D15函数的极限、无穷小无穷大、极限运算法则hw

1、 主要讨论:在自变量的某一变化过程中,函数是否与一常数无限接近,即形如： ;)(lim0axfxx.)(limaxfx函数的极限函数的极限 第三节第三节 第一章 本节内容：定义与性质本节内容：定义与性质一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限, )(xfy 对0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(自变量变化过程的六种形式:一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限0lim( )xxf xax0 x1. 0 xx 时函数极限的定义时函数极限的定义 引例引例. 描述

2、性定义描述性定义（粗略地）：（粗略地）：设函数在设函数在 附近（去心）有定义：当附近（去心）有定义：当 无限接近于无限接近于 时时 的值无限接近于一个常数的值无限接近于一个常数 ，称，称 为为 当当 时的极限。时的极限。 212322(1)lim(2)limsin4(3)lim2xxxxxxx0 x( )f x0 xxaa( )f x定义定义1 . 设函数0 x)(xf在点0 x的某去心邻域内有定义 ,0,0当00 xx时, 有 axf)(则称常数 a 为函数)(xf当0 xx 时的极限,axfxx)(lim0或)()(0 xxaxf当即,0,0当),(0 xux时, 有若记作 axf)(ax

3、fxx)(lim0极限存在函数局部有界(p36定理2) 这表明: aa几何解释几何解释:oax0 xy)(xfy 0 x例例1. 证明)(lim0为常数cccxx证证:axf)(cc 0故,0对任意的,0当00 xx时 , 0cc因此ccxx0lim总有例例2. 证明211lim21xxx证证:axf)(2112xx21 x故,0取,当10 x时, 必有2112xx因此211lim21xxx1 x例例3. 证明11,2xx02x2( )212 31f xxx21lim(21)1xx证证:axf)(2(21) 1x221x（分析：欲使,0取,6则当10 x时, 必有2( )(21) 1f xax

4、因此,)( axf只要21,2x21lim(21)1xx即 ）不妨令 ，要使得只要 即可，16x练习练习. 证明: 当00 x证证:axf)(0 xx 001xxx欲使,0且. 0 x而0 x可用0 xx因此,)( axf只要,00 xxx00limxxxx.lim00 xxxx时00 xxxx故取,min00 xx则当00 xx时,00 xxx保证 .必有ox0 xx2. 保号性定理保号性定理定理定理1 . 若,)(lim0axfxx且 a 0 ,),(0时使当xux. 0)(xf)0)(xf证证: 已知,)(lim0axfxx即,0, ),(0 xu当时, 有.)(axfa当 a 0 时,

5、 取正数,a则在对应的邻域上. 0)(xf( 0)(a则存在( a 0 ,000 xx一切满足的 x , 总有称函数)(xf当0 xx 时为无穷大。 ，使对0lim( )xxf x mxf)(类似可定义类似可定义)(lim)(0 xfxxx0()( lim( )xxxf x )(xx )(x(lim( ).xf x (正数正数 x ) ,( ( ),f xm 总存在注意注意:1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! （p42. ex 6）例如例如, 函数),(,cos)(xxxxf)2( nf)(n当2n但0)(2 nf,时所以x

6、)(xf不是无穷大 !xxycosoxy例例 . . 证明11lim1xx证证: 略。见p4011xy若 ,)(lim0 xfxx则直线0 xx 为曲线)(xfy 的铅直渐近线 .铅直渐近线说明说明:xyo1三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系若)(xf为无穷大,)(1xf为无穷小 ;若)(xf为无穷小, 且,0)(xf则)(1xf为无穷大.则(自证)据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理定理2. 在自变量的同一变化过程中,说明说明:内容小结内容小结1. 无穷小与无穷大的定义2. 无穷小与函数极限的关系th13. 无穷小与无穷大的关系th2练习练习p42 ex

7、 1 , 5p42 题*3 提示:21xy,21x210140 x 作业作业p42 4 (1) ; 8 第一章 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一一 、无穷小运算法则、无穷小运算法则 第五节第五节极限运算法则极限运算法则时, 有,min21一、一、 无穷小运算法则无穷小运算法则定理定理1. 证证: 由定义得设 则,0lim0 xx,0lim0 xx,0,01当100 xx时 , 有2, 02当200 xx时 , 有2取则当00 xx22因此.0)(lim0 xx这说明当0 xx 时,为无穷小量 .0)(lim0 xx 例如

8、，例如，1211lim1222nnnnnn）（1( p56 题 4 (2)；p49 题1（12）见课件注：注：th1 1. 有限个无穷小的和还是无穷小有限个无穷小的和还是无穷小 . 2. 无限个无穷小之和不一定是无穷小无限个无穷小之和不一定是无穷小 !0111lim,11111lim,n122222nnnnnnnnn）（定理定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证证: 设, ),(10 xuxmxf)(又设,0lim0 xx即,0,02当),(20 xux时, 有 .取,min21则当),(0 xux时 , 就有)(xf)(xf m故,0)(lim0 xfxx即 )(xf是0 xx

9、时的无穷小 .定理定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证证: 设, ),(10 xuxmxf)(又设,0lim0 xx即,0,02当),(20 xux时, 有 .m取,min21则当),(0 xux时 , 就有)(xf)(xf故,0)(lim0 xfxx即 )(xf是0 xx 时的无穷小 .定理定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . . 推论推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积是无穷小 .练习练习 . p31 ex 5推论推论 2说明说明 ： 无限个

