2019全国二卷文科试题解析

1、绝密启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共5 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用2B 铅笔填涂； 非选择题必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 6

2、0 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A= x | x1 ， B x | x2 ，则 A B=A( 1，+)B ( ， 2)C ( 1， 2)D2设 z=i(2+i)，则 z =A 1+2iB 1+2iC 12iD 1 2i3已知向量a=(2 ， 3) ， b=(3 ，2) ，则 | a b| =A2B2C52D 504生物实验室有5 只兔子，其中只有3 只测量过某项指标，若从这5 只兔子中随机取出3只，则恰有2 只测量过该指标的概率为A 2B 335C 2D 1555在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测甲：我的成绩比乙高乙：丙的成绩比我和甲的都高

3、丙：我的成绩比乙高成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A甲、乙、丙B乙、甲、丙C丙、乙、甲D甲、丙、乙6设 f ( x) 为奇函数，且当x0时， f ( x)= ex1，则当 x<0 时， f ( x)=A e x1B e x1Ce x1De x17设 ， 为两个平面，则 的充要条件是A 内有无数条直线与 平行B 内有两条相交直线与 平行C ， 平行于同一条直线D ， 垂直于同一平面8若 x =， x=是函数 f ( x)= sinx ( >0) 两个相邻的极值点，则=1424A 2B 32C 1D 129若抛物线y2=2px（ >

4、0）的焦点是椭圆x2y2的一个焦点，则pp=3 pp1A 2B 3C 4D 810曲线 y=2sin x+cosx 在点 ( ， 1) 处的切线方程为A x y1 0B 2x y 2 1 0C 2x y 2 1 0D x y1 011已知（ 0， ）， 2sin2 =cos2+1，则sin =a2A1B555C3D 25352212设 F 为双曲线 C： x2y2 1（a>0， b>0）的右焦点， O为坐标原点，以 OF为aa2bQ两点若PQOF ，则 C的离心率为直径的圆与圆x2 y2交于 P、|+=|=|A2B 3C2D5二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分2

5、x3y6，013若变量 x， y 满足约束条件 xy3，则 z=3x y 的最大值是 _.0y2，014我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的正点率为 0.97 ，有 20 个车次的正点率为0.98 ，有 10 个车次的正点率为0.99 ，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_.15 ABC 的内角 A， B，C 的对边分别为a，b， c. 已知 bsin A+acos B=0，则 B=_.16中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1） . 半正多

6、面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体. 半正多面体体现了数学的对称美图 2 是一个棱数为48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1则该半正多面体共有_个面，其棱长为 _ （本题第一空 2 分，第二空3 分）三、解答题： 共 70 分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第 17 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60 分。17（ 12 分）如图，长方体ABCD A1B1C1D1 的底面 ABCD是正方形，点E 在棱 AA1 上， BE EC1.（ 1）证明： BE平面 EB1

7、C1；（ 2）若 AE=A1E， AB=3，求四棱锥EBB1C1C 的体积18（ 12 分）已知 an 是各项均为正数的等比数列，a12, a32a216 .（ 1）求 an 的通项公式；（ 2）设 bnlog 2 an ，求数列 bn 的前 n 项和 .19（ 12 分）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100 个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表 .y 的分组0.20,0)0,0.20)0.20,0.40)0.40,0.60)0.60,0.80)企业数22453147（ 1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值

8、负增长的企业比例；（ 2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） . （精确到 0.01 ）附：748.602 .20（ 12 分）是椭圆 C : x2y2已知 F1, F2221(a b 0) 的两个焦点， P为 C上一点，O为坐标原点ab（ 1）若 POF 2 为等边三角形，求C的离心率；（ 2) 如果存在点P，使得 PF1PF2 ，且 F1PF2 的面积等于16，求 b 的值和 a 的取值范围 .21. （12 分）已知函数f ( x)( x1)ln xx1 . 证明：（ 1） f (x) 存在唯一的极值点；（ 2） f (x)=0 有且仅

