连续函数运算性质课件

1、定理定理2. 连续单调递增 函数的反函数xx cot,tan在其定义域内连续一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则定理定理1. 在某点连续的函数经和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明)连续xx cos,sin商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 .例如例如,例如例如,xysin在,22上连续单调递增，其反函数xyarcsin(递减).(证明略)在 1 , 1 上也连续单调递增.递增(递减)也连续单调定理定理3. 连续函数的复合函数是连续的.xey 在),(上连续 单调 递增,其反函数xyln在),0(上也连续单调递增.证证: 设函数)(xu,0连续在点

2、 x.)(00ux,)(0连续在点函数uxfy . )()(lim00ufufuu于是)(lim0 xfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xf故复合函数)(xf.0连续在点 x又如又如, 且即例如例如,xy1sin是由连续函数链),(,sinuuy,1xu *Rx因此xy1sin在*Rx上连续 .复合而成 ,xyoxy1sin例例1 . 设)()(xgxf与均在,ba上连续, 证明函数)(, )(max)(xgxfx 也在,ba上连续.证证:21)(x)()(xgxf)()(xgxf)()()(21xgxfx)()(xgxf根据连续函数运算法则 , 可知)(, )(xx也在,ba上连续

3、 .)(, )(min)(xgxfx 二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如例如,21xy的连续区间为1, 1(端点为单侧连续)xysinln的连续区间为Znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定义域为Znnx,2因此它无连续点而例例2. 求.)1 (loglim0 xxax解解: 原式xxax1)1 (loglim0ealogaln1例例3. 求.1lim0 xaxx解解: 令, 1xat则, )1 (logtxa原式)1 (loglim0ttataln说明说明: 当, ea 时,

4、 有0 x)1ln(x1xexx例例4. 求求.)21 (limsin30 xxx解解:原式ex0lim)21ln(sin3xxex0limx36e说明说明: 若,0)(lim0 xuxx则有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxxx21,41,)(xxxxx例例5. 设,1,21,)(2xxxxxf解解:讨论复合函数)(xf的连续性 . )(xf1,2xx1,2xx故此时连续; 而)(lim1xfx21lim xx1)(lim1xfx)2(lim1xx3故 )(xfx = 1为第一类间断点 .1)(),(2

5、xx1)(, )(2xx,)(1为初等函数时xfx在点 x = 1 不连续 , 内容小结内容小结基本初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续函数的四则运算四则运算的结果连续连续函数的反函数反函数连续连续函数的复合函数复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.思考与练习思考与练习,)(0连续在点若xxf是否连在问02)(, )(xxfxf续? 反例, 1,1)(xf x 为有理数 x 为无理数)(xf处处间断,)(, )(2xfxf处处连续 .反之是否成立? 作业作业P68 3 (5) , (6) , (7) ; 4 (4) , (5) ,(

6、6) ; 5提示提示:“反之” 不成立 .注意注意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .一一、最值定理、最值定理定理定理1.1.在闭区间上连续的函数即: 设, ,)(baCxfxoyab)(xfy 12则, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大(证明略)点 ,例如例如,)1,0(,xxy无最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也无最大值和最小值 又如又如, ,)(baxf在因此bxoya)(xfy 12mM推论推论. 由定理 1 可知有, )(max,xfMbax

7、)(min,xfmbax, ,bax故证证: 设, ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界 .二、介值定理二、介值定理定理定理2. ( 零点定理 ), ,)(baCxf至少有一点, ),(ba且使xyoab)(xfy .0)(f0)()(bfaf( 证明略 )在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 定理定理3. ( 介值定理 ) 设 , ,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点, ),(ba证证: 作辅助函数Cxfx)()(则,)(baCx 且)()(ba)(CBCA0故由零点定理知, 至少有一点, ),(ba使,0)(即.)(Cf推论推论:Abx

8、oya)(xfy BC使.)(Cf至少有在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最大值之间的任何值 .例例1. 证明方程01423 xx一个根 .证证: 显然, 1 ,014)(23Cxxxf又,01)0(f02) 1 (f故据零点定理, 至少存在一点, ) 1 ,0(使,0)(f即01423说明说明:,21x,0)(8121f内必有方程的根 ;) 1 ,(21取 1 ,21的中点,43x,0)(43f内必有方程的根 ;),(4321可用此法求近似根.二分法二分法4321x01在区间)1 ,0(的中点取1 ,0内至少有则则0)()()(212xfxff上连续 , 且恒为正 ,例例2. 设)(x

9、f在,ba对任意的, ),(,2121xxbaxx必存在一点证证:, ,21xx使. )()()(21xfxff令)()()()(212xfxfxfxF, 则,)(baCxF)()(21xFxF)()()(2112xfxfxf)()()(2122xfxfxf)()(21xfxf221)()(xfxf0使,)()(21时当xfxf,0)(xf,0)()(21xFxF故由零点定理知 , 存在, ),(21xx,0)(F即. )()()(21xfxff当)()(21xfxf时, 取1x或2x, 则有)()()(21xfxff证明:*三三. 一致连续性一致连续性已知函数)(xf在区间 I 上连续, 即

10、:,0Ix ,0,0,0时当 xx)()(0 xfxf一般情形,.,0都有关与x,0无关时与若x就引出了一致连续的概念 .定义定义:, I, )(xxf对,0若,0存在, I,21xx对任意的都有,)()(21xfxf)(xf则称在在 I 上一致连续上一致连续 .显然:上一致连续在区间 I)(xf上连续在区间 I)(xf,21时当 xx例如例如,xxf1)(, 1,0(C但不一致连续 .因为, ) 10(0取点, )N(,11211nxxnn则 21xx 111nn) 1(1nn可以任意小但)()(21xfxf) 1( nn1这说明xxf1)(在 ( 0 , 1 上不一致连续 .定理定理., ,)(baCxf若,)(baxf在则上一致连续.(证明略)思考思考: P73 题 6提示提示:设)(, )(bfaf存在, 作辅助函数)(xFaxaf, )(bxaxf, )(bxbf, )(,)(baCxF显然1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它思考与练习思考与练习一刀剪为面积相等的两片.提示提示: 建立坐标系如图.xoy则面积函