2020与名师对话(文)三角恒等变换

1、第四节三角恒等变换高考概览： 能运用两角和的正弦、余弦、正切公式、二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换 (包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆 ) 知识梳理 1公式的常用变式(1)tan±tantan(±)(1?tantan)；2sincos2tan(2)sin2sin2cos21tan2；cos2sin2 1tan2(3)cos2cos2sin21tan2.2降幂公式1cos2(1)sin22；(2)cos21cos22；1(3)sincos2sin2.3升幂公式2(1)1cos2cos 2；2(2)1cos2sin 2；12(3)1

2、±sin sin2±cos2 .4半角公式1cos(1)sin2±2；1cos(2)cos2±2；1cossin1cos(3)tan2±sin .1cos1cos以上称之为半角公式，符号由2所在象限决定辨识巧记 常用拆角、拼角技巧2()()； ()()； 22(2)()； ()()；15°45°30°；42 4等双基自测 1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“×”)(1)对任意角 都有 1sin sin2cos22.()(2)y3sinx4cosx 的最大值是 7.()(3)sin4xcos4x1

3、sin22x.() 1cos(4)tan2 sin .()答案 (1) (2)×(3)×(4)×22(2018 ·河北保定一模 )已知 cos 3 sin 3 ，则 tan的值为()A1 B1 C. 3 D 31313解析 由已知得 2cos2 sin2sin2 cos，整理得，1 3 sin 13 cos，即 sincos，故 tan1.故选 B.2222答案 B3(2019·浙江苍南县三校联考)若sin7， coscossin57，则 cos()()5242411A25B. 25C 50D.5077解析 sinsin5，coscos5，49

4、×2 2 2，得 22(coscossinsin)25 ，24cos()25.故选 B.答案 Bsin47 °sin17 cos30°°4(2019 ·安徽十校联考 )cos17 °()3113A 2B 2C.2D. 2sin47 °sin17 cos30° °解析 cos17 °sin 30°17°sin17 cos30° °cos17 °sin30 cos17° °sin17 cos30° °sin17

5、 cos30° °cos17 °3sin30 cos17° °1cos17 ° sin30 °2.故选 C.答案C5(必修 4P46A 组 T4(2)改编 )tan20 °tan40 °3tan20 °·tan40 °_. 解析 tan60 °tan(20 °40°)3，tan20 °tan40 °31tan20 ·°tan40 °tan20 °tan40 °33tan20 &

6、#176;·tan40 °，tan20 °tan40 °3tan20 °·tan40 °3.答案3考点一三角函数式的化简【例 1】化简下列各式：(1)sin2·sin2cos2·cos212cos2·cos2；(2)2cos21.22tan 4sin4 思路引导 (1)用二倍角公式进行式的向、转化变换、化简利用二倍角公(2) 合理拆角 变换化简式进行降次 解 (1) 原式 sin2· 22· 21(cos2sin2 · 2sincos cos2) (cossin2)

7、1 sin2·sin2cos2·cos22cos2·cos2412sin2·sin212cos2·sin212sin2·cos2 12sin2·sin212cos2·cos212cos2·sin212sin2·cos212221222 2sin ·(sin cos )2cos ·(sin cos )12121 2sin 2cos 2.(2)解法一：原式cos2sin21tan×sin coscos sin221tan44cos2sin2 1tan1tan cossi

8、n2cos2sin21sincos 1 sin cossin2 1. cos解法二：原式cos22tan 4cos24cos2cos2cos21.cos22sin 4cos 4sin 22化简三角函数式的策略5对点训练 sin22cos21化简：.sin 42sincos2cos2解原式22 sincos2 2cossincos2 2cos.sincos2已知 (0，)，化简：1sincos·cos2sin2.22cos解原式62 2cos 22sin2cos2 ·cos2sin224cos2 22cos2 cos2sin2cos2cos .cos2cos2 因为 0<

9、;<，所以0<2<2，所以 cos2>0，所以原式 cos.考点二三角函数式的求值三角函数求值问题主要考查角的变换和公式的灵活运用，是高考命题的热点，难度适中常见的命题的角度有：(1)给角求值；(2)变角求值；(3)给值求角角度 1：给角求值【例 21】求值：sin110 sin20° °；(1)22cos 155°sin155°3tan12 °3(2)sin12 °4cos212°2 . 思路引导 角的变换 式的变换 约分求值1°°°°2sin40 °

10、; 解 (1)原式 sin70 sin20cos20 sin20sin401.cos310 °cos50 °° 23×sin12 °3cos12 °(2)原式sin12 °4cos212°273sin12 °3cos12 ° 2sin12 cos12° °2cos212°123132sin12 ° 2 cos12 ° 2 3sin 12°60°sin24 cos24°°12sin48 ° 43.角

