广西南宁三中2020届高考适应性月考卷(三)理科数(解析版)

1、2021年高考数学第三次模拟试卷理科、选择题共12小题1 .设Z M 表示整数集合 M中的质数的个数，设集合 A =X|- 1 vxv 18, B = x|5v 2xv 27，那么 Z (A n B )=()2.设z書争，立是z的共轭复数注:a+bi的共轭复数为a bi)，那么z?.= ()A. 2i3.设等差数列an的前n项和为Sn, a4= 4, S9= 45, aio=(A . 20B . 10C . 44554.直线 x+2y+4 = 0过椭圆C；2-I 1 I '的两个顶点，那么椭圆C的标准方程为)O: x2+y2= n2内的曲线y=|sinx|与x轴围成的区域记为 M 图中

2、阴影局部随机往圆O内投一个点 A，那么点A落在区域M内的概率是A .7TB .2TV36.-:I 1 1 :.'.1 .-，那么 a， b,c的大小关系是A . av bv cB . cv a v bC . bvavcD . cv bv a& 在边长为 3的菱形ABCD中，/，那么的值是 B. 09.假设.；i _. ； .1_,52c.'=(255V510设所有棱长都为 2的正三棱柱的顶点都在一个球面上，那么该球的外表积为C. 4nD. 20 n11.直线11, 12经过抛物线 C: y2= x的焦点F , 11, |2互相垂直，直线|1与C交于D ,E两点，直线12

3、与C交于A, B两点，贝U |AB|? |DE|的最小值为X1 0 , 1，总存在 X0 0 ,D . 1612.设 f (x) =-, g (x) = ax+3 - 2a (a > 0),假设对于任意 m+11,使得g xo= f xi成立，贝V a的取值范围是c . -1D . 4 , + a)二、填空题共4小题13 .设等比数列an满足 a1+a3=- 5, a1 - a3= 3,贝V a4 =14 .假设函数- ' -1 I :. -为偶函数，那么a =15.随机变量E服从正态分布N 11,d 2),假设 P (厂 2V 学卩)=0.234，贝U P (厂 2)16.胶囊

4、酒店是一种极高密度的酒店住宿设施，起源于日本，是由注模塑胶或玻璃纤维制成的细小空间，仅够睡眠使用.空间内电视、照明灯、电源插座等设备齐全，洗手间及淋浴设施需要共享，其特点是便捷、价格廉价，多适用于旅客如图为一胶囊模型，它由一个边长为2的等边圆柱其轴截面为正方形和一个半球组成，那么它的内接正四棱证明过程或演算步骤17.等差数列an的前n项和为Sn, a3= 3, S4= 10.1 求 an的通项公式;(2 )设，求数列bn的前n项和Tn18.为研究家庭收入和食品支出的关系,随机抽取了10个家庭的样本,得到数据如表所示.10个家庭的月收入额与食品支出额数据单位：百元家庭 1收入x202343033

5、405671513268910383543支出y791091010io101010E Xi = 293,工 yi = 81,工X?=9577,£2=701 ,V xiyi = 2574i=li=li=li=li=l811548参考数据:x+ 中斜率和截距的最小乘估计公式分别为参考公式：回归方程 =1 恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重.一个家庭或个人收入越少,对一个国家而言,用于购置生存性的食物的支出在家庭或个人收入中所占的比重就越大.一个国家越穷，每个国民的平均支出中用来购置食物的费用所占比例就越大恩格尔系数达59%以上为贫困，5059%为温饱，4050%为小康，30

6、40%为富裕，低于30% 为最富裕根据上述样本数据，请估计这个国家到达最富裕恩格尔系数V30% 的家庭比例；(2)建立y (支出)关于x (收入)的回归方程(系数精确到0.01)，并解释的现 实生活意义.19.如图，在棱长为a的正方体.ACi 中,M , N, E, F 分别是 AiBi, A1D1,B1C1, C1D1的中点.(1)求证：平面 AMN /平面 BEFD ;(2)求直线AF与平面BEFD所成角的正弦值.20.椭圆C:，椭圆的长轴长为4，离心率为亍，假设直线l: y=kx+m与椭圆C相交于A , B两点，且厂L .(O为坐标原点)(1)求椭圆的标准方程;(2)求证： AOB的面积

