4 导数的应用

1、观察与思考：观察与思考： 函数的单调性与导数的符号有什么关系？函数单调增加函数单调减少 f (x)0 f (x)0 f (x)0，则f(x)在a, b上单调增加； (2)如果在(a, b)内f (x)0，则f(x)在a, b上单调减少。 由拉格朗日中值公式，有 f(x2)- f(x1)=f (x)(x2-x1) (x1x0，x2-x10，所以 f(x2)-f(x1)=f (x)(x2-x1)0，即 f(x1)f(x2)，这就证明了函数f(x)在(a, b)内单调增加。 证明：证明：只证(1)。在(a, b)内任取两点x1，x2(x10，所以函数 y=x-sin x 在0, 2p上的单调增加。

2、因为在(-, 0)内y0，所以函数 y=ex-x-1在0, )上单调增加。50551015xyy=ex-x-1 解：解：函数y=e x -x-1的定义域为(-, )。 y=e x -1。 例例2讨论函数 y=e x -x-1的单调性。问题问题: :如上例，函数在整个定义区间上不是单如上例，函数在整个定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调调的，但在各个部分区间上单调定义定义: :若函数在其定义域的某个区间内是单调若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的的，则该区间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分

3、界点的分界点方法方法: :.,)()(0)(数的符号然后判断各区间内导的定义区间来划分函数不存在的点的根及用方程xfxfxf= (1)确定函数的定义域； (2)求出导数f (x)； (3)求出f (x)全部零点及导数不存在的点； (4)判断或列表判断； (5)综合结论。例例3 3解解.31292)(23的单调区间的单调区间确定函数确定函数- - - -= =xxxxf).,(:-d12186)(2 - -= = xxxf)2)(1(6- - -= =xx得得，解解方方程程0)(= = xf. 2, 121= = =xx时，时，当当1 - -x, 0)( xf上上单单调调增增加加；在在1 ,(-

4、 - 时，时，当当21 x, 0)( xf上单调减少；上单调减少；在在2 , 1 时，时，当当 x2, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在), 2单调区间为单调区间为，1 ,(-，2 , 1)., 2例例4 4解解.)(32的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxf= =).,(:-d)0(,32)(3 = = xxxf.,0导数不存在导数不存在时时当当= =x时，时，当当0 - -x, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在), 0 时，时，当当 x0, 0)( xf上单调减少；上单调减少；在在0 ,(-单调区间为单调区间为，0 ,(- - )., 0 32xy = =注意注意:区间

5、内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.例如例如,3xy = =, 00= = = =xy.),(上单调增加上单调增加但在但在-0123x1y y= 2x-(3-x1) 例例 6证明：当 x1 时，xx132-。 证证明明：令)13(2)(xxxf-=，则 ) 1(111)(22-=-=xxxxxxf。 因为当x1时，f (x)0，所以f(x)在1, )上f(x)单调增加。因此当x1时，f(x)f(1)=0，即 0)13(2-xx， 4 函数单调性的判定法函数单调性的判定法 也就是xx132-(x1)。 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用单调性的判别是

6、拉格朗日中值定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式根的个数和证明不等式. 设函数f(x)在区间(a, b)内有定义，x0(a, b)x1x2x3x4x5x6x7xyoab y=f(x) f(a)和 f(b)是否为极值？ xu(x0)，有f(x)f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一。如果u(x0)，个极小值；函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点极值的定义：极值的定义：观察极值与切线的关

7、系：在极值点处，如果函数曲线有切线，则切线是水平的xyoabx1x2x3x4x5x6x7 y=f(x) 定理1 （必要条件）若函数f(x)在点x0处可导，且在x0处取得极值，那么f (x0)=0（费马引理）驻点： 使导数为零的点(即方程f (x) = 0的实根)叫函数f(x)的驻点注意： 可导函数f(x)的极值点必定是函数的驻点但反过来，函数f(x)的驻点却不一定是极值点比如：观察函数f(x)=x在x=0处的导数与极值情况xyoy=x3在 x=0处， f (0)=0.但函数在x=0无极值 定理2（第一种充分条件）设函数f(x)在点x0的一个邻域内连续，在x0的左右邻域内可导 (1) 如果在x0