11、度 2：变角求值1【例22】 (1)(2018贵·阳监测 )已知 sin63，则 cos2 3的值是 ()7117A. 9B. 3C 3D91(2)已知 0<<2<<，且 cos 2 9，2sin 23，则 cos()的值为 _ 思路引导 观察所求角与用已知角表示未结合已知已知角的联系知角的三角函数值求值8(2)0<<2<<， < <，< <，422421sin25cos 223， 45sin 2 1cos2 29，cos2 cos2 2 cos 2 cos 2sin 2 sin 215452759×3

12、9×327，cos()2cos22 1949×5239 2× 7291729.239 答案 (1)D(2)7297答案4三角函数求值的方法策略,10类型要点关键是正确地选用公式， 以便把非特殊角的三角函数相约或给角求值相消，从而化为特殊角的三角函数给出某些角的三角函数值， 求另外一些角的三角函数值， 解变角求值题关键在于 “变角 ”，使其角相同或具有某种关系实质是转化为给值求值， 关键是变角，把所求角用含已知角给值求角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围 对点训练 1.(2019开·封模拟设1°3，

13、76; 2tan13 °，c)a 2cos62 sin6b1tan213°1cos50 °，则()2A. c<b<aBa<b<c,C.a<c<bDb<c<a解析 asin30 cos6°°cos30 °sin6 °sin24 ，°btan26 ，°csin25 ，°a<c<b，故选 C.答案 C已知 ， ，则的值是 ()2.2tan sin 32< <0cos621A 0B. 2C1 D.211解析 由 2tansin3，得

14、2sin2 ，3，即 2cos22cos3cos01，sin3，cos cos或 cos 2(舍去 ) <<02622coscos6sinsin60.故选 A.答案 A3已知 ， ，)，且1，tan 1，则 2(0tan()27的值为 _11解析tan tan271tantan()113，1tan ·tan 12×711所以 tan(2)tan()tantan 32111.1tan·tan 13×2由 tan1，得 tan<1, 则 0<< ，得 0<2< .3421由 tan 7，知 2，3得 <2<

15、;0，所以 2 4.3 答案 4考点三三角恒等变换【例 3】(2019 ·河北唐山二模 )已知 ，均为锐角，且 sin22sin2，则 ()A tan()3tan()Btan()2tan()C3tan()tan()D3tan()2tan()12 解析 解法一：因为 2()()，2()( )，已知 sin22sin2，所以 sin()() 2sin()() ，利用和角、差角公式展开，可得sin( )cos()cos()sin( )2sin()cos()cos()·sin() ，整理得 sin()cos()3cos()sin()，两边同时除以 cos()cos()，得 tan(

16、 )3tan()，故选 A.解法二：因为 sin22sin2，tan sin cos 1 sin2sin2所以213sin2 tan cos sin sin22 sin2sin23，即 tan( )3tan()，故选 A.答案A13三角恒等式变换的关注点(1)看角：分析角的差异，消除差异，向结果中的角转化(2)看函数：统一函数，向结果中的函数转化对点训练 已知 sincos2sin，sin22sin2，则 ()A cos2cosBcos22cos2Ccos22cos2Dcos2 2cos2 解析 由同角三角函数的基本关系可得sin2cos21，所以(sin cos)2 1 2sincos 1

17、sin2.由已知可得(2sin)2 1 2sin2，即2 2由二倍角公式可得×1cos2414sin12sin .22×1cos22，整理得 cos22cos2.故选 C.答案 C审题系列 角的范围对三角函数求值的影响素养解读：在解决三角函数式的求值问题时， 要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号绝大部分题目都会设置一定的障碍，特别是角的范围，往往所给的范围较大，需要根据条件缩小范围缩小角的范围， 经常采用以下策略： 由三角函数值的符号缩小角的范围； 借助缩小三角函数值的范围缩小角的范围； 由特殊角或特殊值缩小角的范围7 2【典例 1

18、】已知 、(0，)，tan2，cos 10 ，求 214的值 切入点 利用 ，的三角函数值求2的三角函数值 关键点 缩小角的范围，保证各角三角函数值的唯一性规范答题解法一：因为， ，)，所以 0，tan2>0(02 .7 21因为 cos 10 ，(0，)，所以 2，且 tan7.tantan所以 (，0)，tan()3>0，1tantan所以 ，2 ，所以 2(，0)因为 tan(2)tan() tan tan 1，1tantan 所以 2 4. 解法二：因为tan2>1， (0， )，所以 4，2 .7 2因为 cos10，(0，)，所以 2，所以 22，2 .因为 ta