7、为定值，并求此定值.21. 函数 f (x) = kx - lnx .(1)假设函数f (x)在区间(1, + g)上单调递增，求 k的取值范围；(2 )假设函数f ( x)有两个不同的零点 X1, X2，求证：区七/.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题如果多做，那么按所做的第一题计分选修4-4 :坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系 xOy中，直线I的方程为h -，椭圆C的参数方程为y-2s i 11,(1) 求直线I的参数方程和椭圆 C的标准方程；(2) 设直线I与椭

8、圆C相交于A, B两点，求线段 AB的长.选修4-5:不等式选讲23. 函数-，；i丄厂；丄,：卜：，| |的最小值为其中m>0) (1 )求m的值；491(2)假设 a2+b2+c2= m,. |.的最小值.参考答案、选择题共12小题，每题5分，共60分在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项 符合题目要求的A =x| 1 v x v 18, B = x|5v 2x1 .设Z M表示整数集合 M中的质数的个数，设集合V 27，那么 Z (A n B )=(【分析】可以求出集合 B,然后进行交集的运算求出扎门x I号VY罟4，从而可得出集合A n b所含的质数,从而得出 z A n b的

9、值.解： 一 -',集合An b中所含质数为：3, 5,7, 11, 13, z( A n B)=5.应选：C.2设2+21Z丁是z的共轭复数注:a+bi的共轭复数为a- bi，那么z? .= ()A. - 2i【分析】利用商的模等于模的商求得|z|，再由=|E | J求解.解：二一丄1-1 |z| =-22 1 _=TT=2,- z? =|z|2= 4 .应选：D .3.设等差数列an的前n项和为Sn, a4= 4, S9= 45, a1o=(A . 20B . 10C . 4455【分析】利用等差数列an的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出a1= 1, d = 1,由此能求出a

10、10 .解：.等差数列an的前n项和为Sn, a4= 4, S9= 45,a +3 d=49al+y-d=45解得 ai= 1, d = 1,-aio= 1+9 = 10.应选：B.4.直线 x+2y+4 = 0过椭圆C；2 2.'''的两个顶点，那么椭圆 C的标准a L"方程为【分析】求出椭圆的顶点坐标，顶点a，b,然后顶点椭圆的标准方程.2 2解：直线x+2y+4 = 0过椭圆C； 奇b>0的两个顶点, b £2 2可得a= 4，b= 2,所以椭圆的标准方程为：椭圆C ； J .应选：A.5.圆O： x2+y2= n2内的曲线y= |sin

11、x|与x轴围成的区域记为 M 图中阴影局部随机往圆O内投一个点 A，那么点A落在区域M内的概率是A .-B .-C ° LD .【分析】先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线y= |sinx|与x轴围成的区域记为 M的面积为S= 2 Jonsinxdx =- 2cosx|on= 4，代入几何概 率的计算公式可求.解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为n3，曲线y= |sinx|与x轴围成的区域记为 M ,根据图形的对称性得：面积为S= 2 fos'inxdx =-2cosx|on= 4,由几何概率的计算公式可得，随机往圆0内投一个点A,那么点

12、A落在区域M内的概率P生= ，7T J应选：B.丄J_6.,.-.，那么a, b, c的大小关系是A. av bv cB. cv a v bC. bvav cD. cv bv a【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解.解： 0v ln2v 1,. 0v av 1,/ ln3> 1 , b> 1, r -亍r ；- - !, cv 0, cv av b,应选：B.7.函数ftxx2 - |x|的大致图象为解：由 f 1= sin 1+1 > 0，可排除 AD ；又 liin5nK +2x3- |k D= Limcosil，故排除 C,选 B .应选：B.二 _ 二* &

13、;在边长为 3的菱形ABCD中，/ BAD = 60°,点E满足二二一一二一'，那么的值是 【分析】将用.：；，向量表示，通过菱形边长求解即可，点 E 满足-fi；,- I 尸(I ? '，+ A ；=(“.+.G ?(-屈+产'i.?t2Ct) = sin許-切-2a J = cos (和馥口 )n2)? 75+吉忒=-32+专x 3X 3X cos60° + x 3=-3.应选：C.9假设；i _. ； .1",DV55【分析】由结合诱导公式及二倍角的余弦公式进行化简即可求解.解：假设,应选：D.10.设所有棱长都为A. 8n2的正三棱

