第四章 中值定理及导数的应用wpp

1、calculus2021-11-234.1微分中值定理4.2洛必达法则4.3用导数研究函数的单调性、极值、和最值4.4函数曲线的凹向及拐点4.5曲线的渐近线与函数作图4.6导数在经济学中的应用第四章 中值定理及导数的应用calculus2021-11-234.1微分中值定理一、罗尔一、罗尔 ( rolle ) 定理定理,ba1) 在闭区间在闭区间 上连续上连续; 2) 在开区间在开区间),(ba 内可导内可导;有一点有一点则在则在),(ba内至少内至少),( ba 使使.0)(f若函数若函数)(xf满足：满足：),()(bfaf3)aboyabx)(xfy calculus2021-11-23

2、证明证明( ) , ,f xa b因为在上连续aboyabx)(xfy 则则( )f x在在 a, b 上取得最大值上取得最大值 m 和最小值和最小值 m .1) 若若,mm 即即)(xf恒为常数恒为常数, 0)( xf可取可取(a, b)内任一点作为内任一点作为;2) 若若,mm 由由)()(bfaf知知,m , m 至少有一个要在至少有一个要在),(ba内取得内取得.不妨设不妨设 m 在在),(ba内点内点 处取得处取得,即即( )fm)(af)() (,fxf, 0 xfxf)()(,0, 00, 0 xx0,) (f0,) (f所以所以,. 0)(f证毕证毕.calculus2021-

3、11-23几何意义几何意义:在两端点高度相同的连续光滑的曲线弧上在两端点高度相同的连续光滑的曲线弧上,若除端点外处处有不垂直于若除端点外处处有不垂直于 x 轴轴的切线的切线,则此曲线弧上至少有一点则此曲线弧上至少有一点,在该点处的在该点处的切线是水平的切线是水平的.或者说切线或者说切线aboyabx)(xfy 与端点的连线与端点的连线ab平行平行.罗尔定理的三个条件是结论成立的充分必要条件calculus2021-11-2331 1(0 )0 ,(1)(1)yxfff例 如 ：在， 上 ,但不 成 立 .calculus2021-11-232( )23, 1,3,()0.1)(f xxxxf

4、xrollef 设试验证是否符合定理的条件？如符合，求出相应的使例2( )23( ) 1,3( 1,3)( 1)(3)0.,( ).( )2(1)0( 13),1( 1,3)1( )0.f xxxf xfff xrolleff 由于是一个多项式，所以在上连续，在内可导，而且因此满足定理的三个条件故有得，即在内存在一点，使得解calculus2021-11-23( )(2)(1)(1)(3)2,( )0f xxxxxfx已知不求导数，试确定有几个实根例及其所在范围.( )( )-2 -1-1113(-2 -1)(-11) (13)( 2)( 1)(1)(3)0,( )-2 -1-1113.f x

5、f xfffff xrolle因为是一个多项式，所以在闭区间， ， ，上连续，且在开区间， ，上可导,又故在， ， ，上满足定理解calculus2021-11-23ffffx112233123因此，在(-2,-1)内至少存在一点 使 ()=0在(-1,1)内至少存在一点使 ()=0,在(1,3)内至少存在一点使 ()=0,也即 、 、是 ( )=0的实根.fxfx又由于 ( )=0为三次方程，所以它最多有三个实根，因而 ( )=0只能有三个实根，它们分别在区间(-2，-1)，(-1，1)，(1，3)内.calculus2021-11-23( ) , (0)( , )( ),( , )( )(

6、 )3(.xa baba bff abaa bf bff 设在上连续，在内可导，且证明在内至少存在一点 ，使得例( )( ),( ) , ( , )( )( )( ) , ( , )( )0,( )( )( )0( )f xxf xf xa ba bf af babf xa ba bfffff 令由已知可得在上连续，在内可导，且,即在上满足罗尔定理条件，于是至少存在一点，即明使得证calculus2021-11-23( )0,1( , )(1)0,:(0,1)2 ( )( )sin20.4xa bffff设在上连续，在内可导，且证明 至少存在一点使得例2 ( )( )sin20ff当（0，1）

7、时分,析有( )( )sincos0ff1( )( )sin0cosff21( )( )tan0cosffcalculus2021-11-23 ( )tan 0 xf xx( )( )tan ,f xf xx证设明( )0,1(0,1)(0)(0)tan0,(1)(1)tan10( )0,1f xfffff x显然，在上连续，在内可导且有所以在上满足罗尔定理的条件.( )0,2 ( )( )sin20.fff于是，至少存在一点(0,1),使得即注意：该题辅助函数的寻找过程是一种常用方法calculus2021-11-23二、拉格朗日二、拉格朗日 (lagrange) 定理定理或或)()()(f