19、n(2)tan()tan tan 1，1tantan 所以 2 4.三角函数值的符号与角的范围有直接关系，借助三角函数值的符15号可有效缩小角的范围本题缩小角的范围分为两层：先由条件中tan、cos的符号缩小 、的范围，得到 的范围，再由 的范围，结合 tan()的符号进而缩小 的范围，得到 2的范围难点是想到缩小 的范围另外，本题还可以采用缩小三角函数值的范围来缩小角的范围解法二较解法一在求角的范围上运算量小了许多， 这也显示出运用三角函数值的范围缩小角的范围的优势51【典例 2】设 、(0，)，sin()13，tan22，则 cos_.切入点 求出 和 的三角函数值关键点 保证 cosco

20、s( )的唯一性 规范答题 因为1，所以sin2tan24，costan 22251tan221tan 22 .又 (0，)，所以31， ，3，又 (0，)，所 52241tan22 4又5 0，15以 ，3 .sin(2，所以 6，所以4)1312cos() 13，所以coscos()cos( )cossin(16)sin65.16答案 6516本题缩小角的范围分为两层： (1)由 cos31，2 ，结合 5225(0，)，缩小角 的范围，得到 的范围； (2)由 sin()131 40，2 ，结合 4， 3 ，缩小 的范围其中难点是后者，这是因为 ysinx 在44，3 上不单调，解决办法

21、是画图感悟体验 1设 ，为钝角，且5，cos 310，则 的值sin510为()3575 7A.4B. 4C. 4D.4 或 45310解析 由 sin 5，cos10，且 ，为钝角，可知 cos25105，sin10 ，故 cos( ) coscos sinsin 25×3 10551051027×10 2 ，又 <<2，故 4 .故选 C.答案 C2已知 ，为三角形的两个内角，1，sin()53，cos714则 cos的值为 _1解析 因为 0<<，cos7，243 所以 sin1cos 7，故3<<2，175 33又因为 0<

22、<，sin() 14 < 2 ， 2所以 0<<3或 3 <<， 2由3<<2知 3 <<，所以 cos() 1sin2 11，14所以 coscos()cos()cossin()sin11 153431 14 ×7 14 × 7 2.答案 12课后跟踪训练 (二十二 )基础巩固练一、选择题1已知1，则 cos2()sin2341121A. 3B. 2C.3D.61cos 221sin2解析 cos2 4 221132 2 3.故选 C.答案 C2已知 tan 32，则 tan()的值为 ()6 ，tan76529

23、11A. 41B.29C.41D1解析 tan()tan 6 618tan 6 tan 61tan 6 ·tan 63 275 3 21，故选 D.× 517答案 D3(2019 ·广东七校联考 )锐角 ，满足 cos1213，3，那么 sin()()cos(2)563534333A. 65B.65C.65D.65312解析 由于 ，均为锐角， cos(2)5，cos13，所以54sin13，sin(2)5，所以 sin()sin(2)sin(2 4×123× 5 33，故选 D.)cos cos(2)sin51351365答案 D554(20

24、19 ·湖南邵阳二模 )若 tan12cos12sin12msin12，则实数m 的值为 ()A2 3 B. 3 C2 D355解析 由 tan12cos12sin12msin12，5 5可得 sin12cos12cos12sin12msin12cos12， 即 sin12cos 212 cos12·sin 212 msin12cos12，2 2 m即 sin12cos 12 2 sin6，19亦即mm 13，2sincos ， ·2662 2m 2 3，故选 A.答案 A5(2019 ·河北名师俱乐部 3 月模拟 )已知 0，sincos4142cos

25、214，则()cos 42433A. 3B. 3C.4D.2147解析 解法一：由 sincos4 得 sin4 4 ，0，34， ，44.0<4<4cos2cos21cos2 sin 22故cos 4sin 4sin 4sin2 4 2sin 4cos 4sin 4sin 4 3 2cos 42.故选 D.解法二：由 sincos14，sin2cos21，且 0，4432 14143 2解得 sin8，cos8，2cos212(sincos)cos 42032 14143 23 2×882.故选 D.答案 D二、填空题6(2019 ·湖南长沙一模 )化简：2s

26、in sin22_.cos 22sin sin2解析 cos222sin2sin·cos 2sin1cos1 14sin.21cos21cos答案 4sin25x2)0 的两个7(2018·河南统考已知，是lg(6x)tantan实根，则 tan()_. 解析 由 lg(6x25x2)0，得 6x25x10，由题意知 tantantan55161 1.tan6，tan·tan6，tan()11tantan6答案 18对于锐角 ，若 sin 3，则 cos 2123_.52124答案 25三、解答题1 9已知 cos 6·cos34，3，2 .(1)求 sin2的值；1(2)求 tan的值1 解(1)cos 6·cos 3 cos 6·sin 62sin 2314， 1即 sin 23 2， 24因为 3，2 ，所以3， 3 ，所以 cos 23.32 1所以 sin2sin 233sin 23 cos3cos 23 sin32.(2) 由 (1)知 tan1sin cos s