双曲线的渐近线和离心率问题

1、Ainy 晴Ainy 晴第30练双曲线G渐近线和离心率问题题型分析高考展望双曲线作为圆锥曲线三大题型之一，也是高考热点，其性质是考查内重点，尤其是离心率与渐近线 .考查形式除常考内解答题外，也会在填空题中考查，一般为中等又t度熟练掌握两种性质内求法、用法是此类问题内解题之本常考题型精析题型一双曲线内渐近线问题例1 (1)(2015重庆)设双曲线 4 a2y-2= 1(a>0, b>0)G右焦点是F,左，右顶点分别是 Al, bA2,过F作AiA2 G垂线与双曲线交于B, C两点，若AiB±A2C,则该双曲线G渐近线今斜率为. x2(2)(2014江西)如图，已知双曲线 C

2、:1一y2=1(a>0)G右焦点为F.点A, B分别在C G两条渐近线上，AFx轴，ABXOB, BF/OA(O为坐标原点).求双曲线CG方程;X0X3过C上一点p(x0, y0)(y0W0)O直线l：/一y°y=1与直线AF相交于点M,与直线X = 2相交于点M证明：当点P在C上移动时,普恒为定值,并求此定值点评(1)在求双曲线内渐近线方程日要掌握其简易求法.由y= gx?：=0?号?=0,所以可以把标准方程x-y2=1(a>0, b>0)中G “1”用“0”替换即可得出渐近线方程.(2)已知双曲线渐近线方程：y = bx,可设双曲线方程为b2=入(后。)，求出入

3、即得双曲线方程.变式训练1 (2014山东改编)已知a>b>0,椭圆CiG方程为 孑+转=1,双曲线C2G方程为x2-£= 1, C1与C2G离心率之积为 乎，则C2G渐近线方程为.a b2题型二双曲线G离心率问题例2 (1)(2015湖北改编)将离心率为eiG双曲线Ci G实半轴长a和虚半轴长b(awb)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2G双曲线C2,则下列命题正确G是 .对任意G a, b, e1>e2；当 a>b 时，e>e2；当 a<b 时，e1<e2；对任意G a, b, e1<e2；当 a>b 时，

4、e1<e2；当 a<b 时，eI>e2.(2)已知O为坐标原点，双曲线b2=1(a>0, b>0)G右焦点为F,以OF为直径作圆交双曲线G渐近线于异于原点G两点A、B,若(AO + AF) OF = 0,则双曲线G离心率 e为点评在研究双曲线G性质时，实半轴、虚半轴所构成G直角三角形是值得关注G一个重要内容；双曲线G离心率涉及G也比较多 .由于e=c是一个比值，故只需根据条件得到关于 a、 ab、cG一个关系式，利用 b2=c2a2消去b,然后变形求e,并且需注意e>1.同时注意双曲变式训练2(2014湖南)如图，O为坐标原点,椭圆 C1： x2+y2= a

5、 b线方程中x, yG范围问题.1(a>b>0)G左、右焦点分别为 F1、F2,离心率为e1；双曲线C2： $一1 G左、右焦点分别为F3、F4,离心率为e2.已知e1e2=乎, 且 F2F4= .3- 1.(1)求 C1, C2 G方程;OM与C2交于P, Q两点(2)过F1作CG不垂直于y轴G弦 AB, M为AB G中点，当直线 时，求四边形 APBQ面积G最小值题型三双曲线G渐近线与离心率G综合问题例3 （2014福建）已知双曲线E:x22-b2=1（a>0, b>0）G两条渐近线分别为 li： y=2x, I2： y= 2x.（1）求双曲线E G离心率；（2）如

6、图，O为坐标原点，动直线 l分别交直线li, 12于A, B两点（A, B分别在第一、四象限），且 OAB G面积恒为8.试探究：是否存在总与直线 公共点G双曲线 E?若存在，求出双曲线 EG方程；若不存在，请说明理由点评 解决此类问题：一是利用离心率公式，渐近线方程，斜率关系等列方程组.二是数形结合，由图形中G位置关系，确定相关参数G范围变式训练3 （2014浙江）设直线x3y+m=0（mw0）与双曲线x2 y2=1（a>0, b>0）G两条渐 a b近线分别交于点 A, B.若点P（m,0）满足PA=PB,则该双曲线G离心率是 .高考题型精练x5.已知双曲线f2>1（a&

