.是对称性最 高的品体，它接近千完全各向同性.独立的弹性 常数只有三个属于四方品系4mm点群的曲TiO；晶 体，独立弹性常数共冇六个.属于六用品系农点 群的a石英品体和A«f6HiNbOr独立弹性常數 都是六个.属于正交品系mm2 X群的侥酸倾钠 (Ba2NaNb5O15 )品体和222点群的酒石酸钾钠 (NaKCdO)品体，独立弹性常数有9个.#根据Neumann原则，晶体的对称性不仅表

17、现在结构上，也表现在它的物理特性 上，因此晶体的弹性常数必然和晶体的 对称性密切相关.通常是晶体的对称性愈离，其独立的弹 性常数分量数目愈少 为了确定品体具有的独立弹性常数，通常有两种 方法：一种是脚标代换法；另一种是坐标变换法 由于坐标变换法具有普适性.因此我们首先讨论 弹性常數张量的坐标变换。此外对于各向异性品 体、其弹性常数的数值梆是对于正帑品体坐标系 给出的，而实际使用的品片往往是茨转切割的. 其坐标选取与正帑的品体坐标系不同，为此必须 将弹性常数张量从品休坐标系变换到实际采用的 坐标系中下面首先讨论应力和应变张量的坐标变 换.#4S上述新旧坐标系的方向余弦的9个数构成 一个正交矩阵#

18、因为应力T和应变S是二阶张量.所以它们的 坐标变换遵从二阶张量的变换规则。首先考 虑应力张量的坐标变换，设r和t分别为坐标 变换祈后的应力张量，则才艮据二阶张量的变 换法则有 T=A x A -* 或P = A T A-1采用爱因斯坦脚标重复自动求和规则，变换 前后应力的分壬可写成:将上式展开首先考虑到2尸1时应力分董T）.有:j >jT5 -几-肉乙+如：+©几l»«lwl将上式完仝展开，得T，nauMi + anTn + aM+au （fl112l + fll222 + 坷拓J ）+。31 （ avJn + ®兀 + a】3耳3）16#SO同理

19、可以得出变换后应力张量的其余五个分量整理，得:ann + ah22 + al333 + 2 如如石 3 +应力矩阵元采用缩写下标，上式可写为：T = aiii+ 5）巧 +24口。13 并 + -aaTs + -ana6siT； 3；Ti + 丄込 + aT3 + 2ana2JT4 + 2aaa,3T5 + 2«匹忸耳 巧町巨 + “収 + aii> + 2u"T$ + 2ananTT，4 - a2ia31Tl + a22a32T2 + %耳 + (九九 +)L+ (a2Ja31 + %")兀 + (a21>32 + %町2)人T- a3ianTi +

20、 anauT2 + %九耳 +("“ + anan)Ta+(311 + auaM)TS + (y U + 九)耳T；九"丁+3"九耳+九耳+(九九+ %九)Ta+ (auan + a»au) + (anan + anan)T<32S2上而六纽联立代数方程组的矩阵形式矩阵M叫做应力张量的变换矩阵r = mJt应力张量的坐标变换关系式中：卜SJ Ag 2o羽】如a细心Ja沁+硼J'创61 +血込1 1（化冬+码】也）如如如殆（咧+%唧（诃+5他他+q&）<Wn匍如（化勺+住如）（诃+唤）（珂他+込他）.zggKlu M17

21、按照完全相同的方法可以得出S'“NS应变张量S的坐标变换关系式中：$卜矩阵N称为应变张量的变换矩阵怎怎尤44 4 、41尤'叶処4: N厶（空久+氏冬J依4兑+Q吗）%孤绍久（2h+q：知）（僞炖+qsJ 如 2O|5u（逐）+电久）（%«2）+砌q】）+© 甩） 化+久氏） （q 金+24）18#注意矩阵M、N的不#» 亠一' 丄 一 $S6使用完仝类似的方法，还可以求出应力张量的逆变 換矩阵ML和应变张量的逆变换矩阵NL,即【T M-Ir, SNTS'并得出如下关系式：式中，M，为M转迅矩阵，小为N的转置矩阵.弹性常数张量的坐标

22、变换设胡克定律在原是坐标中表示为S-c T, T-s S在坐标瓷换后新坐标系中表示为SlHcl T1, mHSj根据新旧坐标麦换关系式有S'-M S, T-(N-i T故有SI-M c (T-(M c N1-4T-#19$丰上式和比校得出弹性刚度在新旧坐标系 中的变换关系为cllM c M»（2）同理可得到弹性柔顺帑数在新旧坐标系中的变换 关系s1-N （sN<由式（2）和可如只要知道了应力和应变张量的 坐标变换矩阵IM和就可以求出弹性常数张量为了确定晶体独立弹性常数，必须根据晶体 的对称性，并应用Neumann原则来完成，现在 以三用系3m点群晶体为例子来进行讨论.

