椭圆典型题型完美归纳

1、椭圆典型题型归纳题型一 定义及其应用例1.已知一个动圆与圆 C:(x 4)2寸100相内切，且过点A(4,0)，求这个动圆圆心 M的轨迹方程；1.方程(x3)2y2. (x3)2y26对应的图形是()A.直线B.线段C.椭圆D.圆2.方程,(x3)2y2(x3)2y210对应的图形是()A.直线B.线段C.椭圆D.圆练习：例2.方程3/(x 1)2 (y 1)2x J2y 2所表示的曲线是 2y253.方程.x2 (y 3)2x2 (y 3)2 10成立的充要条件是()2 2 2 2 2 2A xyxyxy,A.1 B.1 C.1 D.251625916254.如果方程 x2 (y m)2x2

2、 (y m)2 m 1表示椭圆，则 m的取值范围是 2 25.过椭圆9x 4y 1的一个焦点F1的直线与椭圆相交于 A, B两点，则A, B两点与椭圆的另一个焦点F2构成的 ABF2的周长等于 ；6.设圆(x 1)2 y2 25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点 M，则点M的轨迹方程为 ； 题型二.椭圆的方程(一) 由方程研究曲线x2例1.方程162y251的曲线是到定点和的距离之和等于第13页点的轨迹;(二) 分情况求椭圆的方程例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0)，求椭圆的方程;（三）用待定系数

3、法求方程例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点p（J6,i）、F2（ J3, J2）,求椭圆的方程；例4.求经过点（2, 3）且与椭圆9x2 4y2 36有共同焦点的椭圆方程；2 2 2 2注：一般地，与椭圆 笃 爲 1共焦点的椭圆可设其方程为仝 21（kb2）；a2 b2a2 k b2 k（四）定义法求轨迹方程；例5.在 ABC中，A,B,C所对的三边分别为a,b,c，且B（ 1,0）,C（1,0），求满足b a c且b, a, c成等差数列时顶点 A的轨迹；（五）相关点法求轨迹方程；2x例6.已知x轴上一定点A（1,0），Q为椭圆 y 1上任一点，求 AQ的中点M的轨迹4

4、方程；（六）直接法求轨迹方程；例7.设动直线|垂直于x轴，且与椭圆x2 2y24交于A, B两点，点F是直线I上满足FAgFB 1的点，求点P的轨迹方程；（七）列方程组求方程例8.中心在原点，一焦点为 F（0, .,50）的椭圆被直线y 3x 2截得的弦的中点的横坐标1为丄，求此椭圆的方程;2x2例1.已知椭圆162y25题型三.焦点三角形问题51上一点P的纵坐标为-，椭圆的上下两个焦点分别为3求 PF1、PF2 及 cos F1PF2 ；2X例1.已知P是椭圆Pab2题型四.椭圆的几何性质1上的点，的纵坐标为 -,Fi、F2分别为椭圆的两个焦点,3椭圆的半焦距为c,贝V PF1 gPF2的最

5、大值与最小值之差为 2 2X y例2.椭圆二 2 1 (a b 0)的四个顶点为 A,B,C,D，若四边形ABCD的内切圆恰a b好过焦点，则椭圆的离心率为；例3.若椭圆y 1的离心率为1，则k42 2150例4.若P为椭圆孑b 1(a b 0)上一点，F1、F2为其两个焦点，且PF1F2PF2F1750，则椭圆的离心率为 题型五.求范围2 2例1.方程 召 y 2 1表示准线平行于X轴的椭圆，求实数 m的取值范围; m2 (m 1)2题型六.椭圆的第二定义的应用例1.方程2yj(x 1)2 (y 1)2x y 2所表示的曲线是 1 例2.求经过点M(1,2)，以y轴为准线，离心率为的椭圆的左

6、顶点的轨迹方程；2X2y2.5例3.椭圆1上有一点P，它到左准线的距离等于，那么P到右焦点的距离为259222例4已知椭圆 11，能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M，使它到43左准线的距离为它到两焦点距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。2 2例5已知椭圆 乞 1内有一点A(1,1) , Fi、F2分别是椭圆的左、右焦点，点 P是95椭圆上一点求 PA3；PF2 的最小值及对应的点P的坐标.题型七.求离心率x2y例1.椭圆21(a b 0)的左焦点为Fi( c,0) , A( a,0) , B(O,b)是两个顶点,a b如果Fi到直线AB的距离为则椭圆的离心

