求第一类Fredholm积分方程离散正则化方法

1、求第一类fredholm积分方程离散正则化方【摘要】基于矩阵奇异值分解的离散正则化算法， 本文给出了第一类fredholm积分方程的求解方法。并通过 算例验证了此算法的可行性。【关键词】第一类fredholm积分方程；矩阵奇异值； 正则化方法0引言在实际问题中，有很多数学物理方程反问题的求解最后 总要归结为一个第一类算子方程：kx=y (1)的求解问题，其中k是从hilbert空间x到hilbert空 间y个有界线性算子，x£x, ygyo通常右端项y是观测 数据，因而不可避免的带有一定的误差文中假设方程(1) 的右端的扰动数据y 8 gy满足条件：y 6 -yw 6 (cl)。我

2、们需要求解扰动方程kx=y 6 eyo (2)通常境况下，当k为紧算子时，方程(1)的求解时不 适定的1。即右端数据的小扰动可导致解的巨大变化。消 除不稳定性的一个自然的方式是用一族接近适定问题的模 型去逼近原问题，比如最著名的tikhonov正则化方法，用 如下适定的算子方程：去逼近原问题kx=y 6 ,其中a>0为一正的“正则参 数” ,k*表示k的伴随算子。正则化2-3是近似求解方程(1) 的一种有效方法。krish应用奇异系统理论提出的正则 化子的概念，这给正则化方法的建立提供了新的理论依据。 本文利用基于矩阵奇异值分解的离散正则化算法，通过适当 选取正则化参数进行不适定问题的求

3、解。1基于矩阵奇异值分解的离散正则化算法矩阵的奇异值分解(svd)是现代数值线性代数中最重 要的基本计算分析工具之一，它具有优良的数值稳定性。其 重要应用领域包括矩阵理论以及自动控制理论，力学和物理 学等，还有更多的应用方面尚在继续探索中。对于一般算子方程kx=y,利用高斯-勒让德求积公式、 复化梯形公式或者复化辛普森求积公式等的数值方法将它 离散得到一个矩阵方程ax=y,这样，算子方程kx二y的求解 就转化为矩阵方程：的求解。定义 设a是mxn实矩阵(m2n),称n阶方阵ata的 非零特征值的算术平方根为a的奇异值。定理 假设矩阵a具有奇异值分解：a二usvt,其中u=(uj) 和v= (v

4、j)均为单位正交矩阵，s=diagsj是对角阵，且 sj是a的按降無排列的奇异值：si2s22s32sno而且，对于奇异系统vj,还成立:avj=sjuj, atuj=sjvj依据svd方法，对于方程(3),当y没有扰动时：当y有扰动时：采用正则化求解上式得：2正则参数的选取定义正则化参数的取法a = a (§)称为是允许的，如 果在6 *0时，都成立。对矩阵方程ax=y 8 ,满足式(cl).由扰动数据wy求方程解的稳定近似值的正则化方法化为 求式：的极小元x a。当误差水平6 >0已知时，存在a = a ( 8 ) 的一种选取策略使得6 ->0时a ( 6 ) -&g

5、t;0且x a ( 6 ) x。正则化参数的取法有先验和后验两种方式，下面将分别 介绍一种先验取法和morozov偏差原理的后验选取方法。(1) 先验取法(2) 利用morozov偏差原理的后验选取方法morozov偏差原理是由morozov在1966年引进的确定 tikhonov正则化参数的一种后验选取方法。理论上，算子方 程离散为矩阵方程后，morozov相容性原理用：来确定正则化参数，定义：用a作用式（4）得：由于y 5 euj,且矩阵u是单位正交阵，故有：从而有：f （ a ）有唯一的零点，要求的最优正则化参数a *是f （a ）的零点1。3数值算例已知f （ 9 ）的离散值的情况下，

6、求解积分方程： 先将区间-7, 7,变为t, 1,则上式变为： 用高斯-勒让德求积公式离散积分，得：从而得到一个关于萨（g（7sj）的线性系统ag=f,其 中f就是给定的离散数据f（。）。对于此线性代数方程组， 直接求解是数值不稳定的，而且随着离散节点数目的增加， 得到的数值结果越来越坏4,因而应用正则化是必要的。 以下计算中取右端扰动数据为，线性系统两边都乘以at将 系数矩阵化为方阵，即atag=atf,则ata是nxn方阵。对 此方阵进行奇异值分解，再利用先验选取正则参数、morozov 偏差原理或吸收morozov相容性原理后验选取正则参数，将 求得的a *代入（4）得到g的tikhonov正则解.最后，再利 用多项式拟合求出g的拟合解，并作出图象观察拟合解和正 则解的逼近情况。【参考文献】1a kirsch. an introduction to the mathematicaltheory of inverse problemsm springer, new york, 1996.2 engl h w, hanke m, neubauer a. regularization of inverse problemslm.dordrecht： kluwer, 1996.