23、对于三角晶系3m点群的晶系，x=0的面是对称 而，z轴为三阶转轴，根据Neunuinn原则，品体 的弹性常数张量经上述对称性操作，其值不 应改变。i对于x .=0的对称面，新旧坐标选取如下图,新旧坐标系之间的方向余及矩阵为: an 牡 au-1 0 O'Ml =(>22 g=0 1 0如an伽0 0 1 61将上式代入应变张量矩阵的坐标 变换矩阵N为："100000010000N =0010000001000000-1000000-162将坐标变换矩阵代入弹性柔顺常数在新旧 坐标系中的变换式:dA【NsNt得，S】也S22也$24_®5_®6M =S

24、rS23S33S34S35S24Sj4S44S45_J15F-$3SS45S55S%一&S%由于xO面为对称而，新旧坐标系的弹性柔顺常数矩阵应该相爭，即s（Sij,为此 只有下式成立时才能满足S15-Si6-S25-S26-S35-S36-S45-S46-0所以弹性柔顺常数矩阵变成如下：20#由于Z（X3）轴为三阶转轴，新I日坐标系选 取如图示，对此新旧坐标系的变换矩阵为:#将上式代入坐标变换矩阵o o O-V2 o 0 0 5 o o o o o o o o o o o % xo o o- X % o o o 屈rr67N的转置矩阵是 X% 000%X o00町=00 000000

25、0-M5/3/2000 0-x0L-V3/4-呀00FA0-1/268将N和N（代入s'' = N【s，【Ni, 再令s- = s1,得到S11"S22.» SS23, SHS24<S34-0,a 又因为：Mi%00Sys勿%00r =呂3Sj400%000000S55%0000S56S“_700足标代换法以222点群为例。222点群表示有三个二次茨转轴，分别沿x, y, z方向。先考察沿z轴 的二次旋转轴。因为z轴是二阶轴，当晶体 绕z轴转180。后,晶体坐标变换为，久00f00000s*00oS*25h1t-1,2t-2,3t3由此可见独立的弹性柔

26、顺常数只有S】. s】"s】，s】4，个v«*naoiMdu. 7122112233231312123456四足标与双足标之间的关系为由于弹性柔顺常数是一个四阶对称张量， 完善的写法应有四个足标。例如，s1Iir S112r Siur S1212等等,通常为了方便,常 用二个足标（缩写下标）代替四个足标.例如.%叮鶴胡必陥寫嫁幣足标,11T11, 22->22, 33t33,2323T-23, 13->-13, 12->12;双足标中的变换 为ItI, 2t2, 3t3, 4t4, 5t-5, 6t6.#11 12 13012 22 23 0 013 23

27、 33 0 0绕X、y轴转180。后:#因为z轴是二阶轴,当晶体绕z轴转180。 后，弹性柔顺常数应保持不变，这就要求Sj-Sjp i, j-1,2, 3, 4t 5,6 可见,只有当 s jsys 16-s34-s35-s46-s%-o 时两者才完全一致。再利用222点群晶体的 轴是二阶轴，重复上述方法，可以得到#品类弹性柔顺帑数 矩阵弹性刚度常数 柜阵三斜：1点群、 J J J J «e S J J J JJ J L c的矩阵与s的 矩阵完全相似单斜：2点群点样«. « k. a «. m 0 a. J J J ° ° JC的矩阵

28、与S白勺 矩阵完全相似晶真弹性柔顺常數距 阵弹性刚度席数矩 阵正交：j j C的矩阵与S的矩*222. 2mnU J 阵完仝相似四方：4 ?J<J0JJJJJ0.c的m阵与s的却 淳完仝相似四方：422. 4mm, 2m>P QS. <>上二C的址阵与S的竝 障完全相似三方： 3点群S.S.<-$.、JJ K.«JJJ!«.Ik. 1K. K.险去cc2r c% c“ %（勺厂cn） /2 外.其余与s的矩 律相似24#甜类弹性柔顺需数矩阵淖性刚度常戟強 薛压电陶瓷kio «卜、00卜、<e0 J0 <>0除去c“（

29、cH- C2）/2外，其余 与S的矩阵相似各向同社介质 3Jjj、 加I7丿除去cC疔C/（勺厂 c12） /2 外.其余与S的竝 阵相似#压电陶瓷的弹性常数先看弹性柔顺常数S“ S22、S$3因为S"反映压电 陶磴沿X方向仲缩形变的弹性矣顺常数，它只与X方 向的弹性世质有关.同理，S. S3；是分别是反映压 电陶資;沿y方向和z方向伸缩形资的弹性柔顺常 抓它们分别只与y方向和z方向的弹性性质有关. 而经过极化处理后的压电陶洗（设轴z轴为极化 轴）、沿z方向的性质就与沿x. y轴方向的性质就 不一样了。所以s22*s33,但是对于x轴与y 轴之间则没有任何差別，即xy平面是各向同性面