14、柱的顶点都在一个球面上，那么该球的外表积为D. 20 nC. 4n【分析】连接上下底面的中心 M , N，那么MN得中点即为外接球球心，容易求得半径,面积.解：如图，M , N分别是上下底面正三角形的中心,O为MN的中点， 易知O为外接球的球心,AN AD违哼AB考曙2=竽； 厂在直角三角形ONA中，可得半径OA =心2旳昭=屮+ 22=：111.直线li, 12经过抛物线 C: y2= x的焦点F , li, |2互相垂直，直线li与C交于D ,E两点，直线|2与C交于A，B两点，贝y |AB|? |DE|的最小值为D. 16【分析】由题意可知直线|1的斜率存在，设直线|1的方程为:12的斜

15、率为-，联立直线11与抛物线方程,了，|AB|=- < .利用韦达定理以及抛物线的定义得到，|DE|=132- F 所以 |AB|?|DE|=二 1/ 1 12+，再利用根本不等式即可求出k|AB|? |DE |的最小值.解：由题意可知，焦点f 4,0，准线方程为:显然直线11的斜率存在，设直线11的方程为:1x=-丁，1y= kx -丁，T直线h, 12互相垂直，.直线12的斜率为-联立方程y=k(x-)2 y =x，消去y得：设 D (x1,y1), E (X2,y2),A(X3,y3),B (X4,y4),同理可得:由抛物线的定义可知, |AB|? |DE|= :- J2+ ；-丄

16、k>2+42v=4，当且仅当k即k=± 1时，等号成立, |AB|? |DE|的最小值为 4，12,g (x) = ax+3 - 2a (a > 0),假设对于任意 xi0, 1,总存在xo 0,1,使得g (xo)= f (xi)成立，贝V a的取值范围是(c . - 1D . 4 , + a)【分析】先对函数 f (x)分x = 0和x工0,运用二次函数的值域求法，可得f (x)的值域，运用一次函数的单调性求出函数g (x)的值域，由题意可得f (x)的值域包含在g(X)的值域内，可得 a的不等式组，解不等式可得a的取值范围.2当x = 0时,由 0 v xw 1,解

17、： /(.J-1故 0w f (x)w , 0v f (x)w1x 丰 0 时，f ( x)=_L 1x2 x=T,Tf ( x)=0,2当即丄?1,( + 2，又因为 g (x)= ax+3 - 2a (a >0),且 g (0)= 3 - 2a, g (1) = 3 - a.由 g (x)递增，可得 3 - 2a w g (x) w 3 - a,对于任意X1 q°, 1,总存在x°0, 1,使得g (X0)= f (X1)成立,可得0, 一?3 - 2a, 3 - a,可得二、填空题(共4小题，每题5分，共20 分)13.设等比数列an满足ai+a3=- 5, a

18、i - a3= 3,那么a4=± 8【分析】利用等比数列an满足ai+a3=- 5, ai-a3= 3,列出方程组，求出 ai=- i, q=± 2,进而求出a4.解：等比数列an满足 ai + a3=- 5, ai - a3= 3,f2-剖+包1<1 二-5罠-a q -3a4=- i x(± 2) 3=± &,解得 ai= - i, q=± 2,故答案为：土 &14.假设函数f Cx) =tanxln(s4Va+x2 为偶函数，那么【分析】根据题意，求出f (- x)的表达式，结合函数奇偶性的定义可得-tanxln (

19、-x+ ：，.-：)= tanxln (x+. . i ：,)，变形分析可得答案.解:根据题意，函数 f (x)，那么(-x)= tan (- x) In (- x町臥十工 2 )=-tanxln (- x+ .),假设函数 f Cx) =tanzln(xVa+x2)为偶函数，那么 f (- x) = f (x),即-tanxln (- x+ ： -二)=tanxln (x+ ：.-,:),变形可得In (a)= 0,解可得a = i;故答案为：i.i5.随机变量E服从正态分布N (卩，(T 2),假设P ( - 2v w Q = 0.234，那么P (厂2)=0.734.【分析】根据正态分布

