84第一型曲面积分

1、一、概念与性质一、概念与性质1例例: 设曲面设曲面),(yxzz 的面密度的面密度),(zyx 为为)(连续连续求其质量求其质量is ),(iii ni 10lim mxyz0),(yxzz 定义定义),(zyxf设设在光滑在光滑 曲面曲面上有界上有界)1(：分割分割 ,1s ,2s ,ns )2(is 取点：取点： ),(iii )3(),(iiif 作和：作和：is ni 1)4(求求极极限限：),(iiif is ni 10lim ，若其若其 称之为称之为),(zyxf上上在在 对面积的对面积的曲面积分曲面积分记为记为 ),(zyxfds第一型曲面积分第一型曲面积分的性质的性质 , ,

2、,f x y zf x y z1 若与在分片光滑的曲面 上可积,12, , ,c f x y zc g x y z ds12, , ,.cf x y z dscg x y z ds( , , )f x y z ds1( , , )imif x y z ds 1,2,imim2 若 由 个互不重叠的光滑曲面所合并组成,if并假定 在 及每个上可积,则1212,ccc f c g与函数+也在 上可积,且有则对任意常数计算法计算法二、对面积的二、对面积的曲面积分的曲面积分的 ),(zyxf ds),(iiif is ni 10lim is i isi cos/xyz0),(yxzz in isi i

3、 cos/i cosin,(xz ,yz)1 2211yxzz ni 10lim ,iif ),(iiz 221yxzz i xyd,yxf),(yxz221yxzz d ;1),(,22dxdyzzyxzyxfxydyx dszyxf),(),(:. 1yxzz 若若曲曲面面则则;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzdzx dszyxf),(则则.1,),(22dydzxxzyzyxfyzdzy dszyxf),(),(. 3zyxx ：若曲面若曲面则则2.:( , )yy x z若若曲曲面面2) 当曲面当曲面 由参数方程由参数方程 ,xx u vyy u vu,vdzz u v 给出

4、时给出时,2,dsegf dudv222222,uuuuvuvuvvvvexyzfx xy yz zgxyz其中其中2, ,f x y z dsf x u vy u vz u vegf dudv2例例求求 xyzds: 1 zyx一卦限一卦限部分部分xyz0解解化作化作 xy的二重积分的二重积分: yxz 1:xyd0 xy1 yx xyzds xydxy)1(yx 3dxdy dx3010 x 1 xyd,yxf),(yxz221yxzz d ),(zyxfds xydyyx)1( 3例例求求 )(222zyx ds: , 122 yx21 z的部分的部分xyz0解解化作化作 xy的二重积分

5、的二重积分:xyd122 yx )(222zyx ds0 注意：注意：投影域投影域不不可可为为线线！3例例求求 )(222zyx ds: , 122 yx21 z的部分的部分xyz0解解化作化作 yz 的二重积分的二重积分21yx yz0:yzd, 21 z11 yzx0 yx21yy )(222zyx ds yzd)1(2z dydzy211 310 3例例求求 )(222zyx ds: , 122 yx21 z的部分的部分xyz0解解化作化作 yz 的二重积分的二重积分:yzd21yx yz, 21 z11 y 前前)(222zyx ds310 0注意：注意：投影域投影域重叠时，重叠时，

6、重复计算！重复计算！cossin(02 ,12)xyzzz 2dsegf d dzd dz易易得得：2222220110(1)23xyz dsdzdz 4例例求求 zds: ,2222azyx hz 部分，部分，ah 0 xyz0h解解222yxaz :xyd2222hayx xz222yxa x yz222yxa y 221yxzz 222yxaa zds xyd222yxaadxdy 20d 220ha22 adahaaln2 4例例求求 zds: ,2222azyx hz 部分，部分，ah 0 xyz0h解解222zxay :zxd 右右zds zxdhxz0,222azx hz xy2

7、22zxa x zy222zxa z 221zxyy 222zxaa 222zxazadxdz 解解2 2：用用参参数数方方程程sincossinsin(02 ,0arccos)cosxahyaaza 22arccos00sincoshadsaddza 22sindsegf d dad d 易易得得：2lnaah 计计算算 dszyx)(, 其其中中 为为平平面面5 zy被被柱柱面面2522 yx所所截截得得的的部部分分.例例5 5积积分分曲曲面面 ：yz 5 ,解解投影域投影域 ：25| ),(22 yxyxdxy dszyx)(故故 xyddxdyyyx)5(2 xyddxdyx)5(2r

8、drrd 5020)cos5(2.2125 dxdyzzdsyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy 解解依对称性知：依对称性知：被被积积函函数数| xyz关关于于xoz、yoz 坐标面对称坐标面对称轴对称，轴对称，关于关于抛物面抛物面zyxz22 有有 14成立成立，(1 为为第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)xyzdxdyzzdsyx221 dxdyyx22)2()2(1 原式原式dsxyz |dsxyz 14dxdyyxyxxyxyd2222)2()2(1)(4 其其中中1| ),(22 yxyxdxy, 0, 0 yx 利用极坐标利用极坐标 trxcos , trysin ,rd

9、rrrttrdt 102222041sincos4 drrrtdt21050412sin22 令令241ru duuu251)41(41 .42015125 计计算算 xds, 其其中中 是是圆圆柱柱面面 122 yx,平平面面2 xz及及0 z所所围围成成的的空空间间立立体体的的表表面面.例例7 7解解 321 其其中中1 ：0 z,2 ：2 xz,3 ：122 yx.投投影影域域1d：122 yx显显然然 011 dxdxdyxds, 01112 ddxdyxxds讨讨论论3 时时, 将将投投影影域域选选在在xoz上上.（注意：注意：21xy 分为左、右两片分为左、右两片） 3xds 31

10、xds 32xds（左右两片投影相同）（左右两片投影相同） xzdzxdxdzyyx2212xoz xzddxdzxxx22112 1120212xdzdxxx, xds 00.cossin(02 ,0cos2)xyzzz xds 00.2dsegf d dzd dz易易得得：32cos200cosxdsddz 计算计算dszyx)(222 , 其中其中 为内接于球面为内接于球面2222azyx 的八面体的八面体azyx |表面表面.例例8 8被被积积函函数数 ),(zyxf222zyx ,解解关关于于坐坐标标面面、原原点点均均对对称称 , 积分曲面积分曲面 也具有对称性也具有对称性 , 故原

11、积分故原积分 18, (其其中中1 表表示示第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)1 ：azyx , 即即yxaz dxdyzzdsyx221 dxdy3 dszyx)(222 1)(8222dszyxdxdyyxayxxyd 3)(8222.324a 四、小结2对面积的曲面积分的计算是将其化为投影域上对面积的曲面积分的计算是将其化为投影域上的二重积分计算的二重积分计算. （按照曲面的不同情况投影到三（按照曲面的不同情况投影到三坐标面上）坐标面上）1对面积的曲面积分的概念对面积的曲面积分的概念; dszyxf),(iiiniisf ),(lim10 注意：一投、二代、三换注意：一投、二代、三换思考题思