7、gt;0，b>0）以及双曲线y2 x2= 1 内渐近线将第一象限三等分，则双 2曲线x2 yi= 1 G离心率为 .a bx2 y26.（2015镇江*II拟）已知双曲线C:靛b= 1 （a>0, b>0）G左，右焦点分别为F1, F2,过F21 .（2015课标全国I改编）已知M（x。，yo）是双曲线C:万一y2 = 1上G一点，F1, F2是CG两个焦点，若MF1 M/|F2<0,则yoG取值范围是 .x2y2y2x22 .（2015镇江卞拟）已知0<吗，则双曲线C1:嬴2券T1与C2： #一乔记=1 °相等.（填序号）实轴长；虚轴长；离心率；焦距

8、.x2 y23 .已知双曲线1（a>。，b>0）G两条渐近线均和圆C: x2+y26x+5= 0相切，且双曲线G右焦点为圆 CG圆心，则该双曲线G方程为 . 22224 .以椭圆1x9+144=1 内右焦点为圆心，且与双曲线七=1 内渐近线相切圆内方程是作双曲线CG一条渐近线G垂线，垂足为 H,若F2HG中点M在双曲线C上，则双曲线C7 .已知抛物线y2=8xG准线过双曲线02b2=1(a>0, b>0)G一个焦点，且双曲线G离心率为 2,则该双曲线G方程为8 .已知双曲线 CG中心在原点，且左，右焦点分别为F1, F2,以F1F2为底边作正三角形,若双曲线C与该正三角

9、形两腰G交点恰为两腰G中点，则双曲线9.已知F1, F2分别是双曲线 东 卓=1 (a>0b>0)G左，右焦点，过点 F2与双曲线G一条渐近线平行G直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点M在以线段F1F2为直径G圆外，则双曲线离心率G取值范围是x2 y210.过双曲线/一1(a>0, b>0)G左焦点1c .F作圆x2+y21a2切线，切点为E，直线EF交双曲线右支于点P,若OEjOF + OP),则双曲线内离心率是11.已知双曲线a2x_b2=1 (a>0, b>0) G一条渐近线方程为2x+y=0,且顶点到渐近线G距离为宜.(1)求此双曲线G方程;(2)设

10、P为双曲线上一点，A, B两点在双曲线G渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 APx2 y2、12.(2015盐城*O )已知双曲线b2= 1 (a>。，b>0)G右焦点为F(c,0).(1)若双曲线G一条渐近线方程为y=x且c= 2,求双曲线G方程;A,过A作圆G切(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限G交点为线，斜率为一小,求双曲线G离心率.答案精析第30练 双曲线G渐近线和离心率问题常考题型典例剖析解析Ai( a, 0), A2(a,0),易求x2 y2双曲线”一1 G右焦点F(c,0),左，右顶点分别为 a bB c,b2,c ab2akA2C =acb

11、2c, 一 一，则ab2a -kAiB =，又 AiB 与 A2c 垂直,a+ cb2b2a a 则有 kAiB kA2C=- 1 ,即=- 1,a+ c a cbla2-1 -2,a2 = 1,a2= b2, 即 a = b,.渐近线斜率k=上= +.a(2)解 设 F(c,0),因为 b=1,所以 c=/a2+1,直线OB G方程为y= 4,a，1直线BF G万程为y = 3xc),解得 B(2, -2a).又直线OA G方程为y=4,ac _ _c_则 A(c，：),a 2a _ 3c ac2又因为ABXOB,所以3( a)= 1,解得a2=3,x2故双曲线c方程为:一y2=1.由知a=

12、<3,则直线1G方程为x0xrx0x 3彳一y0y=1(y0w0),即 y= 3yo因为直线AF G方程为x= 2,所以直线l与AF G交点为M(2,2x0-33y0 )；直线l与直线x=3D交点为N(23 2x033yo).2x0 3 29x0-2 24即所求定值为NF22 ,.3=3=2x0 3 2咚3y02NF23x 3 21+ 5-4 3y 0 242x0 3 2变式训练1 x均2y=0解析由题意知ei*C2 e2 =一, a - ei e2 =ci C2_ C1C2a2又a2=b2+C1c2=a2+b2,.c2=a2-b2,c2c2 a3 4-b4= 74，即 i -(a)4=