20、的密度函数图象关于直线x = 轴对称，即可求得 P ( E> 2).解：根据题意，正态分布N ( q, b 2)的密度函数图象关于直线x = 轴对称，T P ( q- 2v W Q = 0.234,. P ( E> q- 2) = 0.5+0.234 = 0.734.故答案为：0.734.16胶囊酒店是一种极高密度的酒店住宿设施，起源于日本，是由注模塑胶或玻璃纤维制 成的细小空间，仅够睡眠使用空间内电视、照明灯、电源插座等设备齐全，洗手间及 淋浴设施需要共享，其特点是便捷、价格廉价，多适用于旅客.如图为一胶囊模型，它 由一个边长为2的等边圆柱其轴截面为正方形和一个半球组成，那么它的

21、内接正四棱 锥的外表积为8+8 : i_.【分析】画出图形，禾U用求出正四棱锥的外表积即可.解：由题意可知几何体的直观图如图：正四棱锥的底面边长为：辆，棱锥的高为：6斜高为： 肿+近彳7，L_ l*底面面积为：|二詁諷:|= 8，侧面积为：4X= 8:.所以正四棱锥的外表积为：8+8 |'：i.故答案为：8+8_j.三、解答题共70分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤17.等差数列an的前n项和为Sn, a3= 3, S4= 10.1 求an的通项公式；2 设?口=-右，求数列bn的前n项和Tn.【分析】此题第1 题先设等差数列an的公差为d,然后结合题干根据等差数列的通 项公式

22、和求和公式列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，即可得到数列an的通项公式；第2题先第1题的结果计算出数列bn的通项公式，然后运用裂 项相消法计算出前 n项和Tn.解：1由题意，设等差数列an的公差为d，那么4x3S4=4ai+-d=10I i+2d=3整理，得2 a | -3 d-5解得al=1d=l-an= 1+ (n 1) ? 1 = n , nN* .(2 )由(1 )知，Sn=E；l), b 丄=-2-= 2(丄-丄) 立片=口(曲 1) =2 n n+1)-Tn= b1+ b2+ +bn(1 (1 1112十2(1 )1n+12n.18.为研究家庭收入和食品支出的关系

23、,随机抽取了10个家庭的样本,得到数据如表所示.10个家庭的月收入额与食品支出额数据单位：百元家庭 1238910收入(x)20303340151326383543支出y798115410910参考数据:10E Xi= 293,i=lI ioH yi = 81, i=l10Ei=lx=9577,70110工 Xiyi = 2574.i=lX+斜率和截距的最小乘估计公式分别为参考公式回归方程_.=y1 恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重.一个家庭或个人收入越少,对一个国家而言,用于购置生存性的食物的支出在家庭或个人收入中所占的比重就越大.一个国家越穷，每个国民的平均支出中用来购置食

24、物的费用所占比例就越大恩格尔系数达59%以上为贫困，5059%为温饱，4050%为小康，3040%为富裕，低于30% 为最富裕根据上述样本数据，请估计这个国家到达最富裕恩格尔系数V30% 的家庭比例；2建立y 支出关于x 收入的回归方程系数精确到0.01，并解释.及 的现b al实生活意义.【分析】1根据恩格尔系数的定义算出10个家庭的恩格尔系数，其中系数低于30%的家庭有5个，从而算出最富裕家庭的比例；2结合表格中数据和|的公式计算出回归方程的系数即可得解.解：1由题意可知，10个家庭的恩格尔系数如下表所示：家庭 12345678910恩格尔24.24%系数 35%30%27.5% 33.3

25、3% 30.77% 30.77% 26.32% 25.71% 23.26%所以这个国家到达最富裕的家庭有 5个, 估计这个这个国家到达最富裕的家庭比例为10105=1?=8-11010_10_E xLy_-E x样亠刀 y,1=1i=i1=1ioo_ io_9E X -2xE I-l+IOxi=1i=l2574-293 X 8. 1-81X29. 3+10X29. 3X 3. 1：9577-2X29.3X293+10X29. S2 - ' - . ' ：'一【-：，.的现实意义为收入每增加1百元，估计支出增加的值；b的现实意义为用于购置生存性的食物的最少支出.a19.如