8、的左邻域内f (x)0，在x0的右邻域内 f (x)0，那么函数f(x)在x0处取得极大值； (2) 如果在x0的左邻域内f (x)0，那么函数f(x)在x0处取得极小值； (3)如果在x0的左右邻域内f (x)不改变符号，那么函数f(x)在 x0处没有极值取得极值的第一种充分条件：取得极值的第一种充分条件的几何意义：x1x2x3x4x5x6x7xyoab y=f(x) f (x)0 f (x)0 f (x)0在极小值点附近在极大值点附近确定极值点和极值的步骤： (1)求出导数f (x)； (2)求出f(x)的全部驻点和不可导点； (3)列表判断（考察f (x)的符号在每个驻点和不可导点的左右

9、邻域的情况，以便确定该点是否是极值点，如果是极值点，还要按定理 2 确定对应的函数值是极大值还是极小值）； (4)确定出函数的所有极值点和极值 函数f(x)的极大值为f(-1)=10，极小值为f(3)= -22 例1求函数f(x)=x 3-3x 2-9x 5的极值 解 (1)f (x)=3x 2-6x -9=3(x1)(x-3) (2)令3(x1)(x-3)=0， 得驻点x 1=-1，x 2=3 (3)列表判断：(3, )-22(-,-1) -1(-1, 3)3 f (x) 00- f(x) 10极大极小10123x2010y y=x3-3x2-9x+5例2 求函数f(x)=1-(x-2)2/

10、3的极值解 (1)当x 2时，(2)函数无驻点， x=2是导数不存在的点； (3)列表判断： f (x) f (x)(-，2)2(2， )-不存在1极大值函数f(x)在x=2取得极大值，极大值为f(2)=1101234x1y f(x)=1-(x-2)2/3 f (x)= -3232-x；注意： 如果函数f(x)在驻点x 0处的二导数f (x 0) 0，那么点x 0一定是极值点，并且可以按二阶导数f (x 0)的符来判定f(x 0)是极大值还是极小值但如果f (x 0)=0，定理2就不能应用 定理2 (第二种充分条件) 设函数f(x)在点x 0处具有二阶导数且f (x 0)=0，f (x 0)0

11、，那么 (1)当f (x 0)0时，函数f(x)在x 0处取得极小值从而知道，对于这去心邻域内的x来说， f (x)与x-x0符号相反因此，当x-x00即x0；当x-x00即xx0时，f (x)0于根据定理2，f(x)在点x0处取得极大值 在情形(1)，由于f (x0)0，所以x=0为极小值点，极小值为 f(0)=0 (5)因f (-1)=f (1)=0，用定理 2 无法判别 例3 求函数f(x)=(x 2-1)31的极值 解法一 (1)f (x)=6x(x 2-1)2同理，f(x)在1处也没有极值 因为在-1的左右邻域内f (x)0，所以f(x)在-1处没有极值；2101x12y f(x)=

12、(x 2-1)31 f (x) f(x) (1)f (x)=6x(x 2-1)2 (2)令f (x)=0，求得驻点x 1=-1，x 2=0，x 3=1 (3)列表判断：(-，-1)-1(-1，0)0(0，1)1(1， )-0-0+00无极值无极值极小值 f (x)在x=0处取得极小值，极小值为 f(0)=0 解法二极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念: :极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点. .函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二

13、充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)极值与最值的关系：x1x2x3x4x5xyoab y=f(x)最大值：f (b)， 最小值：f (x3) 观察：x1x2x3x4x5xyoab y=f(x)最大值：f (x4)， 最小值：f (x3) 极值与最值的关系： 观察： 设函数f(x)在闭区间a，b上连续，则函数的最大值和最小值一定存在函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得，如果最大值不在区间的端点取得，则必在开区间(a，b)内取得，在这种情况下，最大值一定是函数的极大值因此，函数在闭区间a，b上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者同理，函数在闭区间a，b