13、4b=*解得ay2一b2=0,.b_2 a- 2 .解得 bx±ay=0,，x±72y= 0.例2 (1)(2) ,2解析(1)由题意ei =C2G实半轴长为a+m,虚半轴长为b+ m,离心率e2=a+ m 2+ b+ m 2/ b+ m .1+orm2.m>0, awb,所以当a>b时,ma需>0，即b+ m ba+ m a足4 b+m b m a b 口 c c因为-=,且 a>0, b>0,a+ m a a a+ mp b+ mb又arm>0, a>0，所以由不等式G性质依次可得b+ ma+ m2>2,1b+ ma+ m

14、2>1 +b 2，所以b+m ob 91+ arm2"+ a2.即e2>ei；同理，当<0,可推得e2<ei.综上，当a>b时，e1<e2；当a<b 时，ei>e2.(2)如图,设OF G中点为T,又A在以OF为直径G圆上,由(aO + AF)“ c cA 2，2 ,变式训练2解(1)因为eie2=¥，所以a2 b2 a2+ b2 V3即一管因此a2= 2b2,从而 F2(b,0), F4(*b,0),于是*bb = F2F4=*1,所以 b=1, a2 = 2.x2x2故 Ci, C2G方程分别为 £+y2=i,

15、y-y2=i.(2)因AB不垂直于y轴，且过点Fi(-1,0),故可设直线 AB G方程为x= my1.x= my 1,由 x2得(m2 + 2)y22my1 = 0.x + y2=i易知此方程G判别式大于0.设“刈，y1), B(x2, y2),则yi, y2是上述方程G两个实根,所以因此2m1yi+y2=产5, yiy2=mT2.一 4x1 + x2=m(y1+y2) 2=m2q72,AB G中点为 M(-i-2-, -m-), m +2 m +2故直线PQG斜率为一m, PQG方程为y= mx.my= 2x,由 2得(2 m2)x2=4,x22.万-y2= i所以2- m2>0,且

16、 x2 =2- m2'y2=m22m2'从而PQ=2 后? = 2/三.设点A到直线PQG距离为d,则点B到直线PQG距离也为d,所以2d =|mxi+ 2yi|+ |mx2+ 2y2|Vm2H-4因为点A, B在直线mx+ 2y=0G异侧,所以(mxi + 2yi)(mx2 + 2y2)<0 ,于是 |mxi + 2yi|+ |mx2+ 2y2|=|mxi + 2yi mx2 2y2|,从而2d =m2+ 2 |yi y2|m2+ 4又因为 |yi y2|=yi+ y2 2 4yiy22 亚 Jl + m2x山 + m2所以 2d= 1 t m2+4故四边形 APBQ

17、G面积 S= 1PQ 2d = 2冲小+:2 = 272 a/-1 +.2V2-m2V 2-m而0<2 m2w2,故当m=0时，S取得最小值2.综上所述，四边形 APBQ面积G最小值为2.例3解(1)因为双曲线EG渐近线分别为y=2x,y= 2x,所以 b= 2, a2_ a2所以送一=2,故c= 5a,从而双曲线E 离心率e='= J5.a(2)方法一 由(1)知，双曲线EG方程为 一二=1. a 4a设直线l与x轴相交于点C.当lx轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,则 OC=a, AB = 4a.又因为OABG面积为8,所以2 OC AB = 8,1. 一因此2a

18、4a=8,解得a=2,此时双曲线EG方程为f £=1.4 16若存在满足条件G双曲线E,则EG方程只能为*=1.以下证明：当直线l不与x轴垂直时，,x1 2 y2» 双曲线E:靠=1也满足条件.设直线l G方程为y=kx+m,依题意，得 k>2 或 k<-2,则 C(-m, 0). k记 A(X1, y1), B(x2, y2).y= kx+ m, 由y= 2x,得y-就同理，得y2=2m2+k.1一由 SaOAB=2|OC| |y1-y2|,得y= kx+ m,由 x2 y2_d=1 ,4 16'得(4 k2)x2 2kmx m2 16 = 0.因为

19、4- k2<0,所以 A= 4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16).又因为 m2=4(k2 4),所以A= 0,即l与双曲线E有且只有一个公共点.22因此，存在总与l有且只有一个公共点G双曲线巳且E G方程为4髭=1.x2 y2万法二 由(1)知，双曲线eg万程为了一4p=1.设直线 l G方程为 x= my+ t, A(x1，y1)，B(x2, y2),_ _11依题意得2Vm<2.x= my+ t,2t由信y1 = d c ，y=2x,1 2m2t同理,得丫2=仃濡 设直线l与x轴相交于点C,则C(t,0).1 一由 S»A oab 2