26、图，在棱长为 a的正方体.ACi中，M , N, E , F分别是 A1B1, A1D1, B1C1, C1D1的中点.(1) 求证：平面 AMN /平面 BEFD ;(2) 求直线AF与平面BEFD所成角的正弦值.【分析】(1)设正方体的棱长为 4,如图建立空间直角坐标系，利用向量法，可证得：MN /平面 EFBD , AK /平面 EFBD，进而得到平面 AMN /平面 EFBD .(2)求出平面平面 EFBD的法向量，根据两个法向量夹角公式，可得直线AF与平面BEFD所成角的正弦值.解：(1)证明：如图1，连接B1D1, EN , M、N 分别是 A1B1, A1D1 的中点， MN /

27、 D1B1,又 DD1 / BB1 且 DD1= BB1, DBB1D1 为平行四边形，得 D1B1 / DB , MN / DB ,/ MN?平面 BDEF , BD?平面 BDEF , MN /平面 BDEF ,在正方形 A1B1C1D1中，M , F分别是棱A1B1, D1C1的中点， MF / A1D1 且 MF = A1D1,又 T A1D1 / AD 且 A1D1 = AD , MF / AD 且 MF = AD ,四边形 ABEN是平行四边形， AM / DF ,又 AM?平面 BDEF , DF?平面 BDEF , AM /平面 BDEF ,/ AM ?平面 AMN , MN

28、?平面 AMN，且 AM n MN = M ,平面AMN /平面DBEF .(2)如图，以B为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为4 ,那么 B (0, 0, 0), E (0, 2, 4), D ( 4, 4, 0), A (4, 0, 0), F (2, 4, 4)AF=(-2, 4, 4)，豆叭山占 4)，瓦呎£ £ 0)-设平面BDFE的法向量为|? m=(N -2, 1)mT，BE-2y+4z=C(_ -(- . m-BD=4x+4y=O'=in* AF-4-8+443X6gm20.4，离心率为亍，假设直线I： y=kx+m与椭圆C相交于A , B两点

29、，且I *,！：. (O为坐标原点).(1)求椭圆的标准方程;(2)求证： AOB的面积为定值，并求此定值.【分析】(1)由长轴长及离心率和 a, b, c之间的关系求出椭圆的标准方程；(2)将直线与椭圆的方程联立求出两根之和及两根之积，由(1)可得的值，进而可得k, m的关系，求出弦长 AB，及0到直线的距离，代入面积公式可证得面 积为定值.解：(1)由题意可得所以椭圆的标准方程为:c2，解得:a2= 4, b2= 3,(2 )由(1)得：设 A (Xi, yi), B (x2, y2)，因为:.联立直线与由的方程:ry=kj£+mL3x2+4y2-12=0，整理可得:(3+4k2

30、) x2+8kmx+4m2- 12= 0,8km > 0, Xi+X2= 3+4k4 m2-12X1X2 =3+4k"22(4m"-12)y1y2= k X1X2+km (xi+X2) +m 3+4k23+4k2由*可得:所以弦长3m2-12k24m2-12亠可得 2m2= 3+4k2,4AB| = V 1+k2 64mk216ju2-4S(3-1 k2) 23+4k2-二？号4宀3+4k2O但直线l的距离d =所以Sa AOB =-?所以可证： AOB的面积为定值，且此定值为'：.21.函数 f (x) = kx lnx .(1)假设函数f (x)在区间(1

31、, + R)上单调递增，求 k的取值范围;(2)假设函数f (x)有两个不同的零点 Xi, X2，求证：只兀2?9,【分析】(1)根据导数和函数的单调性的关系即可求出；(2)中将所证的结论转化为求新函数的单调区间问题得以解决.解：(i)v f ( x)= kx Inx ,函数f (x)在区间(i, +g)上单调递增- f'( x) = k> 0 在(i,+ g)恒成立, k > 1；(2)证明：不妨设Xi > X2> 0 ,f ( Xi)= f ( X2)= 0,二 kXi - Inx i= 0, kx2 InX2= 0,可得 Inx i+| nx2= k(xi

32、+x2), Inxi InX2= k (xi X2),要证明Xix2> e2,即证明Inx什inX2>2，也就是证 k (x什X2)> 2,/ kIn-lax2，即证明:即：In21 *2=t,贝U t> i，于是 Int >令 g (t)= Int ,t> i,那么 g '( t)> 0,2(t-1) si故函数g (t)在(i, +g)上是增函数， g (t)> g (i)= 0,成立.即 Int >原不等式成立.请考生在第22、23两题中任选一题作答， 并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题如果多做，那么按所做的第一题计分选修4-4 :坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系 xOy中，