9、有两个实根，且两个实根互为倒数.（二）选考题：共10 分请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分22 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 （10 分）在极坐标系中， O为极点，点 M (0 , 0 )( 00) 在曲线 C :4sin上，直线 l 过点A(4,0) 且与 OM 垂直，垂足为P.（1）当 0=时，求0 及 l 的极坐标方程；3（ 2）当 M在 C上运动且 P 在线段 OM上时，求 P 点轨迹的极坐标方程 . 23 选修 4-5 ：不等式选讲 （ 10 分）已知 f ( x)| xa | x| x2 | (xa).（ 1）当 a1 时，求不等式f (x)

10、0 的解集；2x ( ,1)时，f (x) 0，求 a 的取值范围.（ ）若1 C2 D3 A4 B5 A6 D7 B8 A9 D10 C11 B12 A13 914 0.9815 3162 1417解：（ 1）由已知得B1C1平面 ABB1A1， BE平面 ABB1A1，故 B1C1 BE .又 BE EC1 ，所以 BE平面 EB1C1 .（ 2）由（ 1）知 BEB=90°. 由题设知Rt ABE Rt A B E，所以AEBA1EB1 45 ，111故 AE=AB=3， AA12 AE6 .作 EFBB1 ，垂足为 F，则 EF平面 BB1C1C ，且 EFAB3 .所以，四

11、棱锥 EBB1C1C 的体积 V136318.318解：（ 1）设an 的公比为 q，由题设得2q24q16 ，即 q22q80 .解得q2（舍去）或 =4.q因此an 的通项公式为 an 2 4n 1 22n 1 .（2）由（1） 得bn ( 2n 1 ) l 2o g 2 n 2，因此数列bn的 前 n 项 和 为11 32n1 n .19. 解：（ 1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的147企业频率为0.21 .2产值负增长的企业频率为0.02 .100用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为 21%，产值负增长的

12、企业比例为2%.（ 2） y1 (0.102 0.10240.3053 0.50140.707) 0.30 ，100s215yiy2ni100 i 11(0.40) 22( 0.20) 22402 530.20 2140.4027100=0.0296，s0.02960.02740.17 ，所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%.20. 解：（ 1）连结 PF1 ，由 POF 2 为等边三角形可知在 F1PF2 中， F1 PF290 ，PF2c ， PF13c ， 于 是 2a PF1PF2 ( 3 1)c ， 故 C 的 离 心 率 是c3 1 .ea（2）由题

13、意可知，满足条件的点P(x, y)存在当且仅当 1，| y | 2c1 62yyx2y21，即 c|y|16 ，x c1，a2b2x cx2y2c2 ，x2y2a2b2 1，由及 a2b222b4，又由知 y2162c得 y22 ，故 b 4 .cca2b2 ，所以 c2b2 ，从而 a2由得 x22 c2b2c22b232, 故 a 4 2 .c当 b4 ， a4 2 时，存在满足条件的点P.所以b4 ， a 的取值范围为42,) .21. 解：（ 1） f ( x) 的定义域为（ 0， +） .f ( x)x 11ln x 1ln x.xx因为 yln x 单调递增，1单调递减，所以f (

14、 x) 单调递增，又f (1)1 0 ，yxf (2)1ln 41，故存在唯一 x0(1,2) ，使得 fx00.ln 2202又当 xx0 时，f (x)0 ， f (x) 单调递减； 当 xx0 时， f (x)0， f (x) 单调递增 .因此，f ( x) 存在唯一的极值点.（ 2）由（ 1）知 f x0f (1) 2 ，又 f e2e23 0 ，所以 f ( x)0 在 x0 ,内存在唯一根 x.由x0 1 得 11 x0 .又 f111 ln 1 1 1 f ( ) 0 ，故 1 是 f ( x) 0 在 0,x0 的唯一根 .综上，f ( x)0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.22解：（ 1）因为 M 0 , 0在 C上，当 0时， 04sin2 3 .33由已知得 | OP | |OA | cos2 .3设 Q(,) 为 l 上除 P的任意一点 . 在 RtOPQ 中cos| OP |2 ，3经检验，点P(2,) 在曲线cos2 上.33所以， l 的极坐标方程为cos2.3（2）设 P(,) ，在 RtOAP 中， | OP | |OA | cos4cos, 即4cos.因为 P在线段 OM上，且 APOM ，故的