14、上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者极值与最值的关系： 求最大值和最小值的步骤： (1)求出f(x)在(a，b)内的所有驻点和不可导点； (2)求出函数在上述点处和区间端点处的函数值； (3)比较上述函数值，找出最大的和最小的注意注意: :如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值) 例1 求函数y=2x33x2-12x14在-3, 4上的最大值与最小值 解 f(x)= 2x 33x 2-12x 14， f (x)=6x 26x-12=6(x2)(x-1)， 解方程f (x)=0，得 x1=-2

15、，x2=1，由于 f(-3)= 2(-3)33(-3) 2-12(-3) 14=23； f(-2)= 2(-2)33(-2) 2-12(-2) 14=34； f(1)=23-1214=7； f(4)=24 334 2 -12414=142， 比较可得f(x)在 x=4取得它在-3，4上的最大值f(4)=142 ,在x=1取得它在-3，4上的最小值f(1)=7 例2 铁路线上ab段的距离为100km工厂c距a处为20km，ac垂直于ab为了运输需要，要在ab线上选定一点d向工厂修筑一条公路已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比3:5为了使货物从供应站b运到工厂c的运费最省，问d点应

16、选在何处？100kmdabc20km最大值和最小值的应用： 解 设ad=x (km)，则 db=100-x ，100kmdabc20kmcd=2220 x=2400 x 设从b点到c点需要的总运费为y，那么y=5kcd3kdb (k是某个正数)，即 y=5k2400 x3k(100-x) (0 x100)先求y对x的导数： y =k-340052xx，解方程y=0，得x=15(km)由于 y|x=0=400k，y|x=15=380k，y|x=100=500k2511，其中以y|x=15=380k为最小，因此当ad=x=15km时，总运费为最省 解 设ad=x (km)，则 db=100-x ，

17、cd=2220 x=2400 x 设从b点到c点需要的总运费为y，那么y=5kcd3kdb (k是某个正数)，即 y=5k2400 x3k(100-x) (0 x100)实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意: :(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值; 如果f(x)在一个区间(有限或无限，开或闭)内可导且只有一个驻点x0，并且这个驻点x0是函数f(x)的极值点，那么，当f(x0)是极大值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值；当f(x0)是极小值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值特殊情况下的最大值与最小值： 应当指出，实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定函数

18、f(x)确有最大值或最小值，而且一定在定义区间内部取得这时如果f(x)在定义区间内部只有一个驻点x0，那么不必讨论f(x0) 是否是极值，就可以断定 f(x0)是最大值或最小值 把一根直径为d 的圆木锯成截面为矩形的梁问矩形截面的高h和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量w 最大?其中d hb 解 b 与h 有下面的关系： h 2=d 2-b 2，因而 w=61b(d 2-b 2) (0bd)w=61bh 2 例3 由于梁的最大抗弯截面模量在(0，d)内一定存在，而函数在(0，d)内只有一个驻点，所以当b= d 时，31 w=61b(d 2-b 2) (0bd)w的值最大这时， b=31d 是

19、唯一的驻点 w =61(d 2-3b 2)， h=32d 于是有d :h :b =3:2:1 解 b 与h 有下面的关系： h 2=d 2-b 2，因而 w=61b(d 2-b 2) (0bd)注意最值与极值的区别注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤实际问题求最值的步骤.四四. 渐近线渐近线2.4.2 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点 一、曲线凹凸的定义一、曲线凹凸的定义 二、曲线凹凸的判定二、曲线凹凸的判定 三三 曲线的拐点及其求法曲线的拐点及其求法 问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2

20、x)(xfy = =图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy = =1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方abc定义定义的（或凸弧）的（或凸弧）上的图形是（向上）凸上的图形是（向上）凸在在那末称那末称如果恒有如果恒有的（或凹弧）的（或凹弧）上的图形是（向上）凹上的图形是（向上）凹在在那末称那末称恒有恒有点点上任意两上任意两如果对如果对上连续上连续在区间在区间设设ixfxfxfxxfixfxfxfxxfxxiixf)(,2)()()2(;)(,2)()()2(,)(2121212121 ;)(,)(,)(),(,)(的的或凸或凸内