8、abafbf（2）,ba1) 在闭区间在闭区间上连续上连续; 2) 在开区间在开区间),(ba内可导内可导;至少有一点至少有一点),( ba若函数若函数)(xf满足：满足：则在则在),(ba内内aboyabx)(xfy c( )( )( )( - )f bf afb a（1）calculus2021-11-23分析分析要证要证( )( )( ),f bf afba即证即证0)()() (abafbff即证即证( )-( )( )-( - )0-x xf bf af xx ab a令令( )( )( )( )()f bf axf xxaba只须证只须证( )0, 只须证只须证)(x在在,ba上满

9、足罗尔定理条件上满足罗尔定理条件.calculus2021-11-23证明证明( )( )( )( )()f bf axf xx ab a易见易见)(x在在,ba上连续，上连续， 在在),(ba内可导，内可导， 且且( )a( ),f a即即( )( ).ab根据罗尔定理知，根据罗尔定理知，),(ba使使( )0, 即即( )( )( )0,f bf afba即即构造辅助函数构造辅助函数( )( )( ).f bf afba( )( )bf acalculus2021-11-23几何意义：几何意义： 在连续、光滑的曲线弧上，除端点外处处有不垂在连续、光滑的曲线弧上，除端点外处处有不垂直于直于

10、x 轴的切线，则在曲线弧上至少存在一点轴的切线，则在曲线弧上至少存在一点c，在，在该点处的切线与连接两端点的弦平行该点处的切线与连接两端点的弦平行.aboyabx)(xfy c( )( )f af b注意：当时，结论就是罗尔定理,即罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例.calculus2021-11-231). (1)或或(2)式对于式对于ab 时也成立时也成立.拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式.2). 若令若令,aba则则10,于是拉格朗日公式可写成于是拉格朗日公式可写成:( )( )( )( - )f bf af abab a) 10(3)3). 若令若令,xxbxa则得则得有限增量公式有限增

11、量公式:)()(xfxxfyxxxf)() 10(4)2) 定理结论肯定中间值定理结论肯定中间值的存在的存在,但未知其确切位置但未知其确切位置;3) 式中的式中的可能不只一个可能不只一个,这并不影响它在理论上的应用这并不影响它在理论上的应用说明说明( )( )( )( - )f bf afb a1) 定理中的两个条件缺一不可定理中的两个条件缺一不可;.注意注意calculus2021-11-23( ) ,( ,)( )0,( )1,fxa ba bfxfxa b如 果 函 数在 闭 区 间上 连 续 ，且 在 开 区 间内 恒 有则在 闭区 间上推 论恒 为 常 数 .证明证明 不妨设不妨设1

12、2,xx在在,21xx上应用中值定理上应用中值定理,),(21xx使使)()()(1212xxfxfxf0)()(12xfxf所以所以, 由由21,xx的任意性知的任意性知,( )f x 恒为常数.),(,21baxx 对对calculus2021-11-23( )( ) , ( , )( )( )0,( ) , 2( )( )f xg xa ba bfxgxf xa bf xg xcc如果函数与在闭区间上连续，且在开区间内恒有则在闭区间上恒有论（推为常数）证明证明( )( )( )f xfxg x有, 0由定理知由定理知,)(cxf即即( )( ).f xg xc( )( )( ),f xf

13、 xg x令calculus2021-11-23验证验证 1 , 0在闭区间在闭区间上连续上连续, 在开区间在开区间) 1 , 0(内可导内可导,2( )f xx满足拉格朗日中值定理的条件满足拉格朗日中值定理的条件, )0() 1 (ff)01)(f即即201) 1 , 0(21即的确在即的确在 (0,1) 内内 找到找到12使定理成立使定理成立.应用定理知应用定理知例例5 验证拉格朗日中值定理对函数验证拉格朗日中值定理对函数2( )f xx在区间在区间 0,1 上上的正确性的正确性,并求并求.验证拉格朗日中值定理对函数验证拉格朗日中值定理对函数 在区间在区间-1,1上的正确性上的正确性 .(

14、 )lnf xxcalculus2021-11-23arcsinarcs6in,1,1证明例若，不等式显证明然成立.( )arcsin,( ),()()( )(),()f xxf xfff 若，不妨设，令显然在上满足拉格朗日中值定理的条件，于是有21arcsinarcsin(), ()1即calculus2021-11-232211,1,1.11arcsinarcsin()() .1注意到因此在上式两边取绝对值arcsin- arcsin.对的 情 形 ， 证 法 类 似 ,故calculus2021-11-230 x时时,例例7 证明证明: 当当.)1ln(1xxxx证明证明 设设( )ln

15、(1),f xx0 x对对)1ln()(xxf在在, 0 x上应用拉氏中值定理上应用拉氏中值定理,), 0(x, 使使)0)()0()(xffxf)01ln()1ln( x即即,1x因因0, x 所以所以1x xx1. x即即.)1ln(1xxxxcalculus2021-11-23( ) , , , ( )( )( )( )8f xa ba ba bbf baf affba已知在上连续，在内可导，证明在内至少存在一点 使得例( )( ),( ) , ,( ) , ( )( )( ),()f xxf xf xa ba bf xa bf bf afabba设由已知条件可得，在上连续，在()内可导

16、，故在上满足拉格朗日定理条件，由拉格朗日定理得：证明calculus2021-11-23( )( )( ),( )( )( ) , ( )( )( )( )fxfxxfxfffa bbf baf affba又因 此 ， 在内 存 在 一 点， 使calculus2021-11-23( ) , ()( , )(1()9, )aba bxa b aba bfa bbeaeba ee设在上连续，在内可导，证明：在内存在一点 ，使得例1()()baxxbeaeexeba 等式改为：析写分( ),( ) , ( , )( ),xxxf xxef xa ba bf xexe设则在上连续在证内可导，且明由拉

17、格calculus2021-11-23( )( )( ),f bf afba1,()babeaeeba即（）1().aba bbeaeba ee故( , )a b朗日定理知，至少存在一点使得：calculus2021-11-23arcsinarccos.2xx证明等式:例10( )arcsinarccos ,( ) 11( 1,1)( )01, 11( ),arcsinarccos.f xxxf xfxf xc cxxc令显然，在，上连续，在内可导，且，于是由推论 在，上恒有 ( 为常数）即证明0,arcsinarccos.22xcxx令，得故有calculus2021-11-23若函数若函数

18、)(),(xgxf满足满足:,则在则在 ),(ba内至少存在一点内至少存在一点使使成立成立.,ba1) 在闭区间在闭区间上连续上连续;()()()()()()fbfafg bg ag 2) 在开区间在开区间),(ba内可导内可导;( )0,g x且且( )g xx注意：拉格朗日中值定理是柯西中值定理时的特殊情况三、柯西三、柯西(cauchy)中值定理中值定理calculus2021-11-232( )1( )ln1211f xxg xx验证与在 ，上满足柯西中值定理条件，并由结论求例的值.2( )1, ( )ln121( )0(1,2)( )( )12(2)(1)( )(12)(2)(1)(

19、)f xxg xxg xxf xxg xfffggg由于在 ，上连续，在(1,2)内可导，且，所以与在 ，上满足柯西中值定理的条件，故在(1,2)内至少存在一点 ，使解calculus2021-11-2352( )ln2ln1( )21/3(1,2)2ln2xxfxg xxx2即=2calculus2021-11-23( ) , ( , )(1,( )2)2( )xa ba bfa bffba设在上连续，在内可导，证明：在内存在一点 ， ，使得例( ),0( ), ( ) , ( , )xx baf x g xa ba b 令g由题意知，在上满足柯西中证值理,知明使得：( )( )( )12f

20、 bf afbacalculus2021-11-232( )( )( )ff bf ababa( ) , ( , )( )( )( )f xa ba bf bf afba 又因为在上满足拉格朗日中值定理,所以,使得：2( )( )ffba故calculus2021-11-234.2洛必达法则3100 xxx3sinlim0 xxx3sinlim20 xxx20sin3limxxx1lim21lim2xxx14lim22xxx4如果当如果当0 xx) (x或时时, 两个函数两个函数 f(x) 与与 g(x)都趋于都趋于零零或或都趋于都趋于无穷大无穷大, 为未定式为未定式.通常称极限通常称极限0(

21、)( )lim( )xxxf xg x00calculus2021-11-2300一、 型的洛必达法则0000000( )( )(1)lim( )lim( )02()( )0( )3lim( )( )( )limlim( )(1)xxxxxxxxxxf xg xf xg xxxg xfxg xf xfxg xg x如果函数与满足如下条件（ ）在点处的某个邻域内 点可除外 可导，且（ ）存在（或为）；则有定理calculus2021-11-23000000000000( )( )()()0()()0( )( )xf xg xxf xg xxxxxxf xg xxf xg xx由条件（1）可知，点

22、是和的连续点或是可去间断点。当为连续点时，有；当为可去间断点时，由于我们讨论的是函数当时的极限，而与函数在处的函数值无关，所以我们可以通过补充定义或改变点 的函数值的方法，即令，使两个函数在处连续。再加上条件(2)，于是函数和在点 的某邻证明域内连续.calculus2021-11-2300(),( )( )xxxf xg xxx设 为该邻域内任意一点则和在以 和为端点的区间上满足柯西中值定理所有条件，故有：000( )()( )()( )()( )f xf xfxxg xg xg在 与之间0( )( )()( )( )f xfxxg xg即在 与之间000000( )( )( )( )lim

23、lim,limlim( )( )( )( )xxxxxxxxxxf xff xfxg xgg xgx由于当时，对上式两边取极限得：即：calculus2021-11-23( )( )( )limlimlim( )( )( )xaxaxaf xfxfxg xg xgx 则有则有 2) 对对 x时的情形时的情形, 也有结论也有结论00型型( )lim( )xf xg x( )lim( )xfxg x1）如果）如果0( ) lim( )xxfxg x当当0 xx时仍属时仍属00型，型，( ), ( ) fxg x且且 f(x) 及及 g(x) 能满足定理中能满足定理中相应的条件，相应的条件，( ),

24、 ( )f xg x 当当满足相似条件时满足相似条件时,003),1xxxxxx 当时 ，定 理 成 立说明说明calculus2021-11-230 sinsinlim 0bbxaxx求例例100 sinsinlim0bxaxx )(sin)(sinlim0bxaxx cos cos lim0bxbaxax ba例例2 123lim 2331xxxxxx求 123lim2331xxxxxx 12333lim221xxxx 266lim1xxx 23解解解解不是未定式不是未定式, 不能盲目应用罗比塔法则不能盲目应用罗比塔法则注意注意calculus2021-11-23例例3 求求 xxxexx

25、sincoslim0 sincoslim 0 xxxexx解解 例例4 求求arctan2lim 1xxx 1arctan2limxxx 111lim22xxx 1lim22xxx1解解0sin lim sincosxxexx xxcalculus2021-11-2320sin1lim(sin)5xxexx例求0co slim2 sinco sxxexxx原 式 =解0coslimsin 2xxexx=0sin1lim2 cos 22xxexx=1注意： ）求极限时为了简化计算经常将洛必达法则与等价无穷小量代换，重要极限等去结合使用2）无穷小量代换在乘除关系中尽管用，加减法不能用calculu

26、s2021-11-23301lim1cossi6nxxexx例求31301,1cossin(sin)2xxexxxxx解当时30lim1(sin )2xxxx原式203lim1(1cos )2xxx20232 lim1212xxxcalculus2021-11-23例例7 求求 xxxexxsincoslim00020000coscossinlimlimlimsin2coslim1,2xxxxxxxxexexexxxxxex求解过程解有错误吗？0sinlim2xxexx10有 错 误 。 因 为是 （） 不 是 （） 型 ,00不 能 用 洛 必 达 法 则 .calculus2021-11-

27、232000coscossinlimlimlimsin2xxxxxxexexexxxxx 正确答案：201sinlimsinxxxx例80112 sincoslimcosxxxxx原式=极限不存在，求解过程解有错误吗？calculus2021-11-230112sincoslimcosxxxxx有 错 误 。 因 为不 存 在 ，且 不 为， 洛 必 达 法 则 失 效 .2001sin1limlimsin0sinsinxxxxxxxxx正 确 答 案 ：解解答答calculus2021-11-23二、 型的洛必达法则定理定理200( )( ) limlim( )( )xxxxf xfxg x

28、g x设设 （1）当）当0 xx时时, 函数函数 f(x) 及及 g(x) 都趋于无穷大都趋于无穷大 ;(2) 在点在点a 的某去心邻域内的某去心邻域内,( ) ( )fxg x及都存在且都存在且( )0 ;g x(3)0( ) lim( )xxfxg x存在存在 (或无穷大或无穷大); 则有则有calculus2021-11-23说明说明001),2xxxxxxx 当时 ， 定 理 也 成 立 .2)2定理 的条件成立，则定理2可有限次连续使用.30tansinlim(sin )xxxxcalculus2021-11-23其它其它未定式未定式:, 1 0 000、例例90 lnlim 0nx

29、xnx求解解nxxxln lim0 lnlim0 xxnx0101 limnxnxxnxnx lim00例例10 xxxtansec lim 2求解解xxxtansec lim2xxxxcossincos1 lim2xxxcossin1 lim2xxxsincos lim2000也可化为也可化为00或或型型的未定式来计算的未定式来计算calculus2021-11-23例例120 limxxx求,xyx解解xxylnln 00limlnlim lnxxyxx10lnlimxxx201limxxx0lim()xx0,ln yey 0 limxxx0limxy01e0lim lnxye例例11 1

30、1lim1lnxxxx求解解xxxxln11lim1xxxxxxln) 1(1lnlim100 xxxxx1ln11lnlim10021111limxxxx2100 calculus2021-11-23csc0lim co1 3sxx 求例csccscln cos00lim coslimxxxxe解0lim cscln cosxxxe00ln cosln coslimlimsinxxxxxxee01(sin)coslim011xxxee 1calculus2021-11-231ln01li m (t4c o)xx例求1ln0lim (cot)xx解0ln cotlim()lnxxxe 2001

31、(csc)cotlim11lim ()cosxxxxxxee1e00 200ln(1)1lim(sin )lim()xxxxxxxcalculus2021-11-234.3用导数研究函数的单调性、 极值、和最值一、函数单调性的判别一、函数单调性的判别( )( , )( )0,( , ),( )( , )( )0,( , ),1( )( , )f xa bfxxa bf xa bfxxa bf xa b设函数在区间内可导，则有(1)如果那么在区间;内单调增加(2)如果那么在区间定理内单调减少.calculus2021-11-23证证应用拉格朗日中值定理应用拉格朗日中值定理)()(12xfxf12

32、12 , ( , ), () ,xxa bxx 仅证仅证(1). 设设)(12xxf),(21xx12(1)( )0,( ,),()0()(),( )( ,)fxxa bffxfxfxa b若则， 由 上 式 得 ：所 以在内 单 调 增 加12(2)( )0,( ,),()0()(),( )( ,)fxxa bffxfxfxa b若则， 由 上 式 得 ：所 以在内 单 调 减 少注意：( )( , )( )0( )0),( )0( )( , )f xa bfxfxfxf xa b若在内或且使的点是一些离散的点，则在内单调增加或（单调减少）calculus2021-11-23sin1yxx证

33、 明是 单例调 增 加 函 数 .sin(,)1cos0yxxyx 的 定 义证域 是明2()yxkkn且仅 在 离 散 点取 等 号 ,sinyxx是 单 调 增 加 函 数 ,（ -， +） 为 单 调 区 间 .calculus2021-11-235xxyoab1x2x3x4x)(xfy 0)()()(321xfxfxf)(4xf 不存在不存在,0)(5 xf确定函数单调区间的方法和步骤确定函数单调区间的方法和步骤:(1) 确定函数确定函数)(xfy 的定义域的定义域;(2) 求求),(xf 找使找使0)( xf的点的点(驻点驻点),及使及使)(xf 不存在的点不存在的点;(3) 以以(

34、2)中所找点为分界点中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间将定义域分割成部分区间, 判断在每一区间上导数的符号，由定理得出结论。判断在每一区间上导数的符号，由定理得出结论。问题：如何求函数的单调区间？calculus2021-11-23解解 (1) 定义域定义域 ,)2)(1(6xx 31292)(23xxxxf例例2 确定函数确定函数的单调区间的单调区间.0)( xf令令2 , 121xx, 得得)(xf (2)(3) 以以2 , 121xx为分界点为分界点,将定义域分割将定义域分割,列表列表:x( )fx( )f x(,1)(1,2)(2,) 增增减减增增函数函数)(xf的单增区间为的单

35、增区间为: 1 ,()., 2( 单减区间为单减区间为:2 , 1 (121862xxcalculus2021-11-23解解 (1) 定义域定义域 ,32)25()(xxxf例例3 确定函数确定函数的单调区间的单调区间.(2)(xf 332132)25(xxx3135xx 0)( xf令令 , 11x, 得得当当02x时时,)(xf 不存在不存在,(3) 列表列表:x)(xf )(xf)0 ,() 1 , 0(), 1 ( 增增减减增增函数函数)(xf的单增区间为的单增区间为:0 ,()., 1 ( 单减区间为单减区间为:.1 , 0(calculus2021-11-23利用单调性证明不等式

36、利用单调性证明不等式例例4 证明不等式证明不等式) 1( 132 xxx证明证明 令令1( )2(3)f xxx)(xf ) 1(12xxx) 1 ()(fxfxxx132 1 时，即211xx0)( xf) , 1 , 即即)(xf在在上单增上单增,当当1x时时,0,当当1x时时,calculus2021-11-235xxe证明:方程=2在(0,1)内有且仅例有一个实根.( )( )0,1(0)20,(1)20.( )0,( )0 xfxxefxffeffx 设-2,因在上 连 续 ，且由 零 值 定 理 ，在 (0,1)内 至 少 存 在 一 点使即在 (0,1)内 至 少 有 一证 明个

37、 实 根 .( )(1)0(01),( )( )xfxexxfxfx又因为所以因在(0,1)内单调增加，于是在(0,1)内至多有一个零点.( )( )2xfxfxxe综上,在(0,1)内只有一个零点，即方程=0,亦即在(0,1)内仅有一个实根.calculus2021-11-23( ) , ( , )( )0,( )( )( ,6)f xa ba bfxf xf aa bxa设在上连续，且在内证明在例内单调增加.( )( )( ),( , )f xf af xxa bxa设证明2( )()( )( )( )()fxxaf xf afxxa( ),f xa b在上满足拉格朗日中值定理,( )(

38、)( )()f xf afxaax,calculus2021-11-23( , )( )0 xa bfx又当时，( )( , )fxa b在内单调递增.( )( )bxafxf故 当时 ，2( )()( )()( )()( )( )0,fxxafxafxxafxfxa而( )( )( )( , )f xf af xa bxa在内单调递增.calculus2021-11-23二、函数的极值与最值二、函数的极值与最值定义定义1设设 f(x) 在区间在区间 (a, b) 内有定义内有定义, 0( , ),xa b都有都有极大值与极小值统称为极大值与极小值统称为极值极值, 使函数取得极值的点称为使函数

39、取得极值的点称为极值点极值点.00(,),xxx ),(0 xu若存在若存在0( )()f xf x1), 则称则称)(0 xf为函数为函数)(xf的的极大值极大值.2)0( )()f xf x, 则称则称)(0 xf为函数为函数)(xf的的极小值极小值.( (一一) )函数的极值和最值的定义函数的极值和最值的定义极极大大值值点点 0 x极极小小值值点点 0 x1x)(xfy 2xxyocalculus2021-11-23注意注意 1) 函数的极值概念是函数的极值概念是局部性局部性的的2) 函数的极值函数的极值可能有多个可能有多个3) 函数的函数的极大值极大值可能比可能比极小值小极小值小4)

40、函数的极值函数的极值不在端点上取不在端点上取1x)(xfy 2xxyocalculus2021-11-23000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx定理定理1极值存在（必要条件）极值存在（必要条件）)(0 xf是极大值是极大值.证证 不妨设不妨设由定义知由定义知,0( )() f xf x)(0 xf000)(0 xf设函数设函数)(xf在在0 x处可导并取得极值处可导并取得极值, 则则0)(0 xf)(0 xf000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx条件必要而不充分条件必要而不充分.即即导数为零的点未必是极值点导数为零的点未必是极值点.0 x的某一邻域内的某一邻域内,恒有恒有在

41、在注意注意例例 y= x3 在在 x= 0点点导数为零，但不是极值点。导数为零，但不是极值点。calculus2021-11-23说明说明1）导数不存在的点导数不存在的点也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.若若0)(0 xf，称点，称点0 x为函数为函数)(xf的的驻点驻点.0yxx例：在点导数不存在，但有极小值。2）极值点只可能在）极值点只可能在驻点或导数不存在的点驻点或导数不存在的点取到。取到。xy03xy xyoyxcalculus2021-11-23定理定理2 (极值存在的第一充分条件极值存在的第一充分条件)当当0 xx时时,; 0)( xf当当0 xx 时时,; 0)( xf

42、(1) 若若)(xf则则在在0 x处取得处取得极大值极大值.当当0 xx时时,; 0)( xf (2) 若若当当0 xx 时时,; 0)( xf)(xf则则在在0 x处取得处取得极小值极小值. (3) 若若)(xf 在在0 x的邻近两侧的邻近两侧不变号不变号,则则)(xf在在0 x处处没有极值没有极值.在在0 x点连续，在点连续，在 的某一邻域内可导（的某一邻域内可导（ 可除外）可除外）)(xf设函数设函数0 x0 xxyab1x2x3x4x)( xfy 5x6x7x8xcalculus2021-11-23(二二)求函数极值的方法和步骤求函数极值的方法和步骤:( )f x 定义域 (1) 确定

43、确定 (2) 求使求使0)( xf的点的点(驻点驻点),及使及使)(xf 不存在的点不存在的点; 593)(23xxxxf 例例1 求函数求函数的极值的极值.解解)(xf 9632xx ) 3)(1( 3xx0,得得. 3, 121xx 列表列表:x) 1,(1) 3 , 1(3), 3( )(xf )(xf00极大值极大值极小值极小值增增减减增增 极大值为极大值为:) 1(f0,1 极小值为极小值为:) 3(f22. (3) 列表考察这些点左右区间上列表考察这些点左右区间上 的符号，利用定理的符号，利用定理3 判别所找点是否极值点判别所找点是否极值点,并判别极大并判别极大(小小)值值.( )

44、f xcalculus2021-11-23解解223()2)(2f xxx求函数的单例调区间和极值.3(,),4(1)( )3(2)xfxxx 函数定义域为列表列表:x)(xf )(xf(- ,0)0不存在极小值(0,1)10极大值(1,2)2不存在极小值(2,)( )01,02( )fxxxxfx 令得驻点当或时,不存在.calculus2021-11-23(,0),(1, 2)(0,1),(2,)0,2,(0)(2)01,(1)1.xxffxf所 以 ， 单 调 递 减 区 间 为单 调 递 增 区 间 为极 小 值 点极 小 值极 大 值 点极 大 值calculus2021-11-23

45、定理定理 3 （第二充分条件）（第二充分条件）, 0)( , 0)(00 xfxf设函数设函数0 x处具有二阶导数处具有二阶导数 ,且且)(xf在点在点则则 0)( 0 xf当当时时,)(0 xf为为极大值极大值; 0)( 0 xf当当时时,)(0 xf为为极小值极小值.calculus2021-11-2332()2397fxxx例求的 极 值 .,定义域为 -,+解2( )3183 (6)fxxxx x12( )00,6fxxx令， 得 驻 点( )618,(0)180,(6)180fxxff ( )0(0)276(6)135.fxxfxf 所 以在处 取 得 最 大 值 ，处 取 得 极

46、小 值calculus2021-11-231) 1()( 32 xxf例例4 求函数求函数的极值的极值.解解 令令)( xf 22) 1(6xx) 15)(1(6)(22 xxxf)0(f ，01 f01 , 0 , 1321xxx,得得, 06 所以有极小值所以有极小值:; 0)0(f定理定理3失效失效,用定理用定理2判断判断.当当1x时时,; 0)( xf01x时时,; 0)( xf1x不是极值点不是极值点当当10 x时时,; 0)( xf1x时时,1x不是极值点不是极值点; 0)( xfcalculus2021-11-23注意：(1)( )0( )0fxfx第二充分条件只能在且的驻点处使

47、用(2)第一充分条件对任意点都可以使用calculus2021-11-23( (三三) )最值的求法最值的求法若函数若函数)(xf在在,ba上连续，上连续，,ba上取得最大值和最小值上取得最大值和最小值.则必在则必在xyoab求最值的方法求最值的方法:2 若函数若函数)(xf在在),(ba内取得内取得最值最值，则此点一定取得，则此点一定取得极值极值1 求出最值点的存在范畴求出最值点的存在范畴：端点、驻点、导数不存在的点：端点、驻点、导数不存在的点2 计算函数计算函数)(xf在这些点处的函数值在这些点处的函数值; 3 比较这些函数值的大小比较这些函数值的大小,其中其中最大者最大者与与最小者最小者

48、就是函数就是函数)(xf在区间在区间,ba上的上的最大值最大值和和最小值最小值.x01 函数函数)(xf可能在可能在端点端点取得最值。取得最值。说明说明calculus2021-11-231233( )(1)112f xxx求函数在， 上的最大值和例最小值.2313,3(1)xyxx解10,3yx令得01xxy当或时， 不存在.区间 -1,2 上的端点，驻点，导数不存在点的函数值如下表:x()fx134001 / 334 / 310232331( 1)42(2)2xfxf 最小值点，最小值最大值点，最大值calculus2021-11-23几种特殊情况几种特殊情况:1 若若)(xf在在,ba上

49、上单调单调, 则在则在端点处取得端点处取得最值最值.,0 x2 若若)(xf在在),(ba内内只有一个极值点只有一个极值点0 x则当则当为为极大极大(小小)值值点时点时,)(0 xf就是就是最大最大(小小)值值.calculus2021-11-232v要做一个容积为 的院柱形罐头筒，怎么设计才能使例所用材料最省？要材料最省，就是要罐头筒的总表解面积最小.rh设罐头筒的底半径为 高为 则总表面积为：222srrh22vvr hhr222(0,)vsrrr,calculus2021-11-2332222(2)4vrvsrrr302vsr令得：3344()1202vvssr32vr 为极小值点，唯一

50、极小值点就是最小值点3222vvrhrr 为最小值点，此时结论：当罐头筒的高和底直径相等时，用料最省calculus2021-11-23注意注意: 1 在实际问题中在实际问题中, 则按实际情况进行判断则按实际情况进行判断.2 当表示该实际问题的函数当表示该实际问题的函数在所讨论的区间内在所讨论的区间内只有只有一个可能的极值点一个可能的极值点时时,则该实际问题一定在该点取得所则该实际问题一定在该点取得所求的最大值或最小值求的最大值或最小值.()f xcalculus2021-11-23例例3 某商店每年销售某种商品某商店每年销售某种商品 a 件，每次购进的手续费为件，每次购进的手续费为 b 元，

51、元，而每件商品每年库存费为而每件商品每年库存费为 c 元。在该商品均匀销售的情况下，问元。在该商品均匀销售的情况下，问商店应分几批购进此种商品，能使所需手续费及库存费之和最小？商店应分几批购进此种商品，能使所需手续费及库存费之和最小？解解 设每批购进设每批购进 x 件商品，所需总费用为件商品，所需总费用为 y 元。则元。则(0)xa2xcxaby 22cxaby 得得2,abxc022 cxaby令令舍去）舍去）（cabx2 即批数为即批数为 时，费用最小。时，费用最小。bacxa2 calculus2021-11-234.4函数曲线的凹向及拐点定义定义1( )( )( )yf xyf xyf

52、 x设函数在某区间内可导，若曲线弧位于其上任意一点切线的上方，则称曲线是上凹的，若曲线弧位于其上任意一点切线的下方，则称曲线是下凹的.上凹上凹xyo下凹下凹xoycalculus2021-11-23问题：如何确定曲线的凹向呢？( )( )xfxxfx从上图观察可得：上凹曲线随自变量 增大，其切线的斜率在增大，即递增下凹曲线随自变量 增大，其切线的斜率在减小，即递减我们得到：曲线的凹向与一阶导数的单调性相关，从而可以用二阶导数的符号判别.calculus2021-11-23定理定理1 设函数设函数)(xf在在,ba上连续上连续,在在),(ba内具有二阶导数内具有二阶导数,(1)若在若在),(ba

53、内内0 )(xf，则，则)(xf在在,ba上图形是上图形是 上凹上凹0 )(xf下凹下凹(2)若在若在),(ba内内，则，则)(xf在在,ba上图形是上图形是42,120yxyxx注意：定理的条件是充分非必要条件.例如在(-+ )内上凹，但在处等于0.calculus2021-11-23推论推论 ( , )( )0( )0).( )0( )( , )a bfxfxfxyf xa b如果在区间内恒有或且使得的点只是一些离散的点，则函数曲线在区间内上凹（或下凹）)1(ln(1)fxxx判 定 曲 线例的 凹 向 .211( )1( )0,1(1)fxfxxx因,所以函数曲线在定义解域 -1,+内上

54、凹.calculus2021-11-23解解, 3132xy , 9232xxy y 不存在不存在.例例2 求曲线求曲线 3xy 的拐点的拐点. 0 x时时, , 0 y0 x时时,)0 ,( 曲线曲线 在在内是上凹的内是上凹的. , 0 y0 x时时,), 0( 曲线曲线 在在内时是下凹的内时是下凹的.问题：如何求曲线的凹向区间呢？是拐点(0,0)判断曲线判断曲线 y=lnx 的凹向性？的凹向性？calculus2021-11-2300( )( ),()2yf xyf xxf x在函数曲线上，上凹弧与下凹弧的连接点称为曲线的拐点。记为(定义)00( )0( )( )0( ),()fxfxfx

55、fxxf x注意拐点处或不存在，但或不存在时()不一定是拐点确定曲线凹向区间与拐点的步骤：( )f x1求的定义域( )( )0( )fxfxfx2 求找使或不存在的点2( )fx3 以 中所找点为分界点，将定义域分割成部分区间列表讨论各个区间内的符号，再确定凹向区间与拐点calculus2021-11-23)0 , 5/1() 5/1,( ) (0, 列表：列表： 0 5/1xyy 0上凹上凹下凹下凹上凹上凹有拐点有拐点无拐点无拐点 综上综上, 曲线在曲线在) 5/1,(上为下凹上为下凹;点点32556,51是拐点是拐点.) ,(yy 0 y 令令, 5/11x得得32) 1(xxy的拐点及

56、凹凸区间的拐点及凹凸区间. 例例3 求曲线求曲线解解 定义域为定义域为:,32353132xx343192910 xx341592xx 02x当当时时,y 不存在不存在.不存在不存在在在上为上凹上为上凹. ) (-1/5,calculus2021-11-23定义定义1 1一、曲线的渐近线一、曲线的渐近线4.5 曲线的渐近线与函数作图当 曲 线 上 一 点 沿 着 该 曲 线 离 坐 标 原 点 无 限远 移 时 ， 如 果 该 点 与 某 一 直 线 的 距 离 趋 于零 ， 则 该 直 线 为 曲 线 的 渐 近 线1yx22221xyabcalculus2021-11-23渐近线的种类：y

57、b水 平 渐 近 线 ：xa垂 直 渐 近 线 ：0ya xba斜 渐 近 线 ： ()yfx问 题 ： 怎 样 求 曲 线的 渐 近 线 呢 ？calculus2021-11-23定义定义2 21 1、水平渐近线、水平渐近线)x(f对于函数对于函数 ，若，若b)x(flimx b)x(flimx b)x(flimx 或或或或)x(fy 则称直线则称直线 为曲线为曲线 的一条水平渐近线。的一条水平渐近线。by 22lim1,1xxx解解 122 xx)x(f例例1.求曲线求曲线的水平渐近线。的水平渐近线。122 xx)x(f例例1 求求 故故1 y是水平渐近线。是水平渐近线。calculus2

58、021-11-23arctan2yx求 曲 线的 水例平 渐 近 线 .lim arctan2lim arctan2xxxx 解arctan22yyyx ，都 是 曲 线的水 平 渐 近 线 .11yx求 曲 线的 水 平 渐 近 线 .calculus2021-11-23定义定义3 32 2、垂直渐近线、垂直渐近线)x(f对于函数对于函数 ，若，若 )x(flimax )x(flimax )x(flimax或或或或)x(fy 则称直线则称直线 为曲线为曲线 的一条垂直渐近线。的一条垂直渐近线。ax 1221xxlimx解解所以所以1 x是垂直渐近线是垂直渐近线。 1221xxlimx所以所以

59、1 x是垂直渐近线。是垂直渐近线。122 xx)x(f例例3 求求 曲线曲线的垂直渐近线。的垂直渐近线。122 xx)x(f例例3calculus2021-11-23ln(3)4eyx曲例求线渐 近 线 .03lim ln(3), lim ln(3)exxeexx 解0ln(3)3eexxyx，都 是 曲 线的垂 直 渐 近 线 .ln(3)(, 0)(,)3eeyx函 数的 定 义 域 为( )( )xayf xxayf x注意：是曲线的垂直渐近线的必要条件是点为函数的间断点.calculus2021-11-23( ),lim ( )()0lim ( )()0lim ( )()0,0( )x

60、xxf xf xaxbf xaxbf xaxbyaxb ayf x对于函数若或或，则称直线为曲线的一条斜定义4渐近线,( )lim,lim( ).xxfxabfxaxxxxx 且可 改 为，3 3、斜渐近线、斜渐近线calculus2021-11-23为 什 么 呢 ？lim( )()0( )lim 0 xxf xaxbf xbxaxx由( )lim0 xf xbaxx( )limxfxax lim( )()0lim( )xxf xaxbbf xax再由calculus2021-11-23215xyx求 曲 线 的例斜 渐 近 线 .2()limlim,1(1)xxfxxaxxx 解1yx所