八年级数学动点问题

1、八年级数学动点问题八年级数学动点问题 1（2012常德）已知四边形abcd是正方形，o为正方形对角线的交点，一动点p从b开始，沿射线bc运动，连接dp，作cndp于点m，且交直线ab于点n，连接op，on（当p在线段bc上时，如图1：当p在bc的延长线上时，如图2）（1）请从图1，图2中任选一图证明下面结论：bn=cp；op=on，且opon；（2）设ab=4，bp=x，试确定以o、p、b、n为顶点的四边形的面积y与x的函数关系 解答：（1）证明：如图1，四边形abcd为正方形，oc=ob，dc=bc，dcb=cba=90°，ocb=oba=45°，do

2、c=90°，dcab，dpcn，cmd=doc=90°，bcn+cpd=90°，pcn+dcn=90°，cpd=cnb，dcab，dcn=cnb=cpd，在dcp和cbn中，dcpcbn（aas），cp=bn，在obn和ocp中，obnocp（sas），on=op，bon=cop，bon+bop=cop+bop，即nop=boc=90°，onop，即on=op，onop （2）解：ab=4，四边形abcd是正方形，o到bc边的距离是2，图1中，s四边形opbn=sobn+sbop，2已知正方形abcd，点p是对角线ac所在直线上的动点

3、，点e在dc边所在直线上，且随着点p的运动而运动，pe=pd总成立（1）如图（1），当点p在对角线ac上时，请你通过测量、观察，猜想pe与pb有怎样的关系（直接写出结论不必证明）；（2）如图（2），当点p运动到ca的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图（3），当点p运动到ca的反向延长线上时，请你利用图（3）画出满足条件的图形，并判断此时pe与pb有怎样的关系（直接写出结论不必证明）  解答：（1）解：pe=pb，pepb （2）解：（1）中的结论成立四边形abcd是正方形，ac为对角线，cd=cb，ac

4、d=acb，又pc=pc，pdcpbc，pd=pb，pe=pd，pe=pb，：由，得pdcpbc，pdc=pbc（7分）又pe=pd，pde=pedpde+pdc=pec+pbc=180°，epb=360°（pec+pbc+dcb）=90°，pepb （3）解：如图所示： 结论：pe=pb，pepb3已知，矩形abcd中，ab=4cm，bc=8cm，ac的垂直平分线ef分别交ad、bc于点e、f，垂足为o（1）如图1，连接af、ce求证四边形afce为菱形，并求af的长；（2）如图2，动点p、q分别从a、c两点同时出发，沿afb和cde各边匀速

5、运动一周即点p自afba停止，点q自cdec停止在运动过程中，已知点p的速度为每秒5cm，点q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当a、c、p、q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值若点p、q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab0），已知a、c、p、q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式  解答：解：（1）四边形abcd是矩形，adbc，cad=acb，aef=cfe，ef垂直平分ac，垂足为o，oa=oc，aoecof，oe=of，四边形afce为平行四边形，又efac，四边形afce为菱形，设菱形的边长af=cf=xcm，则bf=（8x）c

6、m，在rtabf中，ab=4cm，由勾股定理得42+（8x）2=x2，解得x=5，af=5cm （2）显然当p点在af上时，q点在cd上，此时a、c、p、q四点不可能构成平行四边形；同理p点在ab上时，q点在de或ce上或p在bf，q在cd时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形因此只有当p点在bf上、q点在ed上时，才能构成平行四边形，以a、c、p、q四点为顶点的四边形是平行四边形时，pc=qa，点p的速度为每秒5cm，点q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，pc=5t，qa=124t，5t=124t，解得以a、c、p、q四点为顶点的四边形是平行四边形时， 秒 

7、由题意得，四边形apcq是平行四边形时，点p、q在互相平行的对应边上分三种情况：i）如图1，当p点在af上、q点在ce上时，ap=cq，即a=12b，得a+b=12；ii）如图2，当p点在bf上、q点在de上时，aq=cp，即12b=a，得a+b=12；iii）如图3，当p点在ab上、q点在cd上时，ap=cq，即12a=b，得a+b=12综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab0）  4、如图，在平面直角坐标系中，已知点a（0，2），点p是x轴上一动点，以线段ap为一边，在其一侧作等边三角形apq当点p运动到原点o处时，记q的位置为b（1）求点b的坐标；（2）

8、求证：当点p在x轴上运动（p不与o重合）时，abq为定值；（3）是否存在点p，使得以a、o、q、b为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出p点的坐标；若不存在，请说明理由  解答：（1）解：过点b作bcy轴于点c，a（0，2），aob为等边三角形，ab=ob=2，bao=60°， （2）证明：当点p在x轴上运动（p不与o重合）时，不失一般性，paq=oab=60°，pao=qab，在apo和aqb中， apoaqb（sas），abq=aop=90°总成立，当点p在x轴上运动（p不与o重合）时，abq为定值90°；

9、60;（3）解：由（2）可知，点q总在过点b且与ab垂直的直线上，可见ao与bq不平行当点p在x轴负半轴上时，点q在点b的下方，此时，若aboq，四边形aoqb即是梯形，当aboq时，bqo=90°，boq=abo=60°当点p在x轴正半轴上时，点q在b的上方，此时，若aqob，四边形aobq即是梯形，当aqob时，abq=90°，qab=abo=60°5如图，在abc中，点o是ac边上（端点除外）的一个动点，过点o作直线mnbc设mn交bca的平分线于点e，交bca的外角平分线于点f，连接ae、af那么当点o运动到何处时，四边形aecf是矩形？并证明你