30、. 这就要求弹性柔顺常數S严2“于是得到竹严22”33因为任何弹性介 质.当纵向伸长吋，横向柳要产生收缩.而S】“ sB. S23就是反映这一性质的弹性柔顺索戟所 以S2、Sir S21都不可能等于家.由于压屯陶逐 的xy平面鬼各尙同性面当其x轴与y轴之间互换 时.弹性常数应保持不变，这就要求sI=s2P但 是压电陶淹的x轴与z轴之间不能互换.这就要求 S120S2r于是得到$1严23邛23此外还有S严2“ S15-S25, S16-S26*aexbytdu cj.625占SSq S66等弹性柔顺常数因为：而x轴、y轴与z轴之间不能互换，固有 S44"S55*S66* SH'

31、 S15' S16' S24' S25' S26' *34、35、*36、S45 $46、S56等弹柔顺 常数可用足标代换法证明它们皆等于 容。又因为xy平面的各向同性.当x轴与y轴之间互换 时，弹性柔顺常数应保持不变.即.九=（靶）犷（金）/（爵）计抵26#i 我后碍到压电陶冕的弹性柔顺常数用矩阵衣示为：5SB000s)iSb000士壬S33000000S44000000S440000002（如一3其中狡立弹性柔顺常數为S“ S2Sn. S33w Sg五个.用上述相同的方法，可得到压电的克的弹性U刚度常数用矩阵表示为：C12cn00 0知CnC1J00

32、 0C»500 0C 000C440 00000j000000(cn-cI2)/2j其中独立弹性柔顺常數为Cicir C,C33%五个88#晶体中的弹性波以平面波为例，简单介绍描述 压电体中声波传播的方法压电器件中有一类重要和应用广泛的领 域：声表面波器件（Surface Acoustic Wave Devices, SAWD ），电-声一电对于各向异性的骷体，它的弹性性质由 胡克定律来描述.%Sj（i,j = 123,456）#£质点的运动方程可写为(3-18)dv-azaw-axaw¥ 4 + + 空刃加-azav-ax = = 加$ d 0 元和-axav-

33、引抑& 量 = = 3 527位移沿x、y、式中p代表晶体密度，按（3-8）对应关系, 上式可改写为#91把（3-12）. （3-18 ）代入上式.原则上就得出波 的传播方程丸、从而解出位務三个分量U. v.叭上fz*阪上刖护扣h * #显然，这样的运算比较繁杂，下面我们介 绍另外的方法求解晶体中所传播的弹性波 方程的方法.讨论的是各向异性介质，波在不同方向上 的传播情况显然是不同的。例如、各个方 向上的有效弹性常数不同，波的传播速度 也不同。下而我们具体来考虑某一方向上的传播情况° 设任意传播方向卩它的方向余弦为1、m.n,在这个方向上的某点P（xy、z）同原点 的距离为c

34、p ,则<p = lx + my + nz显然，P的位移分量U、V、W依赖于（即质点 的位移）波的传播方向1. m. n,所以可以 把（3-18）式改写为：寸.应变张量元(3T8)式改写为:应力和应变之间由虎克定律联系竺却竺卯<s_kDim s.-S-1 卸唏呀 21 s s SE-azl却加瓦 F+dui;h du一ax空” k-0z 4* 2 3 s s sZ0-21)(3-21 )式代入上式得到质点位移(u, v,w)与应力(T,-T6)之间的关系式中j称为克利斯托夫(Christoffel )张 量，它共有六个张量元，组成对称二级张量。i 克利斯托夫(Christoffel

35、 )张量订&勺 具体表示式为：1rH = rc1: +nrcw+n*c5J + 2nmq< + 2nlq 5 * 21mG6INqMrcM+m'cM+nGs+mCw+cHnXqs+cQ+lnKm+C") r3=r；i= l：cl5 +m'c 乂+n'c)s+皿6$ +cw)+nl(cB +cj+ta<cH+c%)4P9E： =132 =+m*cN+n*c34+mr(c45 - c) 4- nl(c:e+c4<) 4- lnc25 4- c4d)r. = l:cw+nrc22 +口0 + inna, +2nlc母 + 21maeq =

36、l:c55+m'c*+n:c33+2nmj+2nl(5+21in5一 (3-23)29#设g表示沿|传播的波在骷体中所引起的弹 性位移矢量，它的分董为U、V. W.位移 矢量g的方向余弦为Pq、r,那么， 八必,2贴川，=珂(3_24) g = pu + qy+nvg为位移矢董g的长度. 把g的表达式代入到质点运动方程(3-22 ) 式中得到，食aVP r 2 = C « r _ 2这就是P沿方向传播的弹性波方程，式中 J代表沿方向晶体的有效弹性常数。30#Moacmvju 101)02#品体沿方向（P的有效弹性常数Ce仃须满足 下列方程红L：眄2+gG+心3 = q% > -(3-25)因而得久期方程rll-crff rru ru 匚2-殆 23-0(3-26)ru由此可知，一般情况下，Ccff有三个解Cefr .（i-1. 2. 3）,它们分别对应于三个不同 将波，其对应的传播速