10、无穷小的乘积未必是无穷小无限个无穷小的乘积未必是无穷小 .例例1. 求 p48. 例8.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx利用定理 2 可知.0sinlimxxx说明说明 : y = 0 是xxysin的渐近线 .oxyxxysin二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则,)(lim,)(limbxgaxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf证证: 因,)(lim,)(limbxgaxf则有bxgaxf)(,)(其中,为无穷小) 于是)()()()(baxgxf)()(ba由定理 1 可知也是无穷小, 再利用极限与无穷小ba的关系定理 , 知定理结论成立

11、 .定理定理 3-1 . 若推论推论: : 若若,)(lim,)(limbxgaxf且),()(xgxf则.ba( p46 定理定理 5保号性保号性 )()()(xgxfx利用保号性定理证明利用保号性定理证明 .说明说明: 定理定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形可推广到有限个函数相加、减的情形 .提示提示: 令为无穷小定理定理 3-2 若)()(limxgxf)(lim)(limxgxf,)(lim,)(limbxgaxf且 b0 , 则有证证: 因,)(lim,)(limbxgaxf有,)(,)(bxgaxf其中,设baabbaabxgxf）（ )()()(由极限与无穷小关系定理 ,

12、 结论可得。abxgxf)()(因此 为无穷小, ba定理定理 3-2 . 若,)(lim,)(limbxgaxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf说明说明: 定理 3-2 可推广到有限个函数相乘的情形 .推论推论 1 .)(lim)(limxfcxfc( c 为常数 )推论推论 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 为正整数 )例例2. 设 n 次多项式,)(10nnnxaxaaxp试证).()(lim00 xpxpnnxx证证:)(lim0 xpnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xpnba定理定理 3-3 若,)(lim,)(limbxg

13、axf且 b0 , 则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf证证: 略见p44；或者见本课件最后一页。ba定理定理4 若,lim,limbyaxnnnn则有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(时且当bynbayxnnnlimbaba提示提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .（已经在第二节讲过）例例3. 设有分式函数分式函数,)()()(xqxpxr其中)(, )(xqxp都是多项式 ,0)(0 xq试证: . )()(lim00 xrxrxx证证: )(lim0 xrxx)(lim)(lim00

14、xqxpxxxx)()(00 xqxp)(0 xr说明说明:,0)(0 xq 1. 不能直接用商的运算法则，如例不能直接用商的运算法则，如例4、例、例5要先化简，或者通过求倒数的极限。要先化简，或者通过求倒数的极限。 若例例5 . 求 934lim223xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xxxxx31lim3xxx.4532lim21xxxx解解:3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxxx = 1 时, 分母分母 = 0 , 分子分子0 ,例例4.6231 x = 3 时分母为 0 !例例6 . 求.125934lim22xxxxx解解: ,分子时x.分母

15、22111125934limxxxxx分子分母同除以,2x则54“ 抓大头抓大头”原式一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数 )nmba,0(00mn 当( 如如 p47 例例5 )( 如如 p47 例例6 )( 如如 p47 例例7 )mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 当mn 当三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则定理定理5. 设,)(lim0axxx且 x 满足100 xx时,)(ax 又,)(limaufau则有 )(lim0 xfxxaufxfauax)(lim)(lim)(证证:略略 aufau)(lim,0,0当au0时

16、, 有 auf)(axxx)(lim0,0,02当200 xx时, 有ax)(对上述取,min21则当00 xx时ax )(au 故0axf)(auf)(,因此式成立.定理定理5. 设,)(lim0axxx且 x 满足100 xx时,)(ax 又,)(limaufau则有 )(lim0 xfxxaufau)(lim 说明说明: 若定理中若定理中,)(lim0 xxx则类似可得 )(lim0 xfxxaufu)(lim例例7 . 求求解解: 方法方法 1.11lim1xxx,xu 则, 1lim1ux令11112uuxx1 u 原式) 1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1) 1)(

17、1(lim1xxxx) 1(lim1xx2型00内容小结内容小结1. 极限运算法则(1) 无穷小运算法则(2) 极限四则运算法则(3) 复合函数极限运算法则注意使用条件2. 求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法0) 1xx 时, 用代入法( 要求分母不为 0 )0)2xx 时, 对00型 , 约去公因子x)3时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”(2) 复合函数极限求法设中间变量th1th2th3-1 th3-2 th3-3th5练习题练习题1.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在 ? 为什么 ?答答: 不存在 . 否则由)()()()(xfxgx

18、fxg利用极限四则运算法则可知)(limxg存在 , 与已知条件矛盾.?321lim2222nnnnnn解解: 原式22) 1(limnnnn)11(21limnn212.问3.3. 求. )1(lim2xxxx解法解法 1 （分子有理化）（分子有理化）原式 =xxxx1lim21111lim2xx21解法解法 2 （换元）（换元） 令,1xt tttt1111lim2021则原式 =22011limttt111lim20tt 0t作业作业p49 1 (3)，(5)，(7)，(9), (14) 2 (2) 3 (2) 5思考题思考题 1. 设)(xf解解:利用前一极限式可令bxaxxxf2322)(再利用后一极限式 , 得xxfx)(lim30可见0,3ba是多项式 , 且32( )2lim2,xf xxx,3)(lim0 xxfx求.