10、的结论解答：解：当点o运动到ac的中点（或oa=oc）时，四边形aecf是矩形证明：ce平分bca，1=2，又mnbc，1=3，3=2，eo=co，同理，fo=co，eo=fo，又oa=oc，四边形aecf是平行四边形，cf是bca的外角平分线，4=5，又1=2，1+5=2+4，又1+5+2+4=180°，2+4=90°，平行四边形aecf是矩形6正方形abcd中，点o是对角线db的中点，点p是db所在直线上的一个动点，pebc于e，pfdc于f（1）当点p与点o重合时（如图），猜测ap与ef的数量及位置关系，并证明你的结论；（2）当点p在线段db上（不与点d、o、b重合）

11、时（如图），探究（1）中的结论是否成立？若成立写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）当点p在db的长延长线上时，请将图补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论解答：解：（1）ap=ef，apef，理由如下：连接ac，则ac必过点o，延长fo交ab于m；ofcd，oebc，且四边形abcd是正方形，四边形oecf是正方形，om=of=oe=am，mao=ofe=45°，amo=eof=90°，amofoe（aas），ao=ef，且aom=ofe=foc=45°，即ocef，故ap=ef，且apef （2）

12、题（1）的结论仍然成立，理由如下：延长ap交bc于n，延长fp交ab于m；pmab，pebc，mbe=90°，且mbp=ebp=45°，四边形mbep是正方形，mp=pe，amp=fpe=90°；又abbm=am，bcbe=ec=pf，且ab=bc，bm=be，am=pf，ampfpe（sas），ap=ef，apm=fpn=pefpef+pfe=90°，fpn=pef，fpn+pfe=90°，即apef，故ap=ef，且apef （3）题（1）（2）的结论仍然成立；如右图，延长ab交pf于h，证法与（2）完全相同7、如图，一个直角三角

13、形纸片的顶点a在mon的边om上移动，移动过程中始终保持abon于点b，acom于点amon的角平分线op分别交ab、ac于d、e两点（1）点a在移动的过程中，线段ad和ae有怎样的数量关系，并说明理由（2）点a在移动的过程中，若射线on上始终存在一点f与点a关于op所在的直线对称，判断并说明以a、d、f、e为顶点的四边形是怎样特殊的四边形？（3）若mon=45°，猜想线段ac、ad、oc之间有怎样的数量关系，只写出结果即可不用证明  解答：解：（1）ae=ad理由如下：abon，acom，aed=90°mop，ade=odb=90°pon，而

14、mop=nop，aed=adead=ae（2）菱形理由：连接df、ef，点f与点a关于直线op对称，e、d在op上，ae=fe，ad=fd由（1）得ae=ad，ae=fe=ad=fd四边形adfe是菱形；（3）oc=ac+ad理由：四边形adfe是菱形，aeo=feo，aoe=foe，efo=eao，acom，op平分mon，ae=ef，efoc，efo=90°，ae=ef=ad，oa=of，mon=45°，aco=aoc=45°，oa=ac，fec=fce，ef=cf，cf=ae，oc=of+fc=oa+ae=ac+ad 8如图，abc中，点p是边ac

15、上的一个动点，过p作直线mnbc，设mn交bca的平分线于点e，交bca的外角平分线于点f（1）求证：pe=pf；（2）当点p在边ac上运动时，四边形aecf可能是矩形吗？说明理由；（3）若在ac边上存在点p，使四边形aecf是正方形，且 求此时bac的大小   解答：（1）证明：ce平分bca，bce=ecp，又mnbc，bce=cep，ecp=cep，pe=pc；同理pf=pc，pe=pf； （2）解：当点p运动到ac边中点时，四边形aecf是矩形理由如下：由（1）可知pe=pf，p是ac中点，ap=pc，四边形aecf是平行四边形ce、c

16、f分别平分bca、acd，且bca+acd=180°，平行四边形aecf是矩形； （3）解：若四边形aecf是正方形，则acef，ac=2apefbc，acbc，abc是直角三角形，且acb=90°，bac=30°9如图，在直角梯形abcd中，adbc，b=90°，ad=6，bc=8， ，点m是bc的中点点p从点m出发沿mb以每秒1个单位长的速度向点b匀速运动，到达点b后立刻以原速度沿bm返回；点q从点m出发以每秒1个单位长的速度在射线mc上匀速运动在点p，q的运动过程中，以pq为边作等边三角形epq，使它与梯形abcd在射线bc的同侧点p，q

17、同时出发，当点p返回到点m时停止运动，点q也随之停止设点p，q运动的时间是t秒（t0）（1）设pq的长为y，在点p从点m向点b运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）；（2）当bp=1时，求epq与梯形abcd重叠部分的面积；（3）随着时间t的变化，线段ad会有一部分被epq覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由              解答：解：（1）y

18、=mp+mq=2t； （2）当bp=1时，有两种情形：epq与梯形abcd重叠部分就是epq，其面积为 若点p从点b向点m运动，由题意得t=5pq=bm+mqbp=8，pc=7设pe与ad交于点f，qe与ad或ad的延长线交于点g，过点p作phad于点h，则hp= 在rthpf中，hpf=30°，hf=3，pf=6fg=fe=2又fd=2，点g与点d重合，如图2此时epq与梯形abcd的重叠部分就是梯形fpcg，其面积为  （3）能，此时，4t5过程如下：如图，当t=4时，p点与b点重合，q点运动到c点，此时被覆盖线段的长度达到最大值，peq为等边三角形，epc=60°，ape=30°， af=3，bf=6，ef=fg=2，gd=623=1，所以q向右还可运动1秒，fg的长度不变，4t5 10（正方形abcd中，点o是对角线ac的中点，p是对角线ac上一动点，过点p作pfcd于点f如图1，当点p与点o重合时，显然有df=cf（1）如图2，若点p在线段