841多元复合函数求导

1、第四节一元复合函数)(),(xuufy求导法则xuuyxyddddddxxufuufyd)()(d)(d微分法则多元复合函数的求导法则 第八章 本节内容本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分形式不变性二、多元复合函数的全微分形式不变性一、链式法则一、链式法则),( vvzuuzz证证),()(tttu 则则);()(tttv ，获获得得增增量量设设tt 0)()(22 vu ttvvztuuztz )( ,dtdutu ,dtdvtv .lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt utzv上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定

2、理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. .如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz )(),(),(tttfz 上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：).,(),(yxyxfz uvxzy链式法则如图示链式法则如图示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv zyxwuv解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(v

3、vxeu 解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 即即,),(yxyxfz 令令,xv , yw 特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu 其中其中, 1 xv, 0 xw, 0 yv. 1 yw,xfxuufxz .yfyuufyz 两者的区别两者的区别区别类似区别类似解解令令, zyxu ;xyzv 记记,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf zxw2)(21fyzfz ;221zfyzfyzf zf1z

4、vvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 全微分形式不变形的实质：全微分形式不变形的实质： 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，的函数，它的全微分形式是一样的它的全微分形式是一样的. .zvu、vu、二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 1 1、链式法则（分三种情况

5、）、链式法则（分三种情况）2 2、全微分形式不变性、全微分形式不变性（特别要注意课中所讲的特殊情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）（理解其实质）（理解其实质）三、小结三、小结思考题思考题思考题解答思考题解答 xxvuxdxduufdxdz),(.),(),(xvuxxvuxfdxdvvf 练练 习习 题题)arctan(xyz xey dxdz三、设三、设,而而,求求.),(22xyeyxfz 具具中中fyzxz ,四、设四、设(其其有一阶连续偏数有一阶连续偏数),求求七、设七、设,)(22yxfyz 其中为可导函数其中为可导函数, , 验证验证: :211yzyzyxzx . .八、设八、

6、设 ,),(其中其中yyxxz 具有二阶导数具有二阶导数, ,求求 .,2222yzxz 一、一、1 1、xyyyyxxxyxxxy222cos)cossin(cos,cos)sin(coscos ； 2 2、,)23(3)23ln(2222yyxxyxyx 2232)23(2)23ln(2yyxxyxyx ； 3 3、.)43(1)41(3232ttt 二、二、,)(22222222yxxyeyyxyxyxxz )(22222)(22yxxyeyxxyxyyz . .练习题答案练习题答案三、三、xxexxedxdz221)1( . .四、四、.2,22121fxef yyzfyefxxzxyxy 五、五、.),(),1(fxyzuxzxfyuyzyfxu 六、六、,122