7、率22例2.若P为椭圆 笃 再 1(a b 0)上一点，Fi、F2为其两个焦点，且PF1F2a bPF2F12 ，则椭圆的离心率为 例3. F1、F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于 P,Q两点，PF1 PQ，且PF1 PQ，则椭圆的离心率为 题型八椭圆参数方程的应用2 2例1.椭圆 也 1上的点P到直线x 2y 7 0的距离最大时，点 P的坐标43例 2.方程 x2 siny2 cos 1 ( 0)表示焦点在y轴上的椭圆，求 的取值范围;题型九.直线与椭圆的关系(1 )直线与椭圆的位置关系例1.当m为何值时，直线丨：y x m与椭圆9x2 16y2 144相切、相交、相离?例2.曲线2

8、x2 y2 2a2 ( a 0)与连结A( 1,1), B(2,3)的线段没有公共点，求 a的取值范围。例3.过点P( .3, 0)作直线|与椭圆3x2 4y212相交于代B两点，O为坐标原点，求OAB面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。例4.求直线xcosy sin2和椭圆x2 3y2 6有公共点时， 的取值范围(0 )。(二)弦长问题2 2例1.已知椭圆x 2y 12，A是x轴正方向上的一定点，若过点A，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为土"13，求点A的坐标。3例2.椭圆ax2 by21与直线x y 1相交于 代B两点，C是AB的中点，f若| AB | 2、2，O为坐标原点，O

9、C的斜率为丄Z，求a,b的值。22 2例3.椭圆- y1的焦点分别是F1和F2，过中心O作直线与椭圆交于 A, B两点，若4520ABF2的面积是20，求直线方程。(三)弦所在直线方程X2例1.已知椭圆一161，过点P(2,0)能否作直线I与椭圆相交所成弦的中点恰好是例2.已知一直线与椭圆4x2 9y236相交于A, B两点，弦AB的中点坐标为 M(1,1),求直线AB的方程;例3椭圆E中心在原点0 ,焦点在x轴上，其离心率e 2，过点C( 1,0)的直线I与椭 3圆E相交于A,B两点，且C分有向线段 AB的比为2.(1) 用直线I的斜率k(k 0)表示 OAB的面积；(2) 当 OAB的面积

10、最大时，求椭圆 E的方程.2 2X y例4.已知A(X1,y1),B(1,y°),C(X2,y2)是椭圆1上的三点，F为椭圆的左焦点,43且AF , BF , CF成等差数列，则 AC的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论。(四)关于直线对称问题2 2例1.已知椭圆 1，试确定m的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线43y 4x m对称;例2.已知中心在原点，焦点在 y轴上，长轴长等于 6，离心率e 乙2，试问是否存在直2平分？若存在,求出直3线I，使I与椭圆交于不同两点 A, B，且线段AB恰被直线x线I倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由。题型十.最值问题例1若P( 2,

11、 , 3) , F2为椭圆2x252y16的最大值和最小值。1的右焦点,结论i:设椭圆2x2ab21的左右焦点分别为 Fi,F2,P(Xo,y。)为椭圆内一点，M (x,y)为椭圆上任意一点，则MP| |MF2的最大值为2a |PFi ,最小值为2a PFi ；例2.P( 2,6) , F2为椭圆2x252y161的右焦点，点 m在椭圆上移动，求|mp| |mf2的最大值和最小值。结论2设椭圆2 x 2 ab21的左右焦点分别为 F1, F2, P(Xo,y。)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，贝y |mp MF2I的最大值为2a |pfJ，最小值为pf?；2二次函数法例3 .求定点

12、xA(a,O)到椭圆va241上的点之间的最短距离。b22 2结论3：椭圆笃 y2 1上的点M (x, y)到定点A(m,O)或B(0,n)距离的最值问题，可以用 a b两点间距离公式表示丨MA丨或丨MB丨，通过动点在椭圆上消去y或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。3三角函数法2例4求椭圆 笃 y21上的点M(x,y)到直线l :x 2y 4的距离的最值；42结论4:若椭圆2x2a2每 1上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时b2，可通过椭圆的参数方程，统一变量转化为三角函数求最值。4判别式法例4的解决还可以用下面方法把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求

13、最大值。结论5:椭圆上的点到定直线l距离的最值问题，可转化为与I平行的直线m与椭圆相切的问 题,利用判别式求出直线 m方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。2 2例5.已知定点A( 2,、3)，点F为椭圆11的右焦点，点M在该椭圆上移动时，16 12求AM 2 MF的最小值，并求此时点 M的坐标；(第二定义的应用)2 2Xy例3.已知Fi、F2分别为椭圆1的左、右焦点，椭圆内一点M的坐标为(2, 6),10064P为椭圆上的一个动点，试分别求：5(1) PM 3門 的最小值；(2) PMPF2的取值范围.3题型一 轨迹问题例1到两定点(2,1) , ( 2, 2)的距离之和为定值 5的点的轨迹是()A. 椭圆E.双曲线C.直线D.线段例2.已知