21、的图形是凹内的图形是凹在在那末称那末称的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹且在且在内连续内连续在在如果如果baxfbabaxfxyo)(xfy= =xyo)(xfy = =abab递增递增)(xf abba0 y递减递减)(xf 0 y定理定理1 1.,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则内内若在若在一阶和二阶导数一阶和二阶导数内具有内具有在在上连续上连续在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf (-，0)(0，)0f (x) f (x)-+0 曲线在(-，0内为凸的，在0，)内为凹

22、的 (4)列表判断： 例1 判断曲线y=ln x 的凹凸性 解 (1)函数y=ln x 的定义域为(0，)； (3)因为当0 x时，y0，在区间(-，)内曲线是凹的，因此曲线无拐点 方法方法2:2:.)()(,(,0)(, 0)(,)(00000的拐点的拐点线线是曲是曲那末那末而而且且的邻域内三阶可导的邻域内三阶可导在在设函数设函数xfyxfxxfxfxxf= = = = 例例5 5.)2 , 0(cossin的拐点的拐点内内求曲线求曲线p p = =xxy解解,sincosxxy- -= = ,cossinxxy- - -= = .sincosxxy - -= = , 0= = y令令.47

23、,4321p p= =p p= =xx得得2)43(= =p p f, 0 2)47(- -= =p p f, 0 内曲线有拐点为内曲线有拐点为在在2 , 0p p).0 ,47(),0 ,43(p pp p.)()(,(,)(000的拐点的拐点是连续曲线是连续曲线也可能也可能点点不存在不存在若若xfyxfxxf= = 注意注意: :例例6 6.3的拐点的拐点求曲线求曲线xy = =解解,0时时当当 x,3132- -= = xy,9435- - -= = xy.,0均不存在均不存在是不可导点是不可导点yyx = =, 0,)0 ,( -y内内但在但在;0 ,(上是凹的上是凹的曲线在曲线在 -

24、, 0,), 0( y内内在在.), 0上是凸的上是凸的曲线在曲线在.)0 , 0(3的拐点的拐点是曲线是曲线点点xy = =确定曲线的凹凸性和拐点的步骤： (1)确定函数y=f(x)的定义域； (2)求出在函数二阶导数f (x)； (3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点； (4)判断或列表判断，确定出曲线凹凸区间和拐点； 注：根据具体情况（1）（3）步有时省略定义定义: :.)(,)(一条渐近线的就称为曲线那么直线趋向于零的距离到某定直线如果点移向无穷点时沿着曲线上的一动点当曲线xfyllppxfy=(1) (1) 铅直渐近线铅直渐近线)(轴的渐近线轴的渐近线垂直于垂直于 x.)(

25、)(lim)(lim000的一条铅直渐近线的一条铅直渐近线就是就是那么那么或或如果如果xfyxxxfxfxxxx= = = = = = =- - 例如例如,)3)(2(1-=xxy有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条: :. 3, 2= =- -= =xx(2) (2) 水平渐近线水平渐近线)(轴的渐近线轴的渐近线平行于平行于 x.)()()(lim)(lim的一条水平渐近线的一条水平渐近线就是就是那么那么为常数为常数或或如果如果xfybybbxfbxfxx= = = = =-例如例如,arctan xy = =有水平渐近线两条有水平渐近线两条: :.2,2p p- -= =p p= =yy(3)

26、 (3) 斜渐近线斜渐近线.)(),(0)()(lim0)()(lim的一条斜渐近线的一条斜渐近线就是就是那么那么为常数为常数或或如果如果xfybaxybabaxxfbaxxfxx= = = = = - -= = - -斜渐近线求法斜渐近线求法:,)(limaxxfx= = .)(limbaxxfx= =- - .)(的一条斜渐近线的一条斜渐近线就是曲线就是曲线那么那么xfybaxy= = = =注意注意:;)(lim)1(不存在不存在如果如果xxfx ,)(lim,)(lim)2(不存在不存在但但存在存在axxfaxxfxx- -= = .)(不存在斜渐近线不存在斜渐近线可以断定可以断定xf

