连续性概念最新课件

1、连续性概念PPT课件 (2)第四章第四章 函数的连续性函数的连续性4.1 连续性概念连续性概念 4.2 连续函数的性质连续函数的性质4.3 初等函数的连续性初等函数的连续性 连续性概念PPT课件 (2)4.1连续性概念连续性概念一、函数在一点的连续性一、函数在一点的连续性1.函数的增量函数的增量.,),(,)()(0000的增量的增量称为自变量在点称为自变量在点内有定义内有定义在在设函数设函数xxxxxUxxUxf .)(),()(0的的增增量量相相应应于于称称为为函函数数xxfxfxfy xy00 xxx 0)(xfy x y xy00 xxx 0 x y )(xfy 连续性概念PPT课件

2、(2)2.连续的定义连续的定义定义定义 1 1 设函数设函数)(xf在在)(0 xU 内有定义内有定义, ,如如果当自变量的增量果当自变量的增量x 趋向于零时趋向于零时, ,对应的函对应的函数的增量数的增量y 也趋向于零也趋向于零, ,即即0lim0 yx 或或0)()(lim000 xfxxfx, ,那末就称函数那末就称函数)(xf在点在点0 x连续连续, ,0 x称为称为)(xf的连续点的连续点. .,0 xxx 设设),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就就是是连续性概念PPT课件 (2)定义定义 2 2 设函数设函数)(xf在在)(0 xU 内有

3、定义内有定义, ,如果如果函数函数)(xf当当0 xx 时的极限存在时的极限存在, ,且等于它在且等于它在点点0 x处的函数值处的函数值)(0 xf, ,即即 )()(lim00 xfxfxx 那末就称函数那末就称函数)(xf在点在点0 x连续连续. .:定义定义 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒恒有有时时使使当当连续性概念PPT课件 (2)0lim( )xxf x0()f x在x0有定义1.在x0附近定义;2.极限存在 左右极限存在并相等连续性概念PPT课件 (2)例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf证证, 01sinlim

4、0 xxx, 0)0( f又又),0()(lim0fxfx 由定义由定义2知知.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf连续性概念PPT课件 (2)3.单侧连续单侧连续;)(),()0(,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf .)(),()0(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf 定理定理.)()(00处处既既左左连连续续又又右右连连续续在在是是函函数数处处连连续续在在函函数数xxfxxf连续性概念PPT课件 (2)例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(

5、连连续续性性处处的的在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf连续性概念PPT课件 (2)4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间函数函数则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左端点并且

6、在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如例如,.),(内是连续的内是连续的有理整函数在区间有理整函数在区间连续性概念PPT课件 (2)例例3 3.),(sin内内连连续续在在区区间间函函数数证证明明 xy证证),( x任任取取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 则则,0,时时当当对对任任意意的的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx时时当当.),(sin都是连续的都是连续的对任意对任意函数函数即即 x

7、xy连续性概念PPT课件 (2)例例4 证明证明 内内连连续续在在),( xay证证只须证明只须证明，有有对对),(0 x00limxxxxaa limlim0000 xxxxxaay 1lim00 xxxaa )1(lim00 xxxaa 0 处处连连续续在在故故),(0 xayx连续性概念PPT课件 (2)二、函数的间断点二、函数的间断点:)(0条条件件处处连连续续必必须须满满足足的的三三个个在在点点函函数数xxf;)()1(0处有定义处有定义在点在点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或间断点或间断点的不连续点的不

8、连续点为为并称点并称点或间断或间断处不连续处不连续在点在点函数函数则称则称要有一个不满足要有一个不满足如果上述三个条件中只如果上述三个条件中只xfxxxf连续性概念PPT课件 (2)1.在x0 及其附近定义;2.极限存在 左右极限存在并相等001. ( );2.lim( ).xxf xxf x在 无定义或不存在连续性概念PPT课件 (2)1.跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的的跳跳跃跃间间断断点点为为函函数数则则称称点点但但存存在在右右极极限限都都处处左左在在点点如如果果xfxxfxfxxf 例例5 5.0, 0,1, 0,)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 x

9、xxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy连续性概念PPT课件 (2)2.可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的的可可去去间间断断点点为为函函数数义义则则称称点点处处无无定定在在点点或或但但处处的的极极限限存存在在在在点点如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例6 6.1, 1,11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 连续性概念PPT课件 (2)解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(l

10、im1 xfx),1(f .0为为函函数数的的可可去去间间断断点点 x注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.连续性概念PPT课件 (2)如例如例6中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxfoxy112跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .特点特点.0处处的的左左、右右极极限限都都存存在在函函数数在在点点 x连续性概念PPT课件 (2)3.第二类间断点第二类间断点.)(,)(00的的第第二二类类间间断断点

11、点为为函函数数则则称称点点在在右右极极限限至至少少有有一一个个不不存存处处的的左左、在在点点如如果果xfxxxf例例7 7.0, 0, 0,1)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解, 0)00( f,)00( f.1为函数的第二类间断点为函数的第二类间断点 x.断断点点这这种种情情况况称称为为无无穷穷间间oxy连续性概念PPT课件 (2)连续性概念PPT课件 (2)第一类间断点第二类间断点连续性概念PPT课件 (2).)(1 . 1 0处无定义在：情形xxfxOy0 xx)(xfy x0 xx自由地趋于A注意到：这种间断点称为可去间断点.)(,)( )()(lim 0

