85隐函数存在定理及求导法则

1、 高等数学（下）高等数学（下） 河海大学理学院河海大学理学院第五节 隐函数存在定理及求导法则 高等数学（下）高等数学（下）0),(. 1 yxf一、一个方程的情形隐函数存在定理隐函数存在定理 1 设设 (1)(1) 函数函数),(yxf在点在点),(00yxp的某一邻域内具有的某一邻域内具有 连续的偏导数连续的偏导数; ; (2)(2)0),(00 yxf; ; (3)(3)0),(00 yxfy; ; 则方程则方程0),( yxf在点在点),(00yxp的某一邻域内能的某一邻域内能 唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(xfy ，它满足条件，它满

2、足条件)(00 xfy ，并有，并有 yxffdxdy . . 隐函数的求导公式隐函数的求导公式 高等数学（下）高等数学（下）例例验验证证方方程程0122 yx在在点点)1 , 0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值可可导导、且且0 x时时1 y的的隐隐函函数数)(xfy ，并并求求这这函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数在在0 x的的值值.解解令令1),(22 yxyxf则则,2xfx ,2yfy ,0)1 ,0( f, 02)1 , 0( yf依依定定理理知知方方程程0122 yx在在点点)1 , 0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值可可导

3、导、且且0 x时时1 y的的函函数数)(xfy 高等数学（下）高等数学（下）函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数为为yxffdxdy ,yx , 00 xdxdy222yyxydxyd 2yyxxy ,13y . 1022 xdxyd 高等数学（下）高等数学（下）).( xf 2)()(yyyyxxyxyxxffffffffff 3222yxyyyxxyyxxffffffff 高等数学（下）高等数学（下）例例 2 已知已知xyyxarctanln22 ，求，求dxdy. 解解令令则则,arctanln),(22xyyxyxf ,),(22yxyxyxfx ,),(22yxxyyxfy yx

4、ffdxdy .xyyx 高等数学（下）高等数学（下）隐隐函函数数存存在在定定理理 2 设设 ( (1 1) ) 函函数数),(zyxf在在点点,(0 xp),00zy的的某某一一邻邻域域内内有有 连连续续的的偏偏导导数数; ; ( (2 2) ) ,(0 xf0),00 zy; ; ( (3 3) ) 0),(000 zyxfz; ; 则则方方程程,(yxf0) z在在点点),(000zyxp的的某某一一邻邻域域内内 能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值连连续续且且具具有有连连续续偏偏导导数数的的函函数数),(yxfz ，它它满满足足条条件件),(000yxfz ， 并并有有 zxffxz

5、， zyffyz . . 0),(. 2 zyxf 高等数学（下）高等数学（下）用隐函数求导公式时须注意注意:1.用隐函数求导公式求导用隐函数求导公式求导,在分子中出现对函在分子中出现对函数变量求导数时数变量求导数时,函数作为常数函数作为常数.2.不用隐函数求导公式求导不用隐函数求导公式求导,只是用思想方法只是用思想方法求导求导,当出现对函数变量求导数时当出现对函数变量求导数时,函数作为函数作为中间变量中间变量, 高等数学（下）高等数学（下）例例3 设设04222 zzyx，求求22xz . 解解 令令则则,4),(222zzyxzyxf ,2xfx , 42 zfz,2zxffxzzx 22

6、xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 高等数学（下）高等数学（下）例例4 设设),(xyzzyxfz ，求求xz ，yx ，zy . 思路思路：把把z看看成成yx,的的函函数数对对 x求求偏偏导导数数得得 xz ， 把把x看看成成yz,的的函函数数对对y求求偏偏导导数数得得yx ，把把y看看成成zx,的的函函数数对对z求求偏偏导导数数得得zy . 高等数学（下）高等数学（下）把把z看看成成yx,的的函函数数对对x求求偏偏导导数数得得xz )1 (1xzf ),(2xzxzyf 整理得整理得xz ,12121fxyffyzf把把x看看成成yz,的