27、y = =2.4.3 函数图形的描绘函数图形的描绘 (1)确定函数的定义域； (2)观察函数y=f(x)是否具有奇偶性、周期性； (3)求出一阶、二阶导数为零的点和一阶、二阶导数不存在的点； (4)列表， 确定曲线的单调性、极值点和极值，确定曲线的凹凸性和拐点； (5)确定曲线有无渐近性； (6)确定一些特殊点(曲线与坐标轴的交点等); (7)在直角坐标系中，描出所有关键性的点，画出渐近线，最后按照曲线的性态逐段描绘描绘函数图形的一般步骤： (4)计算特殊点：f(0)=1； f(-1)=0. 解 (1)函数的定义域为(-，)， (2) f (x)=3x2-2x-1=(3x1)(x-1)，f (

28、x)=6x-2=2(3x-1)驻点为x= -1/3和x=1；二阶导数为零的点为x= 1/3 (3)列表分析： f (x)f (x) f (x)(-,-1/3) -1/3 (-1/3,1/3)1/3(1/3， 1)(1， )1+-00-0+x32/27极大0极小16/27拐点 (5)描点联线画出图形： 例1 画出函数y=x 3-x 2-x1的图形补充： f(3/2)=5/8 f (x)f (x) f (x)(-,-1/3) -1/3 (-1/3,1/3)1/3(1/3， 1)(1， )1+-00-0+x32/27极大0极小16/27拐点 (5)描点联线画出图形： (4)计算特殊点：f(0)=1；

29、 f(-1)=0oxy1-11 y=x 3-x 2-x1)2732,31(-)2716,31()85,23(请比较:1011xyoxy12-11 y=x 3-x 2-x1)2732,31(-)2716,31()85,23( (4)列表： 解 (1)所给函数的定义域为(-，-3)(-3，)； (2)所给函数是非奇非偶函数； (3)当x=3时，f (x)=0，当x=6时， f (x)=0； (-，-3)(-3，3)3(3，6)6(6，)x f (x) f (x) f (x)-004极大11/3拐点 (5) x = -3是曲线的铅直渐近线，y = 1是曲线的水平渐近线； (6)特殊点：f(0)=1

30、(7)绘图补充f(-1)=-8， f(-9)=-8， f(-15)=-11/4；,)3()3(36)(3-=xxxf,)3()6(72)(4-= xxxf 例2 描绘函数 的图形2)3(361=xxy 例2 y=1oxy63912-3-6-9-12-153-3x = -3(3,4)(-9,-8)(-1,-8)(-，-3)(-3，3)3(3，6)6(6，)x f (x) f (x) f (x)-004极大11/3拐点 (5) x = -3是曲线的铅直渐近线，y = 1是曲线的水平渐近线； (6)特殊点：f(0)=1 (7)绘图补充f(-1)=-8， f(-9)=-8， f(-15)=-11/4；

31、)411,15(-)311, 6(2)3(361=xxy一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径 曲线的弯曲线程度与哪些因素有关. 曲线的基点与正向 设函数f(x)在区间(a, b)内具有连续导数. 在曲线y=f(x)上取固定点m0(x0, y0)作为度量弧长的基点, 并规定依 x 增大的方向作为曲线的正向. s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的正向一致时s0，相反时s0 xyom0 x0mxs0,dxds21y=21ydxds = ) jm1m2n1n2 观察曲线的弯曲线程度与切线的关系：二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式 可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度。m0mm dsda xyoa+da)a)sc 设曲线c是光滑的，曲线 线c上从点m 到点m 的弧为ds ，切线的转角为da 平均曲率：曲率：skdd=a我们称为弧段 的平均曲率mm）sksdd=da0lim 我们称为曲线c在点m处的曲率 在 存在的条件下dsdssaa=ddd0limdsdka=曲率的计算公式： 设曲线的直角坐标方