12、000处连续在那么这个新的处的值为在新定义存在，因此如果我们重在这种情形下，xxfAxfxxfAxfxx连续性概念PPT课件 (2)xOy0 xx)(xfy x注意到：这种间断点称为可去间断点.)(,)( )()(lim 0000处连续在那么这个新的处的值为在新定义存在，因此如果我们重在这种情形下，xxfAxfxxfAxfxx.)(lim)(lim.)(1.1 000存在但处有或无定义在：情形xfxfxxfxxxxAxfxfxfxxxx)(lim)(lim)(000补充定义：A连续性概念PPT课件 (2).)( .)(2 . 1 00的值太高了但处有定义在：情形xfxxfxOy)(xfy 注意

13、到：这种间断点称为可去间断点.)(,)( )( ).()(lim 00000处连续在那么这个新的处的值为在我们修改定义因此如果存在，但是在这种情形下，xxfAxfxxfxfAAxfxxAxf)(0修改定义：A0 xxx连续性概念PPT课件 (2).)( .)(2 . 1 00的值太低了但处有定义在：情形xfxxfxOy)(xfy 0 xxx注意到：这种间断点称为可去间断点.)(,)( )( ).()(lim 00000处连续在那么这个新的处的值为在我们修改定义因此如果存在，但是在这种情形下，xxfAxfxxfxfAAxfxxAxf)(0修改定义：A连续性概念PPT课件 (2)xOy)(xfy

14、.),(lim)(lim.)(2 000都存在但处有定义在：情形xfxfxxfxxxx0 xxx注意到：这种间断点称为跳跃间断点.)( ,)()(lim 000限存在，有较好的性质的单侧极的左右两边，但分别考虑处连续在不存在，因此无法使得在这种情形下，xfxxxfxfxx 这点放哪儿能接上呢？连续性概念PPT课件 (2)xOy0 xx)(xfy x.)( .)(lim)(lim.)(3 0000的渐进线称为此时，直线或或一个为至少有和或无定义处有在：情形xfyxxxfxfxxfxxxx哎，小红点，你跑哪去了？快救救我，我要跑到未知世界去了！这种间断点称为无穷间断点0 xx 连续性概念PPT课件

15、 (2)xx. )(4 0无限震荡（无）定义，处有在：情形xxf：Hi, 小红点，你能不能停住？我怎么也停不住，那可怎么连上啊？：Hi, 小蓝点，你停不住，我也停不住啊。还想连上，你可真逗！xy1sinxy11这种间断点称为震荡间断点。连续性概念PPT课件 (2)例例8 8.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不不存存在在且且xx.0为为第第二二类类间间断断点点 x.断断点点这这种种情情况况称称为为的的振振荡荡间间xy1sin 注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.连

16、续性概念PPT课件 (2) 狄利克雷函数狄利克雷函数 , 0, 1)(是是无无理理数数时时当当是是有有理理数数时时当当xxxDy在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一点处都间断,且都是第二类间且都是第二类间断点断点. ,)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxxxf仅在仅在x=0处连续处连续, 其余各点处处间断其余各点处处间断.连续性概念PPT课件 (2) , 1, 1)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxf在定义域在定义域 R内每一点处都间断内每一点处都间断, 但其绝对值处但其绝对值处处连续处连续.判断下列间断点类型判断下列间断点类型:o1x2x3xy

17、x xfy 连续性概念PPT课件 (2)例例9 9.0, 0, 0,cos)(,处处连连续续在在函函数数取取何何值值时时当当 xxxaxxxfa解解,)0(af xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ),0()00()00(fff 要要使使, 1 a,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf连续性概念PPT课件 (2)例例10 讨论讨论的的连连续续性性xxxxfnnn 2211lim)(若有间断点判别其类型，并作出图形若有间断点判别其类型，并作出图形解解)1|(|0lim qqnn由于由于则则若若故故1| x

18、nnnxxxxf2211lim)( x 则则若若1| xnnnxxxxf2211lim)( 1)1(1)1(lim22 nnnxxxx 则则若若1| x0)( xf连续性概念PPT课件 (2) 1|1|01|)(xxxxxxf外外连连续续除除去去1)( xxf时时当当1 x1)01(, 1)01( ff1)01(, 1)01( ff跃间断点）跃间断点）都是第一类间断点（跳都是第一类间断点（跳1 x连续性概念PPT课件 (2)三、小结三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;间断点间断点第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.(见下图见下图)连续性概念PPT课件 (2)第一类间断点第一类间断点oyx0 x可去型可去型oyx0 x跳跃型跳跃型第二类间断点第二类间断点oyx0 x无穷型无穷型oyx振荡型振荡型连续性概念PPT课件 (2)思考题思考题 若若)(xf在在0 x连连续续，则则| )(|xf、)(2xf在在