20、 OC |y1 y2| = 8,得11tI4 =8.2国 1 2m 1 + 2m所以 t2 = 4|1-4m2|= 4(1 -4m2).x= my+1,由 x2 y2r 4>1得(4 m2 1)y2 + 8mty+ 4(t2 a2)= 0.因为4m21<0,直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当A= 64m2t2-16(4m2- 1)(t2-a2)=0,即 4m2a2+ t2 a2= 0,即 4m2a2+ 4(1 4m2) a2= 0,即(1 -4m2)(a2-4) = 0,所以a2=4,因此，存在总与l有且只有一个公共点G双曲线Ex2 y2且5方程为了 T=1.变式训练3芋2

21、解析双曲线句 a> "渐近线方程为y=?x.y = bx,由 ax 3y+ m= 0w A(3Bbm3b J'由尸一Ix 3y+ m= 0/口 一 am得B(一a+ 3bbm a+3b>_22所以AB G中点C G坐标为(a m 2, 3bm 2). 9b2a2 9b2a2'设直线 l: x3y+m = 0(m w 0),因为PA=PB,所以PC±l, 所以kpc= 3,化简得a2=4b2在双曲线中，c2= a2+ b2= 5b2,所以e=a=u 常考题型精练1.-享里解析由题意知a=2, b= 1, c= V3, Fi(-V3, 0), F2(

22、V3, 0), M Fi=( -43犯 _y。)，M F2=(V3x0, y0).MFi M/|F2<0, . .(法x0)(g x0)+y0<0,即 x03+y0<0.丁点M(xo, yo)在双曲线上,33T<y0<T.后r/lc 2 sin2 0+ cos2 01c 2 sin2 0+ sin2 Ran2。 /21斛析 双曲线 Ci：ei=c0s20，双曲线 C2：e2=M =1 + tan 0= co春，Ci,C2G离心率相等.22哈-31解析双曲线，一，=1 G渐近线方程为y= x,圆C G标准方程为（x 3）2 + y2 = 4,圆心为 C(3,0).又

23、渐近线方程与圆 C相切,即直线bxay=0与圆C相切,又,£一a2b2=1右焦点 F2($a2+b2, 0)为圆心 C(3,0),a2+ b2= 9.由得a2=5, b2= 4.，双曲线呐7B方程为f-1.4, x2 + y2-10x+9 = 0解析 由于右焦点（5,0）到渐近线4x 3y=0G距离d=2°= 4,5所以所求G圆是圆心坐标为（5,0）,半径为4G圆.即圆G方程为x2 + y2-10x+ 9=0.解析由题意,可知双曲线2-5=1内渐近线内倾斜角为30。或60。,则2 =（或5贝”e="霏=告或2.6. 2解析取双曲线G渐近线点H 坐标为§

24、aby=bx,则过F2与渐近线垂直内直线方程为y=-b（x-c）,可解得则F2H G中点 M G坐标为 a, Tb ,代入双曲线方程 x2-2 = 2c 2ca ba2+c2 2a2b2c1可得a/ 2 2 瞿2=1,整理得c2 = 2a2,即可得e=-=小.4a c4cba7 - x2-3 = 1解析 由y2=8x,2p=8, p= 4,其准线方程为x= - 2,即双曲线G左焦点为(一2,0), c=2,又 e= 2, . a= 1, b2 = c2 a2 = 3,故双曲线G方程为 x2-y2=1.8 .3+1解析 设以F1F2为底边G正三角形与双曲线CG右支交于点 M,则在RtMF1F2中

25、，可得MF1-MF2=2a,即 V3c c=2a,所以F1F2=2c, MF1= V3c, MF2=c,由双曲线G定义有双曲线CG离心率9 . (2, +oo)解析 双曲线a2T g= 1 (a>0, b>0)G渐近线方程为y=1x,设直线方程为y=g(xc),与y=bx联立求得Mc, 一 bc,因为M在圆外，所以满足mF 1加2>0,可得3c2+bc2>0,a2 2a4 2a解得e= a>2.YC 1010.-2解析 设双曲线G右焦点为 F1,连结PF1.r1 7 .,一，由。E = 2(OF + OP)知，E 是 FPG中点.又。是FF9中点，1一,CC.OE/ PF1,且 OE = 2PF1,易知 OEFP,PF11 FP,pf2+PF