7、的函函数数对对y求求偏偏导导数数得得) 1(01 yxf),(2yxyxzf ),(xyzzyxfz 解解 高等数学（下）高等数学（下）整理得整理得,2121fyzffxzfyx 把把y看看成成zx,的的函函数数对对z求求偏偏导导数数得得)1(11 zyf),(2zyzyxf 整理得整理得zy .12121fxzffxyf),(xyzzyxfz 高等数学（下）高等数学（下）.0)()(),()(zgyzf xzygzxfxy.)()(yzzfyxzzgx 高等数学（下）高等数学（下）0),(0),(zyxgzyxf二、方程组的情形隐隐函函数数存存在在定定理理3 设设 ( (1 1) ),(zy

8、xf、),(zyxg在在点点),(000zyxp的的某某一一邻邻 域域内内有有对对各各个个变变量量的的连连续续偏偏导导数数; ; ( (2 2) )0),(000zyxf, ,),(000zyxg0 ; ; ( (3 3) )雅雅可可比比行行列列式式 0),(),(ppzgygzfyfzygfj 高等数学（下）高等数学（下）0),(0),(zyxgzyxf 高等数学（下）高等数学（下）,),(),(),(),(zyzyxyxyggffggffzygfxygfdxdz,),(),(),(),(zyzyzxzxggffggffzygfzxgfdxdy 高等数学（下）高等数学（下） 0),(0),(

9、vuyxgvuyxf隐函数存在定理隐函数存在定理 4 设设 (1)(1),(vuyxf、),(vuyxg在点在点),(0000vuyxp的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数；的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数； (2)(2)0),(0000 vuyxf, ,),(0000vuyxg0 ； (3)(3)雅可比行列式雅可比行列式 vgugvfufvugfj ),(),( pp. 0 高等数学（下）高等数学（下）则则方方程程组组 0),( vuyxf、0),( vuyxg 在在点点),(0000vuyxp的的某某一一邻邻域域内内恒恒能能唯唯一一确确定定 一一组组单单值值连连续续且且具具有有连连续续

10、偏偏导导数数的的函函数数),(yxuu ，),(yxvv ，它它们们满满足足条条件件),(000yxuu , ,vv 0),(00yx，并并有有 ,),(),(1vuvuvxvxggffggffvxgfjxu 高等数学（下）高等数学（下）vuvuxuxuggffggffxugfjxv ),(),(1,),(),(1vuvuvyvyggffggffvygfjyu .),(),(1vuvuyuyuggffggffyugfjyv 高等数学（下）高等数学（下）变量数-方程数=自变量数 高等数学（下）高等数学（下）例例 6 设设0 yvxu，1 xvyu， 求求 xu ，yu ，xv 和和yv . .

11、解解1直接代入公式；直接代入公式；解解2将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导并移项求导并移项x, vxvxxuyuxvyxuxxyyxj ,22yx 高等数学（下）高等数学（下）在在0 j的条件下，的条件下，xyyxxvyuxu ,22yxyvxu xyyxvyuxxv ,22yxxvyu 高等数学（下）高等数学（下）将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导，用同样方法得求导，用同样方法得y,22yxyuxvyu .22yxyvxuyv 高等数学（下）高等数学（下）).(ty解解yxyxggffyxgf),(),(01xyxfff. 0yxxfff即 高等数学（下）高等数学（下）解解1(隐和复合隐和复合). 0)(tttxytxffxffxf关于t求导:ttxtfxfytxyxttyxtffffffffy答:代入解出tx 高等数学（下）高等数学（下）. 0ttytxfyfxfttyx ,ttxtfxfy解出解解3 3)(全微分) 1 (0dtfdyfdxftyx)2(dtfdxfdytx:)2() 1 (得消去代入dxdtdy 解解1 (方程组求导方程组求导) 高等数学（下）高等数学（下）（分以下几种情况）（分以下几种情况）隐函数的求导法则隐函数的求导法则0),()1( yxf0),()2( zyxf 0),(0),()3(vu