2022年全国计算机等级考试二级公共基础之树与二叉树1

1、全国计算机等级考试二级公共基础之树与二叉树1.6 树与二叉树1.6.1 树的基本概念树是一种简单的非线性结构。在树这种结构中， 所有元素之间的关系具有明显的层次关系。用图形表示树这种数据结构时，就象自然界中的倒长的树，这种结构就用“树”来命名。如图：在树结构中，每个结点只有一个前件，称为父结点，没有前件的结点只有一个，称为树的根结点，简称为树的根（如r）。在树结构中，每一个结点可以有多个后件，它们都称为该结点的子结点。没有后件的结点称为叶子结点（如w ，z，a ，l，b，n ，o ，t，h，x）。在树结构中，一个结点拥有的后件个数称为结点的度（如 r的度为 4， kpqdec结点度均为 2）。

2、树的结点是层次结构，一般按如下原则分层：根结点在第1 层；同一个层所有结点的所有子结点都在下一层。树的最大层次称为树的深度 。如上图中的树深度为 4。r结点有 4 棵子树， kpqdec 结占各有两棵子树；叶子没有子树。在计算机中，可以用树结构表示算术运算。在算术运算中，一个运算符可以有若干个运算对象。如取正（+）与取负（ -）运算符只有一个运算对象，称为单目运算符；加（ +）、减（ -）、乘（ *）、除（ / ）、乘幂（ * ）有两个运算对象，称为双目运算符； 三元函数 f(x,y,z)为 f函数运算符， 有三个运算对象，称为三目运算符。多元函数有多个运算对象称多目运算符。用树表示算术表达式

3、原则是：(1) 表达式中的每一个运算符在树中对应一个结点，称为运算符结点精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - -(2) 运算符的每一个运算对象在树中为该运算结点的子树( 在树中的顺序从左到右 ) (3) 运算对象中的单变量均为叶子结点根据上面原则，可将表达式：a*(b+c/d)+c*h-g*f表示如下的树。树在计算机中通常用多重链表表示，多重链表

4、的每个结点描述了树中对应结点的信息，每个结点中的链域（指针域）个数随树中该结点的度而定。1.6.2 二叉树及其基本性质 1. 什么是二叉树二叉树是很有用的非线性结构。它与树结构很相似， 树结构的所有术语都可用到二叉树这种结构上。二叉树具有以下两个特点：（1）非空两叉树只有一个根结点（2）每个结点最多有两棵子树，且分别称该结点的左子树与右子树。也就是说，在二叉树中，每一个结点的度最大为2，而且所有子树也均为二叉树。二叉树中的每一个结点可以有左子树没有右子树，也可以有右子树没有左子树，甚至左右子树都没有。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2

5、 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 2. 二叉树的基本性质二叉树性质有：性质 1：在二叉树的第k层上，最多有 2k-1(k=1) 个结点性质 2：深度为 m 的二叉树最多有2m-1 个结点性质 3：在任意一棵二叉树中，度为0 的结点（即叶子结点）总比度为2 的结点多一个性质 4：具有 n 个结占的二叉树，其深度至少为log2n+1, 其中log2n 表示取 log2n 的整数部分。 3. 满二叉树与完全二叉树（1） 满二叉树满两叉树

6、是除了最后一层外，每一层上的所有结点都有两个子结点。即在满二叉树中，每一层上的结点数都达到最大值。在满二叉树的第k 层上有 2k-1个结点，且深度为m的满二叉树有 2m-1 个结点。如图：深度为 2 的满二叉树精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - -深度为 3 的满二叉树深度为 4 的满二叉树（2） 完全二叉树完全二叉树除最后一层外，每一层上的结

7、点数均达到最大数；最后一层只缺少右边的若干结点。如图深度为 3 的完全二叉树精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - -深度为 4 的完全二叉树完全二叉树具有以下两个性质：性质 5：具有 n 个结点的完全二叉树的深度为log2n+1 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - -

8、 - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - -性质 6：设完全 log2n+1 有 n 个结点 ( 如右图 10 个结点 , 编号如图 )。如果从根结点开始，按层序用自然数1,2, n 给结点进行编号，则对于编号为k(k=1,2, n)的结点有以下结论：（1）若 k=1，则该结点为根结点，它没有父结点；若k1，则该结点的父结点编号为 int(k/2) 。如结点 d的编号 k=4，则它的父结点 b的编号为 2 （2）若 2k=n，则编号为 k 的结点的左子结点编号为2k

9、，否则该结点无左子结点（也无右子结点），如结点d的编号 k=4，则 8=10，它的左子结点h编号为 8 （3）若 2k+1=n，则编号为 k 的结点的右子结点编号为2k+1，否则该结点无右子结点。如结点d的编号 k=4，则 9=10，它的右左子结点h编号为 9 1.6.3 二叉树的存储结构在计算机中，二叉树通常采用链式存储结构。与线性链表类似，用于存储二叉树中各元素的存储结点也由两部分组成：数据域与指针域。但在二叉树中，由于每一个元素可以有两个后件（即两个子结点），因此，用于存储二叉树的存储结点的指针域有两个：一个用于指向结点的左子树结构的存储地址，称为左指针域；另一个用于指向右子树结点的存储

10、地址，称为右指针域。由于二叉树的存储结构中每一个存储结点有两个指针域，因此二叉树的链式存储结构也称为二叉链表。二叉树存储结构如图：二叉树精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - -二叉链表的逻辑状态1.6.4 二叉树的遍历二叉树的遍历是指不重复的访问二叉树中的所有结点。由于二叉树是一种非线性结构， 因此对二叉树的遍历要比遍历线性表复杂很多。在遍历二叉

11、树过程中，当访问到某个结点时，再往下访问可能有两个分支，应访问哪一个分支呢？对于二叉树来说需要访问根结点、左子树所有结点、右子树所有结点，在这三者中，应访问哪一个？也就是说，遍历二叉树实际是要确定访问各结点的顺序。以便不重复又不能丢掉访问结点，直到访问到所有结点。在遍历二叉树的过程中，一般选遍历左子树，然后再遍历右子树，在先左后右原则下根据访问结点次序，二叉树的遍历分为三种方法。方法如下： 1. 前序遍历（ dlr ）前序遍历首先访问根结点然后遍历左子树，最后遍历右子树。在遍历左、右子树时，仍然先访问根结点，然后遍历左子树，最后遍历右子树。即：若二叉树为空则结束返回，否则：（1）访问根结点（2

12、）前序遍历左子树（3）前序遍历右子树注意的是：遍历左右子树时仍然采用前序遍历方法。例：如图二叉树，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - -则前序遍历结果是： a b d e c f 2. 中序遍历（ ldr ）中序遍历首先遍历左子树，然后访问根结点，最后遍历右子树。在遍历左、右子树时，仍然先遍历左子树，再访问根结点，最后遍历右子树。即：若二叉树为

13、空则结束返回，否则：（1）中序遍历左子树（2）访问根结点（3）中序遍历右子树。注意的是：遍历左右子树时仍然采用中序遍历方法。例：如图二叉树，则中序遍历结果是： d b e a f c 3. 后序遍历（ lrd ）后序遍历首先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根结点。在遍历左、右子树时，仍然先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根结点。即：若二叉树为空则结束返回，否则：（1）后序遍历左子树，（2）后序遍历右子树（3）最后访问根结点。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - -