2022年八下二次根式和勾股定理导学案

1、学习必备欢迎下载161.1 二次根式【探索新知】很明显3、10、46，都是一些正数的算术平方根像这样一些非负数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式因此，一般地，我们把形如a（a 0）?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号议一议： 1-1 有算术平方根吗？ 20 的算术平方根是多少？ 3当 a0）、0、42、-2、1xy、xy（x0，y?0）例 2当 x 是多少时，31x在实数范围内有意义？例 3当 x 是多少时，23x+11x在实数范围内有意义？精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 28 页 - - - - - - - -

2、-学习必备欢迎下载例 4(1) 已知 y=2x+2x+5，求xy的值 (2)若1a+1b=0，求 a2004+b2004的值【当堂检测】一、选择题 1下列式子中，是二次根式的是（） a-7 b37 cx dx 2下列式子中，不是二次根式的是（） a4 b16 c8 d1x 3已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（） a5 b5 c15 d以上皆不对二、填空题 1形如 _的式子叫做二次根式 2面积为a 的正方形的边长为_ 3负数 _平方根三、综合提高题 1 某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，?底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2当 x 是多少时，23

3、xx+x2在实数范围内有意义？ 3 若3x+3x有意义，则2x=_4. 使式子2(5)x有意义的未知数x 有（）个 a0 b1 c2 d无数5. 已知 a、b 为实数，且5a+2102a=b+4，求 a、b 的值精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 28 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载16.1.2 二次根式 (2) 【探究新知】议一议：a（a0）是一个什么数呢？a（a0）是数做一做：根据算术平方根的意义填空：（4）2=_；（2）2=_；（9）2=_；（3）2=_；（13）2=_；（72）2=_；（0）2=

4、_同理： （2）2=2，（9）2=9，（3）2=3，（13）2=13，（72）2=72，（0）2=0，所以（a）2=a（a0）例 1计算 1（32）2 2（ 35）2 3（56）2 4（72）2 三、巩固练习计算下列各式的值：（18）2（23）2（94）2（0）2（ 478）2 22(3 5)(53)四、应用拓展例 2 计算1（1x）2（x0） 2（2a）2 3（221aa）2 4（24129xx）2 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 28 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载例 3 在实数范围内分解下列因

5、式: （1）x2-3 （2） x4-4 (3) 2x2-3 五、归纳小结本节课应掌握： 1a（ a0）是一个非负数； 2（a）2=a（a0）; 反之 :a=（a）2（a0）【当堂检测】一、选择题 1下列各式中15、3a、21b、22ab、220m、144，二次根式的个数是（） a4 b3 c2 d1 2数 a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（） aa0 ba0 ca0 da=0 二、填空题 1（ -3）2=_ 2已知1x有意义，那么是一个_数三、综合提高题 1计算（1）（9）2（ 2）- （3）2（3）（126）2（4）（ -323）2 (5) (233 2)(233 2) 2把下列非负数

6、写成一个数的平方的形式: （1）5 （2）3.4 （3）16（4） x（x0）3已知1xy+3x=0，求 xy的值 4在实数范围内分解下列因式: （1）x2-2 （2） x4-9 3x2-5 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 28 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载例 4 化简（1）9（2）2( 4)（3）25（4）2( 3)总结 ：当 a0 时，2a=_；当 aa，则 a 可以是什么数? 例 6 当 x2，化简2(2)x-2(12 )x一、选择题 12211(2)( 2 )33的值是（） a0 b23

7、c423 d以上都不对 2 a 0时，2a、2()a、 -2a， 比较它们的结果， 下面四个选项中正确的是（） a2a=2()a-2a b2a2()a-2a c2a2()a2a=2()a二、填空题 1-0.0004=_ 2若20m是一个正整数，则正整数m的最小值是 _三、综合提高题 1先化简再求值：当a=9 时，求 a+212aa的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+2(1)a=a+（ 1-a ）=1；乙的解答为：原式=a+2(1)a=a+（ a-1 ）=2a-1=17 两种解答中，_的解答是错误的，错误的原因是_2若 1995-a +2000a=a，求 a-19952的值（提示：先

8、由a-2000 0，判断 1995-a? 的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3 x 2时，试化简x-2 +2(3)x+21025xx。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 28 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载162 二次根式的乘除一、复习引入 1 填空（1）49=_，49=_；（2）1625=_，1625=_（3）10036=_，10036=_参考上面的结果，用“、0）, 并验证你的结论精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 28 页

9、 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载162 二次根式的乘除(2) 一、复习引入 1填空（1）916=_，916=_；（2）1636=_，1636=_；（3）416=_，416=_；（4）3681=_，3681=_规律：916_916；1636_1636；416_416；3681_3681二、探索新知一般地，对二次根式的除法规定：ab=ab（a0，b0），反过来，ab=ab（ a0，b0）下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目例 1计算：（ 1）123（2）3128（3）11416（4）648例 2化简：（1）364（2）22649ba（3）2964xy（4）25169xy精品

10、学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 28 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载例 3已知9966xxxx，且 x 为偶数，求（ 1+x）22541xxx的值三、归纳小结本节课要掌握ab=ab（a 0，b0）和ab=ab（a0，b0）及其运用【当堂检测】一、选择题 1计算112121335的结果是（） a275 b27 c2 d272阅读下列运算过程：1333333，22 52 55555数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简26的结果是（） a 2 b6 c136 d6二、填空题 1分母

11、有理化:(1) 13 2=_;(2) 112=_;(3) 102 5=_. 2已知 x=3，y=4， z=5，那么yzxy的最后结果是 _三、综合提高题 1 有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为3： 1， ?现用直径为315cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？ 2计算（1）32nnmm（ -331nmm）32nm（m0 ，n0）（2）-3222332mna（232mna）2amn（a0）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 28 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎

12、下载例 4(1) 5312; (2) 2442x yx y; (3) 238x y例 5如图，在rtabc中， c=90， ac=2.5cm，bc=6cm ，求 ab的长例 6观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=1 (21)2121(21)( 21)=2-1 ，132=1 ( 32)3232( 32)(32)=3-2，同理可得：143=4-3，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（121+132+143+120022001）（2002+1）的值【当堂检测】一、选择题 1如果xy（y0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（） axy（y0） bxy（

13、y0） cxyy（y0） d以上都不对 2把（ a-1 ）11a中根号外的（a-1 ）移入根号内得（） a1a b1a c-1a d-1a精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 28 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载 3在下列各式中，化简正确的是（）a53=315 b12=122c4a b=a2b d32xx=x1x4化简3 227的结果是（） a-23 b -23 c-63 d-2二、填空题 1化简422xx y=_（ x 0） 2a21aa化简二次根式号后的结果是_三、综合提高题 1已知a 为实数，化简

14、：3a-a1a，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确， ?请写出正确的解答过程： 2若 x、y 为实数，且y=224412xxx，求xyxy的值221634164xyxyxy. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 28 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载16.3 二次根式的加减(1) 【探索新知】1. 计算下列各式（1）2x+3x； （2）2x2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4） 3a2-2a2+a3 2. 计算下列各式（1）22+32（2）28-38+58（3）7+27+397（

15、4）33-23+2一般的，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，?再将被开方数相同的二次根式进行合并例 1计算（1）8+18（2）16x+64x例 2计算（1）348-913+312（2）（48+20）+（12-5）例 3已知 4x2+y2-4x-6y+10=0 ，求（293xx+y23xy）- （x21x-5xyx）的值精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 28 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载归纳小结本节课应掌握： （1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行

16、合并【当堂检测1】一、选择题 1以下二次根式：12；22；23；27中，与3是同类二次根式的是（） a和 b和 c和 d和 2下列各式： 33+3=63；177=1；2+6=8=22； 243=22，其中错误的有（） a3 个 b2 个 c 1 个 d 0个二、填空题 1在8、1753a、293a、125、323aa、30.2、 -218中，与3a是同类二次根式的有_ 2计算二次根式5a-3b-7a+9b的最后结果是 _三、综合提高题 1已知5 2.236 ，求（80-415）-（135+4455）的值（结果精确到0.01 ） 2先化简，再求值（6xyx+33xyy）- （4xxy+36xy）

17、，其中x=32，y=27例 4 若最简根式343a bab与根式23226abbb是同类二次根式， 求 a、 b的值 （?同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 28 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载【当堂检测2】一、选择题 1已知直角三角形的两条直角边的长分别为5 和 5，那么斜边的长应为（）（ ?结果用最简二次根式） a52 b50 c25 d以上都不对 2 小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和 20cm的长方形的木框， ?为了增加其稳定性，他沿长方形的对角

18、线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米（结果同最简二次根式表示） a13100 b1300 c1013 d513二、填空题 1某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2 倍，它的面积是1600m2，?鱼塘的宽是_m （结果用最简二次根式） 2已知等腰直角三角形的直角边的边长为2，?那么这个等腰直角三角形的周长是_（结果用最简二次根式）三、综合提高题 1若最简二次根式22323m与212410nm是同类二次根式，求m 、n 的值 2同学们，我们以前学过完全平方公式a22ab+b2=（a b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=

19、（3）2，5=（5）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：（2-1 ）2=（2）2-2 12+12=2-22+1=3-22反之， 3-22=2-22+1=（2-1 ）2 3-22=（2-1 ）2 32 2=2-1 求：（ 1）32 2；（2）42 3；（3）你会算412吗？（4）若2ab=mn，则 m 、n 与 a、b 的关系是什么？并说明理由精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 28 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载 16.3 二次根式的加减(2) 一、复习引入请同学们完成下列各题: 1计算（1）（

20、 2x+y） zx （2）（ 2x2y+3xy2） xy 2计算（1）（ 2x+3y）（ 2x-3y ）（2）（ 2x+1）2+（ 2x-1 ）2 二、探索新知如果把上面的x、y、z 改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？?仍成立整式运算中的x、 y、z 是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，?当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式例 1计算 : （1）（6+8）3（2）（ 46-32） 22例 2计算（1）（5+6）（ 3-5）（2）（10+7）（10-7）例 3已知xba=2-xab，其中 a、b 是实数，且a+b0，化简11xxxx+11xxxx

21、，并求值精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 28 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载【当堂检测】一、选择题 1（24-315+2223）2的值是（） a2033-330 b330-233 c230-233 d2033-30 2计算（x+1x）（x-1x）的值是（） a2 b3 c4 d1 二、填空题 1（ -12+32）2的计算结果（用最简根式表示）是_2 （1-23） （1+23）-（23-1）2的计算结果 （用最简二次根式表示）是 _ 3若 x=2-1 ，则 x2+2x+1=_ 4已知 a=3+22，

22、b=3-22，则 a2b-ab2=_三、综合提高题 1化简5710141521 2当 x=121时，求2211xxxxxx+2211xxxxxx的值（结果用最简二次根式表示）课外知识 1同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，?这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式练习 ：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）a2x与2y b3489a b与5892a bcmn与n dmn与mn 2互为有理化因式：?互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b） （a-b ）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如

23、x+1-22xx与 x+1+精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 28 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载22xx就是互为有理化因式；x与1x也是互为有理化因式练习 ：2+3的有理化因式是_； x-y的有理化因式是_ -1x-1x的有理化因式是_ 3分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、?分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的练习： 把下列各式的分母有理化（1）151；（2）112 3；（3）262；（4）3 34 23 34 2 4其它材料：如果n 是任意正整数，那么21nnn=n2

24、1nn理由：21nnn=332211nnnnnn=n21nn练习：填空223=_；338=_；4415=_精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 28 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载171 勾股定理（一）引例 1：已知： 在 abc中，c=90，a、b、c的对边为a、b、c。求证： a2b2=c2。引例 2 已知：在 abc中， c=90 ， a、 b、 c的对边为a、b、c。求证： a2b2=c2。勾股定理的具体内容是：。2如图， 直角 abc的主要性质是：c=90，（用几何语言表示）两锐角之间的关系：

25、；若 d为斜边中点，则斜边中线；若 b=30，则 b的对边和斜边：；三边之间的关系：。3 abc的三边a、b、c，若满足b2= a2c2，则 =90；若满足 b2c2 a2，则 b是角；若满足 b2c2a2，则 b是角。4根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。cbadcabbbbbccccaaaabbbbaaccaaacbdbccaabdcaeb精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 28 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载【当堂检测】1已知在rtabc中， b=90， a、b、c 是 abc的三边，则c=

26、。（已知 a、b，求 c）a= 。（已知 b、c，求 a）b= 。（已知 a、c，求 b）2如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c，有 abc，试根据表中已有数的规律，写出当 a=19 时， b，c 的值，并把b、c 用含 a 的代数式表示出来。3、4、5 32+42=525、12、13 52+122=1327、24、25 72+242=2529、40、41 92+402=41219，b、c 192+b2=c23在 abc中， bac=120 ， ab=ac=310cm，一动点p从 b向 c以每秒 2cm的速度移动，问当p点移动多少秒时，pa与腰垂直。4已知：如图，在abc中， ab=ac

27、， d在 cb的延长线上。求证： ad2ab2=bd cd 若 d在 cb上，结论如何，试证明你的结论。adcb精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 28 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载171 勾股定理（二）例 1：在 rt abc ， c=90 已知 a=b=5, 求 c。已知 a=1,c=2, 求 b。已知 c=17,b=8, 求 a。已知 a：b=1：2,c=5, 求 a。已知 b=15， a=30，求 a，c。例 2：已知直角三角形的两边长分别为5 和 12，求第三边。例 3：已知：如图，等边a

28、bc的边长是6cm 。求等边 abc的高。求 sabc。六、【课堂练习】1填空题在 rtabc ， c=90， a=8，b=15，则 c= 。在 rtabc ， b=90， a=3，b=4，则 c= 。在 rtabc ， c=90， c=10， a：b=3：4，则 a= ，b= 。一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。已知直角三角形的两边长分别为3cm和 5cm ，则第三边长为。已知等边三角形的边长为2cm ，则它的高为，面积为。dcba精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 28 页 - - - - - -

29、- - -学习必备欢迎下载2已知：如图，在abc中， c=60，ab=34，ac=4 ，ad是 bc边上的高，求bc长。3已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。【当堂检测】1填空题在 rtabc ， c=90 ，如果 a=7，c=25，则 b= 。如果 a=30， a=4，则 b= 。如果 a=45， a=3，则 c= 。如果 c=10，a-b=2 ，则 b= 。如果 a、b、c 是连续整数，则a+b+c= 。如果 b=8，a： c=3：5，则 c= 。2已知：如图，四边形abcd中， ad bc ，addc ，ab ac ， b=60， cd=1cm ，求 bc的长

30、。acbdbcda精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 28 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载171 勾股定理（三）1小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45 度的坡路走了500 米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米。2如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是米，水平距离是米。2 题图 3题图 4题图3如图，一根12 米高的电线杆两侧各用15 米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。4如图，原计划从a地经 c地到 b地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由a地

31、到 b地直接修建，已知高速公路一公里造价为300 万元，隧道总长为2 公里，隧道造价为500 万元， ac=80公里， bc=60公里，则改建后可省工程费用是多少？七、课后练习1如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取b、c 两点，在江对岸取一点a ，使 ac垂直江岸，测得bc=50米， b=60，则江面的宽度为。2有一个边长为1 米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为米。3一根 32 厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在p、q两点， pq=16厘米，且rp pq ，则 rq= 厘米。4如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24 米， b=c=30， e、f 分别为 bd、c

32、d中点，试求b、 c两点之间的距离，钢索ab和 ae的长度。（精确到1 米）；30abccabacbrpqacbdef精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 28 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载171 勾股定理（四）例 1（补充） 1已知：在rtabc中， c=90 ， cd bc于 d， a=60， cd=3，求线段 ab的长。例 2 已知：如图，b=d=90， a=60， ab=4 ，cd=2 。求：四边形abcd的面积。变式训练：在数轴上画出表示22,13的点。【课堂练习】1 abc中， ab=ac

33、=25cm ，高 ad=20cm,则 bc= ，sabc= 。2 abc 中，若 a=2b=3c，ac=32cm，则 a= 度， b= 度,c= 度， bc= ，sabc= 。3abc中，c=90，ab=4 ，bc=32，cd ab于 d，则 ac= ，cd= ，bd= ，ad= ,sabc= 。4已知：如图，abc中， ab=26， bc=25 ， ac=17 ，求 sabc。七、课后练习1在 rtabc中， c=90， cd bc于 d， a=60， cd=3，ab= 。2在 rtabc中， c=90， sabc=30，c=13，且 a b，则 a= ，b= 。3 已知：如图，在 abc中

34、，b=30， c=45，ac=22，求（ 1）ab的长；（ 2） s abc。4在数轴上画出表示52,5的点。abcdeabcbacdabc精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 28 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载abcabbcaa1c1b117.2 勾股定理的逆定理（1）重难点 1重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。2难点：勾股定理的逆定理的证明。一、自主学习1. 说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？同旁内角互补，两条直线平行。如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。线段垂直平分线上的点

35、到线段两端点的距离相等。直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半。2. 勾股定理的逆定理_ 小结注： (1) 每一个命题都有逆命题. (2) 一个命题的逆命题是否成立与原命题是否成立没有因果关系. (3) 每个定理都有逆命题，但不一定都有逆定理. 二、交流展示例 1 证明：如果三角形的三边长a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。例 2：判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形：( 理解勾股数 ) （1）a=15, b=8, c=17. （2）a=13, b=14, c=15. 一般步骤：先判断那条边最大。分别用代数方法计算出a2+b2和 c2的值。判断 a

36、2+b2和 c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 25 页，共 28 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载三、合作探究例 3、已知：在abc中， a、 b、 c的对边分别是a、b、c，a=n21，b=2n，c=n21（n1）求证： c=90。四、达标测试1填空题。任何一个命题都有，但任何一个定理未必都有。“两直线平行，内错角相等。”的逆定理是。在 abc中，若 a2=b2c2，则 abc是三角形，是直角；若 a2b2c2，则 b是。若在 abc中， a=m2

37、n2，b=2mn ，c= m2n2，则 abc是三角形。(5) abc的三边之比是1：1：2，则 abc是_三角形。2 abc中 a、 b、 c的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）a如果 c b=a，则 abc是直角三角形。b如果 c2= b2a2，则 abc是直角三角形，且c=90。c如果（ ca）（ ca） =b2，则 abc是直角三角形。d如果 a： b： c=5：2：3，则 abc是直角三角形。3下列四条线段不能组成直角三角形的是（）aa=8，b=15，c=17 b a=9，b=12，c=15 ca=5，b=3，c=2 da：b：c=2：3：4 4已知：在 abc中， a、 b、 c的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？a=3，b=22，